一个计算幂和多项式的积分递推公式

历史悠久的幂和问题 ,是迄今仍然颇受关注的一个问题 .以往虽有多种方法 ,但计算阶数较高的幂和公式大都十分繁琐 ,本文方法则消除了这种不足 .本文介绍一个计算幂和多项式的积分递推公式 ,并给出该公式的初等证明和某些应用 .     

关于最大公约数的一个问题

整数是数论的基础,而最大公约数又是整数的基础,关于最大公约数有如下众所周知的性质:     

矩阵高次幂的计算方法研究

矩阵是高等代数研究的基础单元,在数学理论以及工业领域中都有着非常重要的作用.矩阵高次幂的计算是矩阵理论一个非常重要的研究内容,本文对不同类型的矩阵,采用特定的方法来求其n次幂,这些计算方法可以达到简化矩阵高次计算过程和降低计算复杂度的效果.     

一个求解二项式系数幂和序列递推公式的方法

根据同余理论并利用二项式系数幂和序列在模p下具有周期性的事实,提出一种求解递推公式的方法,从理论上证明其可行性.使得求解和验证二项式系数幂和序列递推公式具有完备的理论基础.     

幂等阵幂零阵多项式可逆的充要条件及一般方阵多项式可逆性的判定

1　幂等阵多项式设Ａ∈Ｆｎ×ｎ 为一幂等矩阵 ,由于Ａ2 =Ａ ,所以任取ｆ(ｘ) ∈Ｆ[ｘ].ｆ(Ａ)总可以化为ｋＡ+ｌＩｎ的形式 (ｋ,ｌ∈Ｆ ,Ｉｎ 为ｎ阶单位阵 ) .对此我们有定理 1　若Ａ为ｎ阶非零幂等矩阵 ,ｋ≠ 0 ,ｌ≠ 0 ,则ｋＡ +ｌＩｎ 可逆 ｋ≠-ｌ.证　充分性因为ｌ≠ 0 ,ｋ≠-ｌ,所以ｌ(ｋ +ｌ)Ｉｎ 可逆又　 (ｋＡ +ｌＩｎ) [-ｋＡ+(ｋ+ｌ)Ｉｎ]=-ｋ2 Ａ2 +ｋ2 Ａ+ｋｌＡ-ｋｌＡ +ｌ(ｋ+ｌ)Ｉｎ=ｌ(ｋ+ｌ)Ｉｎ所以ｋＡ+ｌＩｎ 可逆 .必要性若ｋＡ+ｌＩｎ 可逆 ,而ｋ=-ｌ,则由Ａ(ｋＡ+ｌＩｎ) =ｋＡ2 +ｌＡ =0 ｎｎ,可知Ｒ(Ａ) +Ｒ(…     

牛顿(Newton)公式的一个注记及其应用

段学复先生在其《对称》一书中介绍了17世纪大数学家牛顿的一个公式，就是一元n次多项式。个根的任一正整数次幂都可以用这n个根的初等对称多项式表示出来，用递推关系表示如下：     

多项式带余除法定理的一种新证明

利用线性空间的理论,在高观点下给出了多项式带余除法定理的一个新证明.它避免了使用构造法这种技巧性较高的数学方法,使学生比较容易轻松掌握.     

关于方阵多项式的特征问题

对方阵及其矩阵多项式,给出了它们特征值、特征向量之间关系的刻画.     

方阵开n次方的一个实用准则

得出了由方阵Ａ的幂秩判定Ａ能否开ｎ次方的一个实用准则,同时也获得了确定Ａ的约旦标准形结构的一个结果。     

方阵最小多项式的性质与求法

首先介绍方阵A的零化多项式，进而介绍方阵A的最小多项式，给出最小多项式的一些性质，最后主要讨论最小多项式的三种求法。     

关于矩阵多项式的逆矩阵求法的一个注记

给出了矩阵多项式逆矩阵的一些充要条件和一种求法.     

矩阵多项式的逆矩阵的求法

给出了矩阵多项式的逆矩阵的一般求法.     

计算Bezout矩阵惯性的一个快速方法及其应用

本文给出了求Bezout矩阵的惯性的一个快速的无除方法,并且由此方法可很快得出一个整系数多项式方程的不同实根个数及不同对共轭复根的对数。     

一种求布尔矩阵传递闭包的基于自反矩阵构造的平方算法

首先,介绍布尔矩阵传递闭包的概念及计算问题;随后,分析布尔矩阵的传递闭包和由该布尔矩阵与单位矩阵取并所得到的自反矩阵的传递闭包之间的关系;最后,利用上述结果给出一种求解布尔矩阵传递闭包的基于自反矩阵构造的平方算法,并通过实例说明了其具体计算过程.     

矩阵函数f(A)的计算方法

通过以λ为变量的多项式f(λ)定义了矩阵多项式f(A),并将矩阵多项式的计算方法推广到矩阵函数.同时给出了矩阵函数f(A)的又一种计算方法.     

正交矩阵的特征多项式及特征根

以《高等代数习题解》(杨子胥)的两道习题为理论根据,应用正交矩阵的若干性质,给出了正交矩阵特征多项式系数的规律.     

“矩阵有理插值及其误差公式”一文的注

本文对文[1]中所给出的错误的误差公式做了修订,并给出了相应的证明。     

关于直线拟合的注记

讨论了使残差的最大绝对值为最小准则和使残差的绝对值之和为最小的准则的直线拟合问题 ,采用线性规划可解决此问题 .最后讨论了多项式拟合的情况 .     

关于矩阵不等式的一点注记

本文对 [1 ],[2 ]中的不等式作了推广 ,改进了 Ostrowsk-Taussky不等式 ,得到一个统一的不等式 .