例谈用三角代换解题

在数学解题中 ,妙用m2 =m2 ( sin2θ cos2θ)巧作代换 ,可使复杂问题简单化 ,获得简捷优美的解法 ,从而提高学生解题的灵活性 ,培养学生思维的创造性 .下面兹举几例供参考 .1　解不等式例 1　解不等式3- x - x 1 >12 .(第四届 IMO试题 )简解　因为( 3- x) 2 ( x 1 ) 2 =4 ,可令　 3- x =2 sinθ,x 1 =2 cosθ,　θ∈ [0 ,π2 ].则原不等式化为　 2 sinθ - 2 cosθ >12 ,∴　 2 sinθ >2 cosθ 12 ( * )由　θ∈ [0 ,π2 ]可知 2 cosθ 12 >0 ,( * )式两边平方并整理可得32 cos2θ 8cosθ - 1 5<0 ,解得 0≤ cosθ <31 - …     

对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

含根式不等式的处理方法

含根式不等式因技巧性较强,历年来颇受命题者喜爱,下面请欣赏几例. 一、三角代换例1 已知xi≥0,x0=0,sum from i=0 to nxi=1.求证:sum from i=1 to n xi/(1+x0+…+xi-1)(xi+…+xn)~(1/2)<π/2.证明 令x0+…+xi-1=sinθi-1,0=θ0≤θ1≤θ2≤…≤θn=π/2.则原式=sum from i=1 to n sinθi-sinθi-1/cosθi-1     

两个不等式的三角证法及其推广

在一些刊物上 ,常讨论下述不等式 :设a >1,b>1,c>1,则a3b2 - 1+ b3c2 - 1+ c3a2 - 1≥ 92 3(1)a5b2 - 1+ b5c2 - 1+ c5a2 - 1≥2 56 15 (2 )本文就这两个不等式给出统一的三角证法 ,并给以推广 .首先给出下面引理 .引理　若θ∈ 0 ,π2 ,k是正整数 ,则sin2 θ·cos2k - 1θ≤ 2 (2k - 1) 2k - 1(2k + 1) 2k +1.当且仅当secθ =2k + 12k - 1时 ,等号成立 .证　由均值不等式得 :(2k - 1) (sin2 θ +cos2 θ) =(2k - 1)sin2 θ2 +(2k - 1)sin2 θ2 +cos2 θ+cos2 θ +… +cos2 θ(2k - 1)项≥ (2k +1)·2k + 1(2k - 1) 24 (sin2 θ·cos2k - 1…     

在圆内解释两个三角公式

利用圆的特点 ,不难解释三角函数公式 :tan θ2 =sinθ1+cosθ和cot θ2=1+cosθsinθ .如图 ,△BOC中 ,∠BOC =θ,AB为⊙O的直径 ,CD⊥AB于D .　　则　OC =OA =OB =R ,　∠CAB =θ2 .在△COD中 ,CD =Rsinθ ,　OD =Rcosθ,∴　tan θ2 =CDAD=RsinθR +Rcosθ=sinθ1+cosθ,cot θ2 =ADCD=R +RcosθRsinθ =1+cosθsinθ .在圆内解释两个三角公式$河南省永城第三高中(二)九班!476600@刘冬辉…     

一道三角题的几种解法

题目若 且求tanθ的值.三角模型解1 由已知可得cosθ≠0,因此将等式两边同除以cosθ得3tanθ 4=5secθ. 两边平方整理得(4tanθ-3)2=0,三角模型解2 由3sinθ 4cosθ=5,可得则 ,即.     

一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…     

一个三角不等式的推广及应用

宋庆先生近年发现了一个新颖、奇特的三角不等式 :[1]在△ ABC中 ,有cos2 A cos B cos C >34( 1 )经探讨发现 ,( 1 )式可推广为如下两个定理 ,并由此轻而易举地解决几个与之相关的Apl问题 .定理 1　在△ ABC中 ,对λ≥ 1 ,n∈ N,有　 cosn A λ( cos B cos C)　 >λ - ( n - 1 )λn2 .n- 1nn- 2 λ. ( 2 )证明　 cosn A λ( cos B cos C)　　 =cosn A 2λsin A2 cos B - C2　　 >cosn A 2λsin2 A2　　 =λ cosn A λcos A.当 A为钝角或直角时 ,- 1 相似文献   

配凑二项平方和,巧解三角问题

配方法是广大同学非常熟悉的数学思想方法,但解题时,很多同学都不习惯于配凑二项的平方和,使配方法的作用大打折扣.下面结合一些三角问题,举例说明配凑二项平方和在解题中的应用.1　求值已知sinθ+cosθ=2 ,求log12 sinθ·log12 cosθ之值.解　由sinθ+cosθ=2 ,有2sinθ+2cosθ=2 ,即sinθ- 222 +cosθ- 222 =0 ,∴sinθ=22 ,cosθ=22 .故　log12 sinθ·log12 cosθ=14 .例2　已知α,β为锐角,且cosα+cosβ-cos(α+β) =32 ,求α,β之值.解　由已知,得4cos2 α+β2 - 4cosα+β2 cosα- β2 +1=0 ,即　2cosα+β2 -cosα- β22 +sin2 α…     

