初中代数上册“習題四”中的两个近似公式

我們新編初級中学課本代数上册“習題四”中有下面兩个題目: 第9題:如果桶腰(圖1)的直徑是D厘米,兩个底的直徑都是d厘米,高是h厘米,那末桶的体积的近似值是: V=π/4(2D+d/3)~2h(立方厘米),这里π≈3.14。如果桶腰的直徑是90厘米,兩个底的直徑都是60厘米,高是110厘米,求它的体积的近似值。第10題:要近似地計算干草堆(圖2)的体积,可以用下面的公式:     

混合型微分方程

<正> 自從F. Tricomi在1923年發表了一篇關於混合型微分方程的論文以後,各國數學家繼續在這方面工作的,不乏其入;尤其是蘇聯數學家,近年來在這方面有極其光輝的貢獻。過去所考慮的問題,都是兩個域的問題,現在我們要考慮的,是多個域的混合型問題。我們考慮下面兩個方程的定解問題:     

三角方程的增根和遺根問題

1. 研究教学大綱,决定如何引出增根、遺根問題 中学數学教学大綱(修訂草案)中指示,“在学習三角方程時,……(1)要求出方程的一切解(不强求把通值公式再加綜合);(2)在方程变形時,不应当忽略增根和遺根的可能性的問題。”这一指示引起了我們对研究增根和遺根可能性問題的重視,在过去我們進行三角方程教学時,關於增根和遺根的可能性問題强調得不够,而在代數課中關於方程的等效的概念講的是不够清楚的,在解方程过程中,破坏同值性問題一般只了解下列二點:(1)方程兩边同乘以含未知數的同一式子或使方程兩端平方,可能使方程發生增根;(2)方程兩边同除以含未知數的同一式子或兩端開方,可能使方程遺根,但这二點对於解三角方程時,檢查增根和遺     

对初中几何课堂教学计划的几点补充意见

本通报曾先后接到薛明同志对1954年9月人民教育出版社出版“初中几何課堂教学計划(譯本)”書中第51課的一个題,以及刘进修同志对該書第63課一个题的补充意見.由于这兩题是教科書中同一阶段的問題,因此我們便把它併在一起發表,以供讀者尤其是教师同志們在讲这一阶段时参考.     

关于初中几何课堂教学计划中第五十一课“用轨跡法解作圖题”的讨论

本通报曾先后接到薛明同志对1954年9月人民教育出版社出版“初中几何課堂教学計划(譯本)”書中第51課的一个題,以及刘进修同志对該書第63課一个题的补充意見.由于这兩题是教科書中同一阶段的問題,因此我們便把它併在一起發表,以供讀者尤其是教师同志們在讲这一阶段时参考.     

二元二次式的因式分解

在高中一年級講解二元二次联立方程組时,会碰到將二元二次式分解成質因式的問題。將一个实系数的二元二次式分解成兩个实系数的二元一次式之积的方法依賴於下面这个定理: 定理 設有实系数的二元二次式(1) F(x,y)=ax~2+bxy+cy~2+ +dx+ey+f,並假定a≠0。如果F(x,y)可以分解成兩个实系数的二元一次式之积,則一元二次方程(2) au~2+bu+c=0及(3) av~2+dv+f=0有实数解;而且如以m,n表(2)的解而以p,q表(3)的解,則(4) pn+qm=e/a或pm+qn=e/a。 証 設F(x,y)可分解成兩个实系数的二元一次式之积,     

行列式論中之一問题

<正>§1.1867年Sylvester發表了一篇論文,這篇論文的題目可能是數學文獻中最有趣的一個題目。這篇文章中所討論的問題都引導到去决定:對於那些值n,我們可以造一個n級行列式,其元素完全由±1所組成而且它是直交的,即任意兩個不同行的組合都是0。如果n是奇數,顯然沒有這種行列式存在;Sylvester極簡單地證明了,對於n=2~k(k=1,2,…),確有這種行列式。如果     

全國高等學校一九五五年暑期招生數學試题答案

1. 下列四題(每题滿分7分)順次解答,不必抄題(但須寓明题號:甲,乙,丙,丁)。結果務須明確,過程可以簡單。甲、以二次方程X~2-3X-1=0的兩根的平方爲兩根作一二次方程。     

高一几何第一章复習提綱

第Ⅰ單元线段的度量的复習提綱 (甲) 关于阿基米德公理 1)阿基米德公理的內容是什么? 2)用数学式子怎样將它表出? 3)我們用它解决了什么問題? (乙) 公度 1)什么样的綫段叫做兩条已知綫段的公度? 2)兩条线段如果有公度,它有最小的嗎? 为什么? 3)怎样说明当兩条已知綫段有公度时一定有最大公度,並且还只有一个? 4)当兩条已知綫段有公度时用什么方     

中学生課外活動中的諾模術

諾模術是应用数学的一个年青的分支。“諾模術屬於数学的領域。它有独立的理論結構,是帮助解各种类型的方程的工具”(苏联大百科全書)。提出这样一个問題求解:直角三角形兩直角边为a=4.3厘米,b=3.7厘米,試計算斜边,要精确到一位小数,这个問題通常是这样解决的:众所周知,直角三角形斜边的平方等於其兩直角边平方之和。先自乘4.3得18.49,自乘3.7得13.69,然後把这兩数加起來得32.18。     

求圓面积及圓柱的全面积两公式的直观教法

这兩段教材,是初中算术課本(人民教育出瓶社1957年版第265及267頁)習題三十里的兩个作業。在初中算术范圍內,这兩段教材就知識分量方面来說,不能算重,而且是容易懂的。但是,由于学生接触的公式不多,不習慣利用公式計算題目;並且学生每每把一个整个公式里的各个因素,不顧它們的来源,而勉强分开来孤立地去理解它;所以,常会發生一些有趣的問題。     

