关于分段函数在分界点处导数问题的讨论

对分段函数,我们常见的一类问题是讨论它在分界点的可导性．按常规的做法,分段函数在分界点处的导数用定义去计算,但在学生学习中,有不少学生不愿也不易接受这种方法,而是采用对不同区间上函数求导来计算,这种做法在一定条件下是可行的,这里就这类问题通过一些实例分析说明．对分段函数f（X）,讨论在分界点X0X0的可导性,归纳一般步骤如下：1．若f（X）在点X0不连续,则它在点X0不可导;2．若f（X）在点工。连续,且在点X0左、右导数都存在且相等,则f（X）在点X0可导．对如上第二步中,左、右导数一般用定义计算,但在函数满足…     

分段函数的求导方法

分段函数f(x)的求导步骤可归结为:一、如果函数在各段开区间内可导,则可求出它在各开区间内的导数.二、判断分界点x_0处的可导性:1.若函数在x_0点不连续,则它在x_0点不可导.2.若函数在x_0点连续,且在x_0的邻域内(x_0除外)可导,则(1)当(?)f′(x)存在,设为A时,函数f(x)在x_0点可导,且f′(x_0)=A;     

一个简单的维尔斯特拉斯函数

从数学分析知函数在某区间上可微则必连续,但反之未必;本文构造一个函数,并证明了它在[0,1]连续且处处不可微.     

广义函数的乘法

1950年,法国数学家L.Schwartz成功地引入了广义函数概念:具有紧支集的无穷次连续可微函数空间上的连续线性泛函。但如何定义任意两个广义函数的乘积问题一直未能得到圆满解决。从广义函数概念出发,易于定义无穷次可微函数与任意广义函数的乘积:     

连续区间上积分值的偶次样条插值

在现实中,某些结点处的函数值往往是未知的,而在连续区间上的积分值是已知的.如何利用连续区间上积分值的信息来解决函数重构是一个重要的问题.文章首先从理论上证明了连续区间上积分值的偶次样条插值的存在唯一性.其次,我们给出了连续区间上积分值的偶次样条插值的光滑性质并且指出四次样条插值是最光滑的.最后,文章给出了偶次样条插值函数去逼近结点处的函数值和偶次高阶导数值时具有超收敛性的猜想.这个猜想在随后的八次样条插值例子中得到证实.     

一类Hermite分形插值函数的构造算法及其运算性质

已知结点处的函数值和一阶导数值,给出了构造一类二次分形插值函数的方法.不同于仿射分形插值函数,得到的插值函数具有可微性,并讨论分形插值函数的微积分运算,最后给出一个构造例子.     

西安交通大学·高等数学

考试日期98年元月15日一、填空题：（每小题3分，共15分）5）设幂级数在x=－1条件上收敛，则幂级数的收敛区间（不考虑端点）为二、选择题：（每小题3分，共15分）A）无穷小量B）无穷大量C）有界的但不是无穷小量D）无界的但不是无穷大量A）跳跃B）可去C）无穷D）振荡3）若f（）的导函数是sinx，则f（）有一个原函数为（）。A）1＋sinxB）l－slnxC）l＋cosxD）1－cosx则在点X一1处函数人X）（）．A）不连续B）连续，但不可导C）可导，但导数不连续D）可导且导数连续5）设S（x）为人S）的以2。为周期的傅里叶正弦级数的和函数，，。…     

分段函数的连续可导性

讨论了分段函数的连续可导性,得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件,并介绍了一个求分段函数在其分段点处n阶导数的公式     

一个处处连续但处处不可导的一元函数

通过分析一元函数连续性与可导性之间的联系,构造出一个在实数域上处处连续但处处不可导的一元函数.     

分析教学中的一组反例

<正> 在分析教学中,当我们要举出无处连续的函数或者Riemann 不可积函数的例子时,我们总是首先想到著名的Dirichlet 函数     

一类二元函数连续与可微条件的归纳与推广

多元函数的可导性、连续性、可微性是多元函数微分学的重要内容.本文基于多元微分学教学实践,归纳了一类二元函数的可偏导、连续、可微的充分条件,并对此类二元函数做一般性推广,得到了推广函数连续与可微的充分条件.     

