浅谈比较两数大小的若干技巧

浅谈比较两数大小的若干技巧刘桦（福建省松溪一中）比较两数大小是高考中常见的一类探索性问题．解这类问题常用的基本方法是比差（商）法．但在运用此法过程中，往往还要采用一些技巧，才能达到“比较”的目的，本文就比较两数大小中常用的一些技巧，向读者作一些介绍．...     

两个正数间等差、等比数列的平均数大小

现行高中教材中，有关“在两个正数间插入若干个正数，使它们成等差数列或等比数列”的问题有不少，2001年全国春季高考题20题也源于此．现将这两个数列的各种平均数大小关系归纳如下．     

一道易错的最值题

例题设0相似文献   

争鸣

问题问题107课本第30页例1中把命题“负数的平方是正数”写成“若一个数是负数,则它的平方是正数”,教参第10页说也可以写成“若一个数是负数的平方,则这个数是正数”.笔者认为一个命题的题设和结论应当是唯一确定的,不应有以上两种写法.试问以上两种写法哪种正确呢?甘志国提供     

巧用“不妨设”解题

当题目中的一些元素之间的关系具有多种可能性,并且不同的可能性并不影响题目结论和多功能解题方法时,我们便可通过“不妨设”选择其中一种可能性解题.请看一些例子.例1求代数式的值.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x=|aa|+|bb|+|cc|+|aabb|+|aacc|+|bbcc|,求ax3+bx2+cx+1的值.分析:由已知可得a、b、c三数中有两个为正数,一个为负数,在x的表达式中a、b、c三数任意互换其中两个,原式不变,a、b、c具有同等地位,不失一般性,可不妨设a、b为正数,c为负数.解:由abc<0,a+b+c>0,得a、b、c中有两个正数,一个负数.在x的表达式中,不妨设a、b的正数…     

高考题的解法探究及其变式

<正>2017全国卷Ⅰ第11题:设x,y,z为正数,且2~x=3~y=5~z,则().(A)2x<3y<5z(B)5z<2x<3y(C)3y<5z<2x(D)3y<2x<5z为了便于探讨问题的本质,兹将题目改编为一道解答题:设x,y,z为正数,且2~x=3~y=5~z,试比较2x,3y,5z的大小.由于涉及到指数,要解出这道题,对数运算是无法回避的.比较两数的大小关系,常用的方法有作差和作商两种,因此,有下面的两种解法.     

争鸣

问题107 课本第30页例1中把命题“负数的平方是正数”写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”，教参第10页说也可以写成“若一个数是负数的平方，则这个数是正数”．     

从数的大小比较谈起

<正>中学生在小学、初中和高中三个阶段中,始终伴随他们的一个问题是,如何比较数的大小?例如,比较下列各数对中两数的大小:35和53;2.83.5和3.52.8;10(11^(1/2)/2)和11(10(1/2)/2)和11(10^(1/2))/2;π5和5π等.进而提出问题:"能否给出操作性强的比较数的大小的一般性方法?"数的大小比较是初等数学教学中的一个难点,成功处理该问题将极大吸引了我们对数和数学的兴趣,进而提高处理不等式和极值等问题的能力.若解决不好这一问题,将从源头上掐断很多同学对数字和数学的兴趣.     

不等式的性质与证明

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)理解不等式的性质及其证明.不等式的基本性质包括:比较实数大小的方法、五个定理和两个推论.比较两个实数a,b的大小通常转化为比较它们的差a-b与0的大小,而判断a-b的正负往往先要将其因式分解或配方.应注意五个定理和两个推论中有的是充要条件,有的是充分不必要条件.在充分不必要条件的应用中应注意最大值(或最小值)是否可以取到.2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.均值不等式的应用应遵循“一正二定三相等”的原则.“一正”是指用均值不等式时需保…     

不用作差法妙判大小两例

<正>作差法是比较两数大小的一种常用方法,也是一种比较好用的方法,刘运宜在2007年2月时曾在本刊发文《巧用作差法比较两数的大小》,通过5例介绍了这一方法,读后很受启发,同时发现:其实有时不用作差法,更巧妙一些.下就文中的例1、2,给出笔者的解答思路,供同学们参考.     

