一个代数不等式及其应用

B︸ O一,卜口 十)s一a 镇 ︸i一e i一。 定理设。,石,c〔R,则 (ab bc ca)簇3一‘(a b c)2《 (a“ bZ cZ)。当且仅当a=b=‘时取等号。 证,.’a,b,e任R .’.(a一b)“ (b一c)“ (e一a)2)0即a“ bZ cZ》a乙 bc ca(1)由(1)两端同加2(ab b: ea),得 (口 b e)2)3(ab 石c ea)(2)由(1)又2后两端同加a“ b“ :“,得 3(02 bZ e么))(a b c)“(3) 综合(2)、(3),得 3(a“ bZ eZ))(a b c)2)3(口b bc ea)显然,当且仅当a二b二即寸取等号. 此定理在数学解题中应用颇广。具有化繁为简之效,值得重视.下面举例加以说明: 例1已知x、万、,〔R十,且x十夕十“=…     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。     

余弦定理的配方变形及应用

余弦定理。’二户十。“一Zb:‘。:A, b:=c恋 a忍一2 cac“sB, c念=a: b:一昌abc。:C经配方,可分别得到下面两种变形: 变形1 .a:=(b一c), 介bc(1一c。:A), b:=(‘一a):今。ca(1一co“B), c:二(a一b)念 ga西(1一cosC); 变形Ia忿=(b c)“ Zbc(1 cosA), b,二(e a):一介ca(1 cosB),     

问题征解

,叱写七口写云月巴舀七里‘云日巴‘七洲云理弓石月巨写七口弓七口S之绝写2岁 一、本期问题征解 编者按为满足广大初中读者要求,本栏从这一期起,增加初中内容的题目,希踊跃参加并给我们来稿. 1.设aZ+a+1=o,求证a’“吕“+a,””’+x=3. 2.设a,b,c都是整数,求证口+b+a“b“ec》(a bc)-万--一.a忿+bZ=7,‘2+dZ=1,ac+bd=0:求ab十cd之值.设 4.求证‘到垫睡巫兰燮丛竺竺亘巫匕业 了1983是整数.“ 5.设实系数二次式f(二)=二2+a二十b,求证: lj(z)1,!f(2)},If(3)I中至少有一个不小于冬 -一26.计算(1+tgl。)(一+tgZ’)…(1+tg44’). 薪春二中肖继…     

问题与解答

一,本期问题 1.设a+夕=3;/4,tga=x.tg夕=万,且x、y为正格数,试求x、刀。:二(工一刀)(x一之)(Zx+夕+之)。解法二令,二xcoso,:二xsi,‘0x“一封3一之3=x3(1一co:忍0一:i,、50)20一:i,:。8) ,;个2.试证11…(,卜1)个一一、x“(cos 20一‘05 30+51x名〔co:20(1一‘o‘0)卜万21‘55…56为一完全平方=x“〔(l一51‘,O)(z一coso) (1一5 ino)〕20(1一sf:0)〕+(1一cos:0)则==求方程:inx“=:inx的最小正解设:为自然数,求和=x3(1一51:0)(1一eoso)(1+51,‘0+1+ co‘0)全+‘呈+…十心)+(c{十‘兰十…十‘孟)十一 34(c 。一一数sn+(‘盈:圣十c盆一生)+:盆.…     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

两个条件不等式及其应用

命题一不相等的正数a、b、c、‘,。为最大数,若。各式相乘可得+‘一b+一则‘,,“‘,‘2,告+令>士十于 证明(1)由题设可得a一。二b一d>O二b>d. 设a一b二c一建=‘,则‘>0,且a二‘+吞,e=汉+‘ .’.耐=(‘+b)注=从+记,倪=b(d十心)=沉+倪 比较两式,,.’b>‘,‘>O,:.“>血,:.加>毗 (2),.’a、b、c汉均为正数,a+滚=石+e,酥>吐刊二令>宁,:告+专>朴告推论不相等的正数。、b、。,若2b二。十。,则(l)‘子应用举例:例l,日N,证明:!(证明略) (·l)2<(粤户,.…!<(岑,·,综上所述…,匀竺宁)’, 例:已知·。N一列,求证士+南十:+六+汾’· 证…     

