一道三角题解法的探讨

题目在△ABC中,已知sinA/cosB+sinB/cosA=2,判断△ABC的形状,并给出证明(以下简称"题").这是一道传统老题,因涉及三角的方方面面而深得高三师生的心仪.在高考复习中本人亦情有独钟地选择了她,作为训练学生三角恒等变换与解三角形的代表"作".分析直觉思维显示:A与B是互为余     

一道全国高中数学竞赛题的初中解法

<正>近日阅读探究了 2021年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题,发现填空题第5题可用初中平面几何知识和方法解答,在此与广大师生分享.1试题呈现和分析题目在△ABC 中,AB=1,AC=2,BC=120°,则△ABC的面积为______.分析 (1)参考答案中应用了正弦定理、两角和与差的三角函数、二倍角公式和三角形面积公式 S_(△ABC)=1/2AB·AC sin A,对三角知识和方法的考查比较全面深入,体现了试题的综合性.     

借助轨迹 妙求最值

<正>一、题目展示(2012年高中数学联赛第5题)在△ABC中,→AB·→AC=7,→→|AB-AC|=6,求S△ABC的最大值.点评本题以向量形式呈现,融向量与三角于一体,考查的是三角形的面积最值.本题看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的研究空间.     

好题共欣赏 基础不能忘

2012年高考江西卷理科第17题是一道三角题,该题容易入手,从不同的角度出发均能轻松地加以解决,很好地体现了"考查基础知识的同时,注重考查能力"的命题原则,有效地考查了考生的数学基础知识和基本技能.以下是该题的多种不同解法.题目:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A=π4,bsinπ4+△△C-csinπ4+△△B=a.(1)求证:B-C=π2;(2)若a=2%姨,求△ABC的面积.(1)证法1:由bsinπ4+-△C-csinπ4+-△B=a,应用正弦定理得:sinBsinπ4+-△C-sinCsinπ4+-△B=sinA.     

补形法巧解三角形面积

题:在△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上。若∠BAC=60°,∠ACB=20°,∠DEC=80°,AC=1,求△ABC的面积与△CDE的面积的2倍的和。这是一道国外数学竞赛题(在叙述上略有改动),若分别求△ABC、△CDE的面积不仅繁、难,而且还需用到高中阶段的三角知识,不能为初中学生所接受(请见本刊今年第4期     

一道调考三角填空题的多解与变式

2008年4月份,武汉市调考数学试卷(理)中有一道三角填空题。试题若△ABC的两条中线长分别为3,6,则△ABC面积的最大值为____。考试结果显示,此题难度系数为0.3左右,触及到了学生的软肋,说明学生对此题本质的洞察及处理方式的把握还欠火候,需强化这方面的训练。而对此题进行一题多解及变式训练则是最节时高效的     

对一道高考题参考答案的改进

2005年全国高考湖北数学卷(文史类)第18题:在△ABC中,已知tanB=3~(1/2),cosC=1/3,AC=36~(1/2),求△ABC的面积.参考答案:     

妙解两则

例1(2010年新课标全国卷理科高考题16题)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1/2DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为3-(?),则∠BAC=____.分析此题常规解法是在△ADC、△ABD中分别利用余弦定理求出AC、AB,然后在△ABC中用余弦定理求出∠BAC,要用到三次余弦定理,较繁琐且运算量大.若注意利用向量的数量积运算可求角度,便有如下简解.     

一道初中数学竞赛题的多种解答

<正>(2017年全国初中数学联合竞赛第二试第二题)如图1,在△ABC中,∠BAC=45°,E为∠BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点,点F在AB上,且EF⊥AB,已知AF=1,BF=5.求△ABC的面积.分析欲求△ABC的面积,需知△ABC     

2019年全国一卷理科17题的背景分析、求解与变式研究

<正>2019年全国一卷理科的17题是一道解三角形的问题,该题主要考查了余弦定理和正弦定理在解三角形中的应用及三角恒等变换等相关知识,能够很好的考查学生的推理能力和计算能力.问题重现(2019年全国一卷理科17题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)²=sin2=sin²A-sinBsinC.     

一题多解，多解同道——以2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题为例

<正>1 预赛试题2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题如下：若△ABC的三边a,b,c满足a²+b²+3c²=7,则△ABC面积的最大值为______.这是只有一个条件的求三角形面积的最值问题,属于中档题.注意到已知等式中a,b,c均带平方,且a与b是对称的,所以在选择面积的表示方法时,要充分考虑到这些因素,为下一步求最大值做好铺垫.2 解法探究设△ABC面积为S.解法1:因为当且仅当时,上式等号成立.     

一道数学竞赛题别证

<正>(2019年地中海地区数学竞赛第1题)已知△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线与边BC 交于点 D.记△ABD,△ADC,△ABC 的内切圆半径分别为r_B,r_C,r,AC=b,AB=c.证明:1/r_B+1/r_C=2(1/r+1/b+1/c).这道题主要考查三角形内切圆相关知识.参考答案主要借助三角形内角平分线定理,解三角形的余弦定理,及三角形面积公式(含海伦-秦九韶公式)转化为三角形边的关系进行证明.     

妙解赛题一例

<正>如图1,在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内且PA=3^(1/2),PB=5,PC=2,求△ABC的面积.这是2014年全国初中竞赛题,命题组给出的答案比较复杂,初中生也难以想到,尽管文[1]就该题也进行过解法探讨,但笔者认为还是不夠轻松,本文根据已知三角形的特点利用对称点,构建一个两倍于原△ABC面积的五边形,从而轻松求解.     

构图解题一例

教材[1]P150页有习题： 在△ABC中,sinA=5/13,cosB=3/5,求cosC.     

一道立体几何课本习题的证明及应用

新教材第二册(下B)第81页上有一题:已知△ABC的面积为S.平面ABC与平面α所成的锐角θ,△ABC在平面α内的正射影为△A’B’C’,其面积为S’.求证:S’=Scosθ.这是一道看似简单,但内涵丰富的好题.很多竞赛题、高考题均可应用其思想方法得到巧妙的解决.     

一道武汉市调考题的简解

武汉市2009届高中毕业生四月调研测试理科第14题是：已知△ABC内接于椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）,且△ABC的重心G落在坐标原点O,则△ABC的面积等于______。     

tgA tgB tgC=tgAtgBtgC在平几解题中的应用及其推广

全国统编数学高中第一册P.167第19题:在△ABC中,求证:tgA tgB tgC=tgAtgBtgC。一般学生都会证明这个三角恒等式,可是对于它在平几解题中的应用及其推广却不太清楚,现分别介绍如下,供中学生参考。     

求换角度求解一道三角综合题

题目在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=1/23/4（a2＋b2-c2）,求sinA＋sinB的最大值.在高三第一轮复习三角函数时,偶遇这道三角函数综合题.本题是一道以三角形为背景的三角函数最值问题,在求解过程中,必然涉及到余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识的应用.     

一道习题的几何证法

很多中学数学参考书都收入了这样一道习题: “在△ABC中,若∠A:∠B:∠C:4:2:1, 求证:1/a+1/b=1/c。’对于此题,几乎所有的参考书都采用三角证法,有的以习题形式收入的还直接提示用正弦定理可证。     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…