分子有理化的独特作用

分母有理化是初中数学中非常重要的基础知识 ,而分子有理化则隐含于各科习题中 ,它同样有着广泛的作用 ,有待于我们去发现、挖掘和总结 下面通过例子说明分子有理化的独特作用 一、比较根式的大小当比较根式的差的大小 ,往往会很难下手时 ,不妨先将分子有理化 ,转化为根式之和的倒数 ,然后进行比较 ,就会方便很多 例 1　比较 1 3 -1 2 ,1 2 -1 1的大小 分析 :实数比较大小的方法是将其分类 ,负数与负数比较大小 ,正数与正数比较大小 ;再按正数大于零 ;零大于负数排列即可 解 :利用分子有理化 ,易得 1 3 -1 2 =11 3 1 2 　①1 2 -1 1…     

一个不等式“串”的应用

在人教版高二教材中有这样一道习题:已知a,b都是正数,求证:2/1/a 1/b≤ab~(1/2)≤a b/2 ≤a2 b2/2~(1/2)．此不等式“串”说明了关于两个正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数和平方平均数的大小关系,证明并不困难,若能记住它对我们会有非常大的帮助．     

用平均值不等式求极值时正数的匹配

用不等式,x+y≥2(xy)~(1╱2)(x,y都为正数)求极值是《不等式》的教学重点之一。由此不等式得出定理:设x、y是正数,如果和x+y(积xy)是定值,那么当x=y时,积xy(和x+y)有最大(小)值。即若两个正数之和为常量,则当两数相等时,其积有最大值;若两个正数之和为常显,則当两数相等时,其和有最小值。这个定理     

运用中间值法比较两数大小的技巧

<正>比较两数大小的题目题型虽小,但技巧性、综合性都比较强,且解法灵活,涉及的知识面较广.运用中间值法比较两数大小,这个中间值如何找、怎么找、从哪里入手找、哪几个数是常用的中间值,不少同学感到困难,甚至无所适从.下面就此问题作一些归纳、总结、探讨.1.找0为中间值例1(2013年湖南省高中数学竞赛试题)     

这道题的解法有漏洞

用几何方法解决代数问题时,常用线段表示数,实际上只表示了正数,而漏掉了可能是非正数的情形,朱德云老师的这篇文章,指出并弥补了这一不足,很好.     

高考复习课堂实录

课题:均值不等式的应用适用年级:高三年级学期:学期2006-2007学年度第一学期要点提示如果a,b∈R ,那么a b/2叫做这两个正数的算术平均数,ab~(1/2)叫做这两个正数的几何平均数．关于这两种平均数的大小关系,有a b/2≥ab~(1/2),即两个正数     

中国——最早认识并应用负数的国家

华罗庚说:“数学是中国人民擅长的学科”. 东汉初(公元1世纪),我国第一部有名的数学书《九章算术》中出现了“正负术”.我国魏晋时期著名数学家刘徽为“正负术”作注解释说:“今两算得失相反,要令正负以名之,正算赤,负算黑,否则邪正为异”.这里的“算”是指小竹棒,表示数.注释的大概意思是:两个得失相反的数,要用正负来表示,规定正数用红色小竹棒,负数用黑色小竹棒;若用同色小竹棒的话,则正数正放,负数斜放,用以区别.     

复数集内的实数能比较大小吗?

在讲述复数不能比较大小时，有些书本上这样写：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小．”这话里只说了一部分复数不能比较大小．两个复数，如果全是实数，能不能比较它们的大小呢？书上没有提及．于是，有人认为，两个复数，如果全是实数，就可以比较它们的...     

用等价变换法比较两数的大小一例

本刊2011年初中版第1期刊登了张凤清老师的文章《如何比较两数大小》,读后受益匪浅,作为该文的补充,本文再给出一种比较两数大小的常用方法,供同学们参考.     

(五)不等式两数比较大小

[分析]两数比较大小,可用“比较法”,此题的四个选择支涉及两组数,为避免逐一检验,可设计一个“统一”的比较式。