数学问题解答

1993年10月号问题解答eos 150 eos 250 eos 355o(解答由问题提供人给出)犷mCOSn 400一sin 300COS10。)‘百}100)(sin 856设a,乙,c分别为△ABC三边,且I=a+b+c,S=ab+bc+ca.求证:35三尸三45 1_=刃(s:一n 40.eos40口+szn40“eos10 4.’-一21一2aZ+bZ>2a6bZ‘+eZ七Zbe井2(bZ+aZ+eZ)七eZ+aZ全Zaee。,40。一生e。。100 2sin 800+51。5。。+去,in Z3011 工A几 一一r..声、..、 证2(6e+ab+ea)井aZ+bZ+eZ七ab+be+ea.(一) 又bc+caa+6>cb+c>ae+a)b>aZ+bZ+eZae+be)eZab+ae>aZ井2(ab+6e+ab、>bZ (2)eos 400一 sin 150=Cosl护eos 100 1 16350…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

平均值法的应用

如采用平均位决,就不存在这个问题了!如何取千均仙、?从条件a十Zb+加二招素成。十乙+b一{一。十。十““丁2,12/6=20显燕丹 实际上可均泣应取‘解、狡口二x+2,乙二夕十e,c=:+2,则(x十幻十以犷十助+以之十幻=12, :.x十2刀十3万=O。故砂十2乙艺」一乳之=(x+幻“一卜2(y魂一幻2十十3(:+幻“二相似文献   

RESEARCH ANNOUNCEMENTS On Multiplication Tables of Normal Bases and Their Dual-bases Over Finite Fields

Let q be a Power of a Prime P and n be a Positive integer,9 elements andF=凡二be the oth extension of K.N={a‘K=凡be the finite field with=o,1,…,。一1}15 a normalbasis of F over凡,wherea,== aq’,艺=o,1,…,n一1.VA,:F,letA二艺写、、,Blet咖B玄,几一11,一们乙,二o勺“j,a云,勺匕厂。,七henF望F望心T0(少一’.SoifA=(ao,…,a。一iB=(b0,…,纵一1),AB二C(e。,…,e。一:),thene‘=A,一‘)T,l=0,1,·‘口无,n一i,where几==(:{夕)15:iven by几一1。、。,一艺,{夕心一明任凡无=0On the other hand,T=(t‘,Ja=a价aQ…     

上期课外练习参考解答

,’一袋‘一 {塑二主鱼{’气_:一‘” 1.由题设知1<4一bd女5.又次d头批粉丫 .’.4,州为整数. .’.4一bd~2, 即bd~2. 万户声}万 (丫少,介七气协了 ·{黑或{户或感烤 :’6+“一邢或今士肚冬、_,’、 2.由已知 3a十5b一1乒,“、①,、 4a+7b~z.s厂。.②、., 解得 “=一35一Zc, b~24+c. .’.}⑧!~a+b+c一一35一Zc十24+‘十‘ =一11. 3.①+②十③得,?--- 价蕊,年阳;。沙习汁郑十产不汽a 、①X③X已得..‘伙_、) O妙坏(下_,④ l、‘协解奎· 叭飞至、).‘’仕夕z共d书J外.卜 ①...二+②·少十③·德得_、:.. 扩+二+少+夕十扩+二~x,+笋十二二十3…     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