数学分析课程中的一个反例--处处连续处处不可导的函数

介绍数学分析课程中处处连续但处处不可导函数的教学,通过电子课件演示函数的图象,使学生理解这一类函数的局部与整体的某种相似性质,并对“分形”概念有一个初步的了解.     

分部积分法的巧用

分部积分法作为积分学的基本方法之一有着重要的作用,它不但解决了许多常见的积分问题,而且在有些情况下可以发挥意想不到的效果．本文将结合例子来说明分部积分法在改善被积函数的性质、判别广义积分的致散性及证明积分不等式方面的巧用．分析该题由于被积函数在点不连续,因此不能直接应用对积分上限求导的公式,这里将用分部积分法将被积函数改善成连续的,从而使问题得到解决．由于是的可去间断点,故只须补充定义则在连续数在x＝0处可导且导数为零（可根据定义）,故有例2证明广义积分因为所以绝对收敛,因此广义积分因为所以绝对收…     

关于“分段点”可导性判定的一个定理

如何判断分段函数在分段点处可导性,并求出导数?通常的作法(1)先判断连续性,若不连续,必不可导.(2)如果连续,再按导数的定义求导,由于在分段点两侧,函数表达式可能不同,则一般要通过计算分段点处左右导数来判断.实际上,在函数连续的基础上,可借助导函数在分段点处的极限,来判定并求出分段点的导数.这是因为有如下的定理:     

变上限积分的特性及应用

变上限积分是一个很重要的函数,在我们的微积分教材中,用它来证明了微积分基本公式.许多其它问题用它处理也是既方便又简单.这些主要用到它的两条特性:①变上限积分在积分区间上是可导的,且其导函数就是被积函数;②变上限积分和被积函数比起来,其可导的阶数大1.下面举几例说明其特性及应用.     

一个变上限积分的的导数

《数学学习》1993年第4期发表了于力、刘三阳二同志的《一个作为多种反例的函数》一文，学习过后收获很大，正如该文的篇头语所说：“一个恰当的反例常常胜过于言万言。”又如“一个数学问题用一个反倒予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。”（B．R‘盖尔鲍姆，分析中的反例，序言）一样。但读罢之后，感到还有一个小问题没有证明，好像有点美中不足，想借此给以补充。原文中把／（X）作为被积函数在一点不连续，而变上限的积分在该点仍可导的例子，即是说广（X）在X一0处不连续，但变上限积分I广（O＆在X一0处可导。但变上限积分【…     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…     

Lagrange定理的一个应用

Ｌａｇｒａｎｇｅ定理的一个应用何先枝（合肥工业大学）今年安徽省工科院校《高等数学》统测试卷中第四题为：证明函数在点ｘ＝０处连续但不可导。阅卷时发现题中有关不可导的证明有下列两种证法：上述证法中前者无疑是正确的，那么后者是否正确呢？回答是肯定的。实际上...     

微分方程的化归术

关于数学家的思维特征，匈牙利数学家RozsaPeter有独特见解。她认为数学家的思维过程有规律可循：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题”。举一个通俗的例子来刻画数学家的这一思维特征。设想要烧开水，如果提供有煤气灶、水龙头、火柴与水壶，那么，人们的做法是一致的：先将水壶接上水龙头，并用火柴点燃煤气灶，然后再将水壶放到煤气灶上。如果现在其他条件不变，只是水壶已经装有足够的水，这种情况下该怎么做呢？这时似乎也没有异议：可省去往壶中灌水这道工序，而直接将水壶…     

关于连续函数导数不存在的定义及分类

一、引言“高等数学”教材中 ,函数导数的不存在性 ,一般仅在给出函数导数存在的定义之后 ,用一两句话带过。如 :同济大学的《高等数学》(第四版 ) ,在第 98页有这样一句话 :“如果极限 (4)不存在 ,就说函数 y=f (x)在点 x0 处不可导 ,如果不可导的原因是由于Δx→ 0时 ,比式 ΔyΔx→∞ ,为了方便起见 ,往往也说函数 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大。”学生在学习时 ,容易产生这样的疑问 :到底函数不可导是如何定义的 ?它会出现哪些不同的情况 ?不连续必不可导这是大家熟知的 ,本文讨论了连续函数导数的不存在的定义及其分类 ,希望能解答…