对“不等式的基本事实和基本性质”的教学探讨

一、引言章建跃老师在文1中指出“大家都知道等式、不等式的基本性质‘是什么’,但为什么把它们称为‘基本性质’?为什么要研究它们?特别是,如何才能让学生自己发现这些性质?课堂观察发现,很少有老师把这些纳入教学视野,实际上也鲜有老师去思考这些问题.”对“把‘能用基本性质解决问题’作为目标”的做法,章老师认为“这样的教学缺乏必要的数学思想,是‘无根’的教学,学生学到的是没有生长力的知识,‘学会思考’更是奢     

一道“残缺题”开放性的数学课

这一堂“开放性”的数学课 ,不仅是时空的开放 ,方式的开放 ,更还有思维的开放 ,思想的开放 .“开放性”的课怎么上 ?像本课那样 ,你试起来再说 ,在干中学 !这样的“开放性”的课好不好 ?提问的人关心的大概不是学生能力的开发状况如何 ,而是“开放性”的题将来考不考 ?如何考 ?这的确点到许多老师的心里去了 .我看这完全是一个观念的解放问题 .人家不是在考作文么 ?一篇作文的分值要占到语文总分值的三分之一呢 .那么 ,考一个像本文那样的开放题 ,分值仅占到总分值的约十五分之一 ,为什么不可以呢 ?其评分标准不会制订得比作文的弱 .公平性的影响决不会高过作文 ,而导向性则一定会好得很!     

133和谐扩展的一个教学实例--"实数"的教学设计

翻翻中小学数学课本 ,你或许会惊异地发现 ,和谐地扩展 ,竟是数学教学材料展开的始终不渝的看不到尽头的一道风景线 :数的概念 ,指数 ,角 ,距离 ,等式——方程——不等式 ,函数 ,坐标等 ,哪一个重要概念不是在不断地扩展着的 ?哪一次扩展又不是尽可能地保持和谐的 ?“数学家们总是要把他心中认为重要的基本的东西 ,一个个尽其可能的都推展到极致 .”查查历来的数学考卷 ,又有哪一次哪一份 ,把数学家工作过程中如此重大重要的思想 ,曾经纳入到了考卷与考题之中 ?奇怪么又毫不奇怪 .因为传统上认为 ,数学就是解 (难 )题 ,别的似乎都不重要 .在强调素质教育的今天 ,这个现象 ,这种“认为”,难道不值得反思并加以研究么 ?爱因斯坦早有名言 :“提出问题比解决问题更重要 !”而数学在思维训练上又有一个天然的优势 :总是可以和谐地扩展式的提问的——也许有一天人们会认识到 ,这种训练对人的发展是多么重要 .     

200平面向量的数量积(第一课时)

2005年7月,著名数学家丘成桐教授与一批在高考中取得优异成绩的数学尖子座谈,丘教授问学生:“什么是数学?”“你对数学感兴趣吗?”“请你说一说解这个题的简单思路!”座谈的结果,使教授颇为失望,因为我们的学生只是“做考题的机器”.《文汇报》7月8日及《光明网》7月7日)什么是数学?数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的已形成为严谨体系的一门科学.其体系的严谨性的一个方面就表现在:数学的展开,在许多情形下是一种和谐扩展:数的扩展;方程的扩展;函数的扩展;指数概念、距离概念的扩展等等.从数量到向量是扩展,从数的乘法到向量的乘法也是一种扩展.数学的扩展,总是遵循着这样两条规律:一是寻求外在的模型,以找到一个恰切的外在的解释;二是力求内在的和谐,使作为被扩展的本源内容中的主要法则、性质等,扩展后在形式上能仍然成立.通常教“平面向量的数量积”,那个规定一如从天上掉下来的,主要只是要用它来做习题.本设计则特别看重“这个规定是怎么来的?”告诉学生,之所以要引进“平面向量的数量积”,就是因为有这么一个恰切的外在的模型;(并且那个积,在体系之内又是和谐的)平常老师们为什么不去重视这个那么重要的“由来”与“和谐”呢,就是因为这方面的东西历来总是不考的.这从反面告诉了我们的专家,对有利于理解数学的本质的重要内容,即使不是解题一类的,也应该纳入考试的视野.     

