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本刊1983年第四期的问题征解上有这样一题求证(1+2+3+…+1983)|(1~5+2~5+3~5+…+1683~5)。在解此题时,我们从1~3+2~3+3~3+…+n~3=(1/4)n~2)n+1)~2=〔(1/2)n(n+1)〕~2=(1+2+3+…+n)~2,发现(1+2+3…+n)|(1~3++2~3+3~3+…+n~3)对任意自然数n皆成立。我们试问是否也有(1十2+3+…+n)|(1~5+2~5+3~5+…+n~5)对任意的自然数n皆成立呢!回答是肯定的。不难证明1~5+2~5+3~5+…+n~5=(?)(n+1)~2(2n~2+2n-1),因此,(1+2+3 相似文献
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自然数有许多奇妙的性质。这里,我们介绍一个有趣的问题:各位数字和的整除问题。曾经有这样一道初等数论题:“求证在顺序的39个自然数中,必有一个数,使得它的各位数字的和为11所整除;又如果这个数恰好处在第39个,试求出最小的这样的39个顺序的自然数”。从这道题,我们自然可以提一个更一般的问题,如果11代以任意的自然数,情况会怎样? 相似文献
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数列是高中数学的重要内容之一,也是高考考查的重要内容之一.高考对数列的考查主要涉及等差数列、等比数列的通项、前n项和的相关问题,以及数列与其他主干知识如函数、不等式等相结合的综合问题,也有与其他知识如数论知识相结合的问题,比如2008年和2009年江苏高考连续考查了数列中的整除问题.这类数列中的整除问题在高三复习中经常闯入我们的视线, 相似文献
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<正>数列是高中数学的重要内容之一,也是高考考查的重要内容之一.高考对数列的考查主要涉及等差数列、等比数列的通项、前n项和的相关问题,以及数列与其他主干知识如函数、不等式等相结合的综合问题,也有与其他知识如数论知识相结合的问题,比如2008年和2009年江苏高考连续考查了数列中的整除问题.这类数列中的整除问题在高三复习中经常闯入我们的视线,而同学们解决这类问题往 相似文献
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统编教材高中数学第三册在数学归纳法一节中,有一类整除问题,这些命题的共同特点是指数上都有自然数n,一般均可用二项式定理的下列性质进行证明;因为(a+b)~n展开后的n+1项中,前n项皆含有a,最后一项为b~n,所以(a+b)~n=a·m+b~n(m∈N)。即以a除(a+b)~n 相似文献
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在整式除法中,存在关系被除式A=除式B×商式Q 余式R 当R=0时,则称被除式A能被除式B整除.或除式B整除被除武A,即A=BQ,原理然简单,却能简化整除时字母系数确定的问题。例1 多项式2x~4-3x~3 ax~2 7x b能被x~2 x-2整除,则a/b的值是 相似文献
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常有如下的一类题目: n为任意自然数时,求证: (1) 3~(4n 2) 5~(2n 1)能被14整除; (2) 5~(2n 1) 3(n 2)·2~(n-1)能被19整除等。这类数学问题,通常都是为学习数学归纳法设置的。人们不禁要问:结论是如何得出来的呢?是否只能用数学归纳法解呢?本文介绍两个定理,它可以解决这些题。 相似文献
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在数学解题过程中,直接举出满足条件的数学对象(或反倒),导致结论的肯定(或否定),或者利用具体问题的特殊性,设计一个框架,通过问题的转化来解决,这种解题方法称为构造法,构造法是一种重要的数学思想方法,应用构造法证明某些整除性问题,常可收到事半功倍的效果。常用的构造法有如下几种: 1 构造函数例1 证明7|sum from k=1 to 1986(2~k)(《数学通报》1986年6月号问题征解第416题) 证明构造函数 f(χ)=2(χ+1)~(662)-2, 显然,f(χ)是χ的整系数多项式。∵f(0)=0, ∴χ|f(χ),故7|f(7)。而f(7)=2·8~(662)-2=2(2~(1986)-1)=sum from k=1 to 1986 (2~k)得证。 相似文献
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在实际计算中,经常会碰到计算下面类型的式子赫i长丽十J蔽七矛+二王六蔽二++肃丽·不蔽刁了琢石币刀.面+漏+‘云石价万尹,2漏万7夜)十痴玩动万漏面动可,赢二」玉而了+ 1£‘”50.51昨80.+ 1‘i月80’sl’”1 10.补+万‘”1 10.“”140’的值。这些三角式有共同的特点:(一)组成这些三角式的每一项都是分式,其分子都是l,分母都是两个余弦函数(或正弦函数)值的乘积,(二)这些三角式的各角组成的数列都是等差数列,并且相邻两项中前一项分母的后一个三角函数值等于后一项分母的前一个三角函数值这些三角函数式的值的计算是否有一般的公式呢,经初… 相似文献
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整个中学数学中,有不少的有关“整除性问题”,比较集中地出现在“数学归纳法”和“二项式定理”两节中,在众多的参考书及数学竞赛中也是累见不鲜的一类习题。大家知道,“整除问题”是中学中相当困难、复杂的一部分,论及这一问题的有关文章,都不同程序的应用了“同余式理论”“费尔马定理”等知识,对不了解“数论”的读者,教师,特别是学生不易接受,甚至有适得其反的效果。在中学阶段不可能(也不必要)深入论及这一问题。在这里我们就课本中出现的整除问题作一归纳与剖析,对理解这部分教材,编拟和解答这类 相似文献
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关于整除性问题的证明,中等数学习题中屡有所见,在学过数学归纳法后尤多,亦有应用因式分解法证明的。目前重点高中代数第一册已讲过余数定理和因式定理,但此处未曾见到,似觉不够。这里就利用余数定理证一类整除性问题试举几例,供同志们参考。例1,求证4~(2n+1)+3~(n+2)能被13整除(高中数学第三册P。158复习题)。证∵4~(2n+1)+3~(n+2)=4·16~n+9·3~n,故不妨设f(χ)=4·χ~n+9·3~n,则问题化为求证f(16)能被13整除,∵13=16-3,f(χ)除以χ-3的余数为f(3)=4·3~n+9·3~n=13·3~n于是f(χ)=(χ-3)g(χ)+f(3)=(χ-3)g(χ)+13·3”,将χ=16代入得f(16)=13·g(16)=13·g(16)+13·3~n,故f(16)能被13整除,即13|4~(2n+1)+3~(n+2)。上述证明,显然较之数学归纳法要简明得 相似文献
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本刊在83年第4期中刊登边先同志提出的《一个有趣的整除问题》,本人看后略有启发。这一问题可以转化成P~(p+k)+(p+k)~p能否被p+(p+k)=2p+k整除的问题,这里p,k均为正整数,且p为奇素数,k为偶数,p+k为奇素数。根据《一个有趣的整除问题》 相似文献
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两项指数和及两项特征和的混合均值 总被引:1,自引:0,他引:1
利用解析方法以及高斯和的性质研究一类二项指数和及二项特征和的混合均值问题,并给出一个精确的表示式.作为应用,给出该和式的一个渐近公式以及该和式与Dirichlet L-函数加权均值的一个较强的渐近公式. 相似文献
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考虑了一个具有内部物质对流和非线性边界热交换的多维连铸Stefan问题,并得到了这个问题整体弱解的存在性、唯一性和对初边界条件的连续依赖性。本项工作改进和推广了J.F.Fodri-gues&F.Yi的结果,放宽了他们对内部流和边界条件的一些不太符合实际的限制。 相似文献