关于分段函数在分界点处导数问题的讨论

对分段函数,我们常见的一类问题是讨论它在分界点的可导性．按常规的做法,分段函数在分界点处的导数用定义去计算,但在学生学习中,有不少学生不愿也不易接受这种方法,而是采用对不同区间上函数求导来计算,这种做法在一定条件下是可行的,这里就这类问题通过一些实例分析说明．对分段函数f（X）,讨论在分界点X0X0的可导性,归纳一般步骤如下：1．若f（X）在点X0不连续,则它在点X0不可导;2．若f（X）在点工。连续,且在点X0左、右导数都存在且相等,则f（X）在点X0可导．对如上第二步中,左、右导数一般用定义计算,但在函数满足…     

分段函数的求导方法

分段函数f(x)的求导步骤可归结为:一、如果函数在各段开区间内可导,则可求出它在各开区间内的导数.二、判断分界点x_0处的可导性:1.若函数在x_0点不连续,则它在x_0点不可导.2.若函数在x_0点连续,且在x_0的邻域内(x_0除外)可导,则(1)当(?)f′(x)存在,设为A时,函数f(x)在x_0点可导,且f′(x_0)=A;     

西安交通大学·高等数学

考试日期98年元月15日一、填空题：（每小题3分，共15分）5）设幂级数在x=－1条件上收敛，则幂级数的收敛区间（不考虑端点）为二、选择题：（每小题3分，共15分）A）无穷小量B）无穷大量C）有界的但不是无穷小量D）无界的但不是无穷大量A）跳跃B）可去C）无穷D）振荡3）若f（）的导函数是sinx，则f（）有一个原函数为（）。A）1＋sinxB）l－slnxC）l＋cosxD）1－cosx则在点X一1处函数人X）（）．A）不连续B）连续，但不可导C）可导，但导数不连续D）可导且导数连续5）设S（x）为人S）的以2。为周期的傅里叶正弦级数的和函数，，。…     

一个简单的维尔斯特拉斯函数

从数学分析知函数在某区间上可微则必连续,但反之未必;本文构造一个函数,并证明了它在[0,1]连续且处处不可微.     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…     

一个变上限积分的的导数

《数学学习》1993年第4期发表了于力、刘三阳二同志的《一个作为多种反例的函数》一文，学习过后收获很大，正如该文的篇头语所说：“一个恰当的反例常常胜过于言万言。”又如“一个数学问题用一个反倒予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。”（B．R‘盖尔鲍姆，分析中的反例，序言）一样。但读罢之后，感到还有一个小问题没有证明，好像有点美中不足，想借此给以补充。原文中把／（X）作为被积函数在一点不连续，而变上限的积分在该点仍可导的例子，即是说广（X）在X一0处不连续，但变上限积分I广（O＆在X一0处可导。但变上限积分【…     

广义函数的乘法

1950年,法国数学家L.Schwartz成功地引入了广义函数概念:具有紧支集的无穷次连续可微函数空间上的连续线性泛函。但如何定义任意两个广义函数的乘积问题一直未能得到圆满解决。从广义函数概念出发,易于定义无穷次可微函数与任意广义函数的乘积:     

连续区间上积分值的偶次样条插值

在现实中,某些结点处的函数值往往是未知的,而在连续区间上的积分值是已知的.如何利用连续区间上积分值的信息来解决函数重构是一个重要的问题.文章首先从理论上证明了连续区间上积分值的偶次样条插值的存在唯一性.其次,我们给出了连续区间上积分值的偶次样条插值的光滑性质并且指出四次样条插值是最光滑的.最后,文章给出了偶次样条插值函数去逼近结点处的函数值和偶次高阶导数值时具有超收敛性的猜想.这个猜想在随后的八次样条插值例子中得到证实.     