万事起头难,“生疑”是首要

高考、中考中,乃至作业中,一个题你已经做好了.如果你这“解法”有错误,或者不完全对,而你自己却还不知情时,最重要的是什么呢?最重要的是“生疑”!是从不同的角度考虑后,你对这一解法自己产生了怀疑.决不是“为什么错?”因为你还蒙在鼓里呢,还不知道这解法已经错了.“为什么错?”只是第二步时要追究的.第一步是“生疑”,第二、三步才是“析疑”、“解疑”:“为什么错?”“错在哪里?”“完整的解答是怎样的?”没有这第一步,就决不会再有第二步、第三步的.所以,在课堂教学上,当发现学生有错误时,重要的是如何去启发学生“生疑”,自己意识到这“解法”可能有误.而不是直接告诉学生“为什么错?”以及它的正解.这正是当前的一些课堂教学中所缺失的;也是本篇设计的意义之所在!     

关于数学“先猜后证”的对话

甲:听说你最近研究数学很有成果.乙:不错,我最近研究猜学很有成果.甲:什么?猜学?你不是在研究数学吗?乙:对!数学就是猜学,猜学就是数学!甲:别开玩笑!数学考试一直在反对猜押题,你怎么会去研究猜题呢?乙:不,不是研究“猜题”,我是在研究“猜想”,就是猜想题目的解法和答案.甲:题目的答案本来要靠“解析”,怎么能靠“猜”呢?乙:解中含猜,猜中得解!数学解题,本来就靠两个字.第一字是“套”,套现成的公式,套已有的结论,这就是数学的“初级阶段”.甲:哦,套公式,只是初级阶段,那么“高级阶段”呢?乙:高级阶段是我要说的第二个字,就是“猜”字.在高…     

奇怪的柿子

一、特别的奶牛车 昨天是周末,我回到家本打算饱饱地睡一个懒觉.可是,一大早却被爸爸的大嗓门吵醒了. 我一睁开眼睛,就看到爸爸的大脸,他俯身望着我:“乖儿子,难得你回来一趟,今天爸爸带你去自驾游,怎样?” “自驾游是什么东西?”我不明白. “你看你,成天在孔老师那边学习,连现在最流行的自驾游都不懂.”爸爸解释说,“自驾游就是咱们自己驾车出游,也就是自助旅游.”     

155 对称,美丽而又神奇

对称,是广泛存在于自然、社会中的一种现象,在数学中,常把某些具有关连或对立的事物也视为对称的,概念已略有拓广.从而,对称在数学上的表现是普遍的.可以毫不夸张的说,即使是一份数学考卷,也总包含有多个具有某种对称性的试题. 然而,对称地思维,即从矛盾着的两方面,对称地去思考并解决问题的一种思维方法,却很少受到人们的应有关注.这也是应试教育的一种后遗症吧:因为总是单纯的考解题,我只要解出题目捞到分数就可以了么,管你对称不对称什么的. 这也从另一方向给我们提出了问题:能否考一点像对称思维那样的重要的数学思想方法吗?甚至在课程标准中也作出一点规定.]     

组合思想与中学数学教学

在数学教学中,一个内容学完之后,问学生,学生常常说:“懂了,但要我自己做,我不会。”为什么呢?学生说:“我不知道为什么要那样做。”比如,“直线上有五个点,能截出多少条线段?”这样的题目,学生感兴趣,但数不好,不是重就是漏,而且方法缺乏一般性,我们怎样引导学生寻求一个好的数法?这两个例子提示我们:在通常的数学问题中,往往包含着组合的因素,要想得心应手地发现和运用这些因素,就需要组合思想。什么是组合因素、组合思想?它们与中学数学、与数学教学到底有什么关系呢?组合数学与组合思想组合数学就是研究离散对象的排布、配置、选取、组织结合的教学学科。组合数学关心的是一类集合中事物按某种规则的安排:这种安排的存在性、计数和分类,以及某种已知排布的构造等等。组合数学已积累了大量著名的模型、原理,典型的方法技巧,如加法和乘法原理、排     