巧 用构造数列法妙解（证）三角题

巧用构造数列法解决三角问题是一种解题技巧 ,它能沟通各门知识 ,但用构造数列法处理三角问题却极为少见 ,其实 ,用构造数列法解三角问题 ,往往能收到事半功倍之奇效 ,现举例说明如下 :1　构造等差数列法解三角问题 :根据条件构造等差数列 ,再利用等差数列的性质去解决 ,这种方法就是构造等差数列法 .例 1　已知 sinθ cosθ=15,θ∈ ( 0 ,π) ,则ctgθ的值是 . ( 1 994年高考题 )解 :由条件 sinθ cosθ=15,可知 sinθ、11 0 、cosθ能构造成等差数列 .设公差为 d,则 sinθ=11 0 - d,cosθ=11 0 d.由 sin2 θ cos2 θ =1 ,可得 11 0 …     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

新题征展(91)

A题组新编1·已知二次函数f(x)=ax2 2x c的值域是[0, ∞),那么(1)aa2 1 cc2 1的最大值是;(2)ca2 1 ac2 1的最小值是;(3)2ca2 1 2ac2 1的最小值是·(王广余提供并解答第1,2,3,9题)2·(1)若f(x)=sin(x θ) 3 cos(x θ)是奇函数,则θ=;(2)若f(x)=sin(x θ) 3 cos(x θ)是偶函数,则θ=;(3)若f(x)=sin(x θ) 3 cos(x-θ)是奇函数,则θ=;(4)若f(x)=sin(x θ) 3 cos(x-θ)是偶函数,则θ=·3·过椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0)焦点F的直线l交该椭圆于A、B两点,记FA=r1,FB=r2,求(1)r1r2的取值范围;(2)r1r2 r2r1的取值范围·B藏题新掘4·若m是一个给定的…     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

理清概念防微杜渐--纠正一个广为流传的典型错解

理清概念是解题的第一步 ,概念不清往往是解题失误之源 ,下面看一个流传很广的典型错解案例 .案例　已知两个复数集合M =z｜z=cosθ+ ( 4 -m2 )i,m ∈R ,θ∈R ,N =z｜z=m + (λ+sinθ)i,m ∈R ,θ∈R ,且M ∩N≠ ,求实数λ的取值范围 .分析　这是 2 0 0 0年北京海淀区六月份高考模拟试题 ,也是许多复习资料上广为流传的题目 .常见的解法就是模拟试题参考答案 ,由已知 ,集合M、N中至少有一相等元素 ,于是cosθ + ( 4 +m2 )i =m+ (λ+sinθ)i,由复数相等的定义得cosθ=m4-m2 =λ +sinθ消去m得λ =4-cos2 θ -sinθ=sin2 θ-sinθ+ 3=(s…     

新题征展(29)第5题的推广

贵刊新题征展 ( 2 9)第 5题的推广结论是 :图 1如图 1 ,在△ ABC中 ,CD⊥ AB,∠ C =2θ,CE是∠ C的角平分线 ,CD =h,DE =m,则AB =h( h2 m2 ) sin2θh2 cos2 θ - m2 sin2 θ.下面采用与原题解法相异的等面积法证之 .证明　设 BC =a,AC =b,AB =c,S△ ACE S△ BCE =S△ ABC易知 CE =2 abcosθa b.又因为　 CE2 =h2 m2 ,于是有　 h2 m2 =4 ( ab) 2 cos2 θ( a b) 2 ( 1 )由面积关系及余弦定理得ch =absin2θ ( 2 )c2 =( a b) 2 - 2 ab( 1 cos2θ) ( 3)由 ( 1 ) ( 2 ) ( 3)三式联立消去 a b和 ab后可得　 h2 …     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

读“sinx≤x≤tan x的简单运用“后的思考

武增明老师在文[1]中提到重要不等式:sinx≤x≤tanx,x∈0,2π,当且仅当x=0时等号成立.思考:x→0时,则sinx→x,tanx→x.在导数中,研究瞬时速度时会涉及这一知识的应用.例1、如图所示,质点P在半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动,且角速度为2rad/s,设A(1,0)为起始点,求t时刻时,点P在x轴上的射影M的速度.思路解析:设经过t时刻∠MOP=θradOM=OP·cosθ=cosθ,则影子的位移S=AM=-(1-cosθ)ΔSΔt=-[1-cos(θ ΔΔθt)] (1-cosθ)=cos(θ ΔΔθt)-cosθ=cosθ·cosΔθ-siΔntθ·sinΔθ-cosθ当Δθ→0时,cosΔθ→1,sinΔθ→Δθ∴ΔS=…     

一道联赛题的两种解法

1999年全国高中数学联赛第三题是一道三角不等式问题 ,难度适中 ,能充分考查学生的基本素质 .题目　已知当x∈ [0 ,1]时 ,不等式x2 cosθ -x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .命题组提供的解答构思巧妙 ,方法独特 ,但技巧性较强 ,学生不易想到 .下面介绍两种学生容易接受和掌握的常规解法 .方法一　 (判别式法 )设　f(x) =x2 cosθ-x( 1-x) +( 1-x) 2 sinθ=( 1+sinθ+cosθ)x2 -( 2sinθ +1)x+sinθ ,易知二次函数 f(x)的对称轴x =2sinθ +1( 2sinθ+1) +( 2cosθ +1) .由x∈ [0 ,1] ,f(x)恒正可知f( 0 ) =sinθ>0 ,　f…     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的