微分方程的化归术

关于数学家的思维特征，匈牙利数学家RozsaPeter有独特见解。她认为数学家的思维过程有规律可循：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题”。举一个通俗的例子来刻画数学家的这一思维特征。设想要烧开水，如果提供有煤气灶、水龙头、火柴与水壶，那么，人们的做法是一致的：先将水壶接上水龙头，并用火柴点燃煤气灶，然后再将水壶放到煤气灶上。如果现在其他条件不变，只是水壶已经装有足够的水，这种情况下该怎么做呢？这时似乎也没有异议：可省去往壶中灌水这道工序，而直接将水壶…     

分段函数的连续可导性

讨论了分段函数的连续可导性,得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件,并介绍了一个求分段函数在其分段点处n阶导数的公式     

一类Hermite分形插值函数的构造算法及其运算性质

已知结点处的函数值和一阶导数值,给出了构造一类二次分形插值函数的方法.不同于仿射分形插值函数,得到的插值函数具有可微性,并讨论分形插值函数的微积分运算,最后给出一个构造例子.     

一个处处连续但处处不可导的一元函数

通过分析一元函数连续性与可导性之间的联系,构造出一个在实数域上处处连续但处处不可导的一元函数.     

Lagrange定理的一个应用

Ｌａｇｒａｎｇｅ定理的一个应用何先枝（合肥工业大学）今年安徽省工科院校《高等数学》统测试卷中第四题为：证明函数在点ｘ＝０处连续但不可导。阅卷时发现题中有关不可导的证明有下列两种证法：上述证法中前者无疑是正确的，那么后者是否正确呢？回答是肯定的。实际上...     

分析教学中的一组反例

<正> 在分析教学中,当我们要举出无处连续的函数或者Riemann 不可积函数的例子时,我们总是首先想到著名的Dirichlet 函数     

线性模型中不可估参数的线性估计的可容许性

对一般线性模型在平方损失函数下，得到了一维不可估参数函数的线性估计为可容许估计的充要条件，以及模型中参数向量（非线性可估）的线性估计为可容许估计的两个充要条件，并得到了多维参数函数（可估或不可估）的线性估计为可容许估计的一个充分条件以及特殊情况下的一个充要条件．     

一类二元函数连续与可微条件的归纳与推广

多元函数的可导性、连续性、可微性是多元函数微分学的重要内容.本文基于多元微分学教学实践,归纳了一类二元函数的可偏导、连续、可微的充分条件,并对此类二元函数做一般性推广,得到了推广函数连续与可微的充分条件.     

对复合函数求导定理证明的评论与研究

本文指出了一些广泛使用的教科书对复合函数求导定理的证明是不严格，并创造性地举例阐明存在这样的复合函数f(u)，它对自变量u可导，而对中间变量u=g(x)不可导。本文也给出了该定理的一个严格证明，同时揭示了复合函数求导法则的表达形式与其内容并不完全一致。     

某些中值命题证明中之辅助函数构造的一种方法

在利用罗尔定理证明某些中值命题时，往往要构造一个辅助函数。对于构造性证明，跨度大，学生不易掌握，是教学活动中的一个难点。本文试图通过解一些简单的微分方程，构造出所需要的辅助函数，这种方法对只用一次罗尔定理的中值命题特别有效。罗尔定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=f（b），则至少有一各ξ∈（a，b），使得：f（ξ）=0。既然罗尔定理是研究某个函数导数的中值特性，很自然我们有必要了解它原来的函数是什么？而这恰好是解微分方程最原始的思想，因此，对这类中值命题，为了构造相应的辅助函数…     

一类分形曲面的维数与可微性

本文构造了一类由迭代函数系统生成的分形曲面。得到了曲面的Ｂｏｘ维数，Ｐａｃｋｉｎｇ维数和Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数的下界，并指出了该曲面的不可微点类。指出了存在几乎处处可微和处处不可微的分形曲面的实例，使［１］成为本文的一个例子。     

数学分析课程中的一个反例--处处连续处处不可导的函数

介绍数学分析课程中处处连续但处处不可导函数的教学,通过电子课件演示函数的图象,使学生理解这一类函数的局部与整体的某种相似性质,并对“分形”概念有一个初步的了解.