集合的联想

在高中数学中 ,我们首先学到“集合” .为什么要研究集合 ?事实表明 ,它是数学的基础 ,所有数学知识 ,都可以用集合构建出来 ,任何数学问题 ,都可以用集合语言加以表达 .可对我们中学生来说 ,怎样认识这一点 ?一个不错的办法 ,就是从集合出发 ,以思想、方法、应用等为线索 ,进行联想 ,使中学数学的有关内容 (及其某些拓广 )结成以集合为纽带的“互联网” .下面举例说明 .1　数学的辨析功能数学是一种精确的科学语言 ,对模棱两可的概念论题 ,有极强的辨析功能 ,这点在“集合”中 ,表现尤为突出 .拿战国时代公孙龙学派的“白马非马”论题来说 …     

也谈“复数域内的实数能比较大小吗?”

说话,办事总离不开所处的大环境.有时不能简单地“就事论事”、“就话论话”,必需明确一下“大环境”是什么.例如“用5角钱可以得到一个乒乓球吗?”这在百货大楼当然是“可以”,然而在大沙漠中答案则是“不可以”.如果我们不去问“大环境”是什么,而“就话论话”的给一个回答,情况该是怎样呢?我们可以设想那该是:如果你头脑中出现百货大楼,回答是一个样;如果她想到大沙漠,那回答将是另一个样.生活上如此,在数学中也是如此.如果有人突然问你“x2 1=0有解吗?”这时你一定反问“你问的是在复数范围内,还是在实数范围内呀?”或者你冷静地说“它…     

无法利用几何意义吗

学了李向忠、张钟谊二位老师在《中学生数学》2003年11月期上发表的“绝对值几何意义的应用”一文后,同学们可能会对二位老师的“提示”:“应用绝对值的几何意义去解绝对值的一些题目,能使解题过程大为简化和直观”产生共鸣,有所感悟.那么,你对二位老师的“告诫”:“当绝对值的个数多于两个,或者当x的系数不是1时,就无法利用几何意义”求解有何认识,有无困惑?你会对此提出质疑吗?你会探究进而释疑吗?     

和高一新同学谈“简易逻辑”的学习

数学课也学逻辑 ,这对许多高一新同学来说 ,似乎有些突然 :语文课学逻辑 ,政治课讲逻辑 ,为什么数学课也学逻辑 ?且此逻辑与彼逻辑是何关系 ?!其实数学中的逻辑学知识与语文文法和哲学中的逻辑从本质上讲是一个东西 ,都叫形式逻辑 .它是人们思维的方法与工具 .数学领域内充满了逻辑 ,数学思维就是一种逻辑思维 ,不研究逻辑 ,就无法研究数学 ,就无法真正进入数学 .我们在高中一年级接触的逻辑 ,称为“简易逻辑” .之所以说“简易” ,是因为它仅涉及逻辑学中最基本、最简单的部分知识 ,是逻辑学的起步 .但同学们不要因其浅显而小看 ,它正是你…     

对一道题的一种错解的剖析

[题〕试求自然数、,使2‘.‘. 2,,9‘ 2’是完全平方数. 有一文利用“一数为完全平方数当且仅当它可以表为相差2的两自然数(其一或为零)之积与1的和”给出了如下的解答: 原式一2‘,,‘[l 2,(2 2一‘.,0)〕 令2‘一‘,90=22,即,=1992时有 2’.8‘ 2‘.9‘ 2‘二2=2‘…又25. 笔者以为这种解法也是不正确的,其一,该解法主观地认为。)1990,这是没有根据的;其二,将8十2’一‘.sB表为相差为2的二数之积时,为什么仅有22·(2 2’一‘9a0)这一种分析方式呢?其他的分析方式为什么不行呢? 原题恰好仅有二题,但若将题条件中2’二‘换成2’990,依原法就…     