三角形顶边连线的性质--一个辅助三角形的应用

本文研究三角形顶点与对边任一点连线的一个性质 ,因这种线是三角形中线、角平分线、高的推广 ,故其具有一定的价值 .定理 1　如图 1 ,D为△ ABC的 AC边上任一点 (两端点除外 ) ,AB=a,BC=b,CD =c,DA =d,CA =m,DB =n,∠ DAB ∠ DCB =α,∠ DBC =β,∠ DBA =γ,则有( mn) 2 =( ac) 2 ( bd) 2 - 2 ac. bdcosα,( ac) 2 =( mn) 2 ( bd) 2 - 2 mn .bdcosβ,( bd) 2 =( ac) 2 ( mn) 2 - 2 ac.mncosγ.特殊地 ,当α=π2 时 ,cosα=0 ,于是得到直角三角形的有趣定理 :( mn) 2 =( ac) 2 ( bd) 2 .图 1此定理深刻揭示了直角三角…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

用判别式法求一类分式函数的值域应该注意的问题

对形如,一少了牛黔绍(。。,。)的分式函数 “义.月卜口X卞‘般用判别式法求其值域.具体作法是,由~少, 。 .l a义1 b劣 e(1) 去分母得 夕(a、: b二 c)=d、2 e二 f(2)再整理为关于,的方程: (ay一d)二, (by一e)二 气ey一f)=o(3) ,.’x〔R, :.刁=(b夕一。),一4(。y一d)(。少一f)>。(4)又整理为关于夕的不等式: (乙,一4ae)少: 2(Zaf Zed一6e)少 eZ一4df 》〕·(5) 最后解此关于夕的不等式就得到y的取值范围. 然而,不等式(5)的解集是否恰为函数式(l)的值域还需考虑. 若记(z)、(2)、(s)、(4)、(5)这五个式子中的y的取值范围分别是集Yl、Y:、犷:…     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

例说一对复数不等式的应用

<正>复数具有点和向量的双重属性,利用它的以上特性构建不等关系证明不等式或求值的题也屡见不鲜,其实利用复数的运算特点也可以构建不等关系来证明不等式或求值.我们知道z=(a+bi)/ (c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+(bc-ad)/(c2+d2)i(a、b、c、d均为实数,且c、d不同时为0).     

谈一道因式分解题的应用

在l4i学因式分解内‘序‘扣画式护,护王。‘一3。b‘、.熟冬.现攀只脚朴较简的二种若夕掩节十乡冬+e“3。。。;、常见这祥对可二此题,·道越,,、分添分解演踌濒一一执。十;、。了〔萨扮、价小、朴一。污 乙,,.月、甸。确)a戒,尔J。,卜3叻“护。b、。‘.。‘(a七好‘)〔(。+b)’卜‘“+句见+、‘,“〕 右和厂.一;‘“冲+等(。衬+七)(。’千6“+eZ一ub一be一。。) 山此,‘容易礴到以下}、、个戈撇的结论.吸一)着a;+6十。=o,则了:aa+b“+‘·“”3 abc.(2)角于丈。+b+c)(。“+b“+e“一ab一be一e的 若设a>o,吕>今屯_咚>o几.·熨!1 11!。+b+。>…     

两类特殊二元一次方程组的解

二元一次方程组{(1)当a:、b:、a一x b.夕=cla:x bZ少=cZc:和a:、b:、(!忿;会;},。)c:分别成等差数列时,方程组的解是{(2)当a:、b:、劣=一1y二2c;和a:、bZ、。2分别成等比数列且公比分别为q:、q,时,方程组的解是{y=证明:(l)一q一qZq一 q:将方程组改写成a:‘ (a: d:)夕=a: Zd;aZ二 (a: dZ)夕=a: Zd:(I)(I)(a:b:一匕:d:斗。)(I)xa:一(I)xa:,得(a;d:一a,dZ)夕=2(a Zd:一a,dZ)(2) 夕=2代入(I)〔或(I)〕得x=一1.将方程组改写成.’.广“一1 、夕=2。X q lyx q:y=好=q量(I)(F)(g:一Q:车。)(l(一(F),得(g:一g;)少=g荃.’.y=q: qZ,代入(l)一…