用拉普拉斯变換求解拋物型或双曲型方程混合問題出現的一类求根问題

§1.問題的提出在国內編写的一些数学物理方程教科书(例如,[1],[2])上,在介紹用拉普拉斯(Laplace)变換(以下简称拉氏变換)来求抛物型或双曲型偏微分方程混合問題时,解題程序大致可以分成三步(以一維情形为例):(Ⅰ)假定未知函数u(x,t)經过拉氏变换变成U(x,p),利用拉氏变換把要     

关于絕对值的不等式的解法

高中代数第三册§132是研究一元一次不等式组的解法,其中有兩个例題是含絕对值的不等式,課本对这兩个例題的求解过程是这样进行的: 这样,將絕对值的不等式分成兩个不等式组而求其解,在理論上是比較完整的。因为对所有这一类型的不等式都能求得正确的結論。     

一個作圖題的另外解法

本通報1953年1-2月號發表的“東北敬部編譯「平面幾何」中的三個作圖題”一文中第一題“求作一圓,切於已知角的一邊上的已知點,而於另一邊上截取一弦等於已知綫段”,現有文成宜和王麗庭兩位同志提出另外的解法,但兩位同志的解法賞大致相類,為省篇幅,我們經過改寫合併發表於下。 設P是已知角XOY的OX邊上的一個已知點,l為已知綫段,假定所求圓已經作出,它切OX於P點,截OY得AB弦,有AB=l(這裹AB與OY同向)。今將P點依OY的方向平移至Q點,使PQ=l,於是PQBA為平行四邊形;再以直綫OY為軸將Q點反射得Q′點,則有     

關於十年級不等式的学習

經驗証明,引起在高等学校中学習數学的困難原因之一,是缺乏解帶有絕对值符号的不等式的技能与熟練技巧,直到現在,中等学校仍然不注重这样的不等式,就是在拉里切夫(■)的習題課本第二卷中,也僅(在第1396題內)引進兩个这類不等式的題目: 1) |x-2|<5, 2) |x+9|>9。但是,解这样的兩个不等式,並不能保証学生具有必要的準备,去克服未來的“高等”數学開始時的困难。因此,我們建議,对於十年級不等式的学習,要作一定的補充。首先,除不等式的一般性質外,应補充学習一些兩边都是正數的不等式的性質。     

初中平面幾何課本上两個作圖题的讨论

在東北人民政府教育部編譯的初級中學教科書“平面幾何”中,§101舉了一個四边形的作图题,§102最末附問一個撞台球的問題。這兩題在劉薰宇編的初級中學課本“平面幾何”中,後者列為習題二九的第20題,前者作為§140的例2.前者在兩书中都僅有解法而無討論,後者在本通報1953年5月號“數學问题及解答欄”中(第27題)亦僅有解法而無討論。關於它們應如何討論,屢有讀者來函詢問,今筆者承編者同志的     

二項展开式中的最大系数

关于二項展开式的特点,課本里是分做八个性質来叙述的,其中第六个性質就牽涉到二項展开式中的最大系数問題(代数第三册,22頁)。通过第五个性質的講解,我們已作出二項展开式系数对称性的結論:和兩端等距項的兩項的系数都相等。又由于展开式的系数与组合数相关联,我們已經看出了系数絕对值起始漸增,后来漸減;因而确信最大系数必定在展开式的正中。在这样初步認識的基础上,接着提出下面二个問題:1)在什么样的情况下层开式中存在着一个最大系数?在什么样的情况下存在着兩个最大系数?2)最大系数究竟是展开式中第几項的系数?怎样迅速而合理地把它計算出来?这样,就順利地过渡到新的課題——最大系数上面来了。     

介紹新編中学平面幾何課本

人民教育出版社根据中学數学教学大綱(修訂草案)編寫的初級中学課本平面幾何和高級中学課本平面幾何,从今年秋季開始,已在全國各地使用,筆者曾参加这兩本書的編寫工作,現在把筆者个人的一些体会以及对某些問題的看法,找出來供使用这兩本書的教師們参考,並和關心新課本的同志們共同商榷。一中学數学教學大綱(修訂草案)中指出,“幾何教学的目的,在於系統地研究平面上和空間物体圖形的性質,並且利用这些性質去解决計算題和作圖題;在於發展学生的邏輯的思維和对於空間的想像力;並且使他們能运用所学到的知識去解决实际問題,進行实地测量,测定各种建築物     

數学問题及解答欄

1955年12月號問题本期問題的解答請讀者在1956年1月20日以前寄至北京德勝門外北京師範大学數学采轉“數学通報數学問題及解答欄工作組”收。所作解答,务請一題一紙,並一一註明姓名。問題的答案及正確解答者的姓名將在本刊1956年3月号的本欄內公佈。本欄欢迎讀者提出適合大家解答德問題,如已有解法,並希把題解作好一併寄來。本欄稿件,概不退还,請勿附邮票。 210.設兩平行綫l与l′交△ABC的BC、CA、AB边(或延长綫)於X、Y、Z与X′、Y′、Z′,自这些交點各作所在边的垂綫,前三垂綫構成△αβγ,後三垂綫構成△α′β′γ′,求証这兩个三角形的外接圆相切。     

在高一代數教學中關於無理數概念的引进

關於無理数概念的引進,代數課本中的教材與教學大綱所指示的不盡一致,但这一課題在教学中非常重要,因此,有些教師很希望知道這一段教材應該怎樣處理。我們曾先梭收到白綿和范棄疾同志的稿件,論及這個問題,因兩稿有不少相同之處,所以我們把這兩篇綜合成一篇發表,供教師們參考。