76 两条直线所成的角

[主持人按本期两篇的共同点是：课题内容虽略显平谈，是并不怎么难于处理的教材．然而，设计人恰在平谈之中显示出了它的不平淡，深思熟虑后发掘出了它的思想方法内涵：丁老师意识到解数学问题也常常是“起头难”，在他的这一节课中，就深谋远虑地引导学生，在“问题的数学化”、“问题的分解”上下功夫：画一个图；引入适当的符号;借表出已知是什么，条件、要求的又是什么？—要让学生自己想到并理解好，本题的实质就是“已知k1、k2求θ”，本不是件易事．从而，忽视这个环节，“一带而过”的教法显然是不可取的．于老师的设计，是概念教学…     

六年级几何课的计划(续)

第五十一课本课主题:各边两两对应平行的角的性质本课计划Ⅰ.课外作业检查.Ⅱ.学习新教材.有没有一个角,它的两边平行?为什么不能有这种角?能否有两个角它们的边对应平行?‘对应’二字怎样讲法?怎样画这种角?用什么仪器?今天我们就是研究两边对应平     

一堂数学建模的活动课

数学建模的过程 ,既是从实际问题转变为数学问题的过程 ,也是从问题的初步解决到较完美解决的过程 .本篇设计的主要特点就是向学生较充分地展示了这两个过程 ,适当地“等待学生”的理解而不急于求成 .学生由于缺乏生活经历 ,不 (太 )理解“更新”的概念 ,这是教师在本设计前的第一个预计 ;学生的数学素养还不太高 ,多数学生的思维 ,不可能一步就达到设计稿中简化模式的那个阶段 ,这是教师在设计前的第二个预计 .本设计就是建立在这两个预计之上的 .心中总是惦记着你的多数学生的接受状况 ,你就一定会考虑得更仔细一点 ,就会这么去教的 ;如果心中总是想着讲多一点讲快一点 ,努力完成你自己规定的满满的教学任务 ,一个个学生就这样渐渐的被你“抛弃”了、掉了队了 .这就是课堂教学 ,教师每一天都要在这两者之间作出权衡与选择 !     

对数学教学中几个问题的看法

有人说 :“作为一名数学教师 ,按大纲和课本 ,扎扎实实地去教就行了 .这看法 ,那看法 ,杂念那么多 ,怎能把课教好 ?”你看 ,这位“不要看法”的先生 ,本身就提出一种看法 ,一种主张 .人总是按一定的思想去行动 ,教学中的一举一动 ,都是在实践着自己的看法 ,英国学者 Pual Ernest在《数学教育哲学》这本书一开头就引述 Thom的话说 :“事实上 ,无论人们的意愿如何 ,一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学 ,即便是很不规范的教学法也如此 .”“哲学”就是看法 ,数学哲学就是对数学的看法 .十几年数学教学的经历使我对此深信不疑 .我自己的…     

发散、联想与类比——等差数列一个性质的探索

这一课的教学特色 ,主要体现在如下的四个“自主”上 :让学生“自主提出问题”——以等比数列类比等差数列 ,类比地提出问题 ;通过特例的观察、比较 ,归纳地提出问题 .“自主探索”——先是模仿讨论等差数列时的思路 ,试图解决等比数列的类似问题 ;遇到什么困难就解决什么困难 .“自主反思”——自己判断解决得正确与否 ;大思路对否 ,细节上有何处须予以补究 .“自主修正”——自己原先提出的问题若解决不了 ,想一想 :怎样修改一下就可以得出新的结论呢 ?这样的探究 ,不就是数学能力的体现么 !     

让学生“看”足“悟”透——以“不进位加心算”教学为例

<正>史宁中教授说：“数学素养的培养,特别是创新人才的培养,是‘悟’出来的而不是‘教’出来的,因为数学的结果是‘看’出来的而不是‘证’出来的。”珠心算课堂也应如此。下面以“不进位加心算”教学为例,谈谈在珠算课堂中给学生提供充足的“看”、充分的“悟”的机会,使他们的珠心算能力在“看”足“悟”透中获得有效发展,在“看”足中“悟”透优秀的珠算传统文化。一、在“四拨”训练中“看”足“悟”透（一）实拨——夯实基础