一个不等式定理的别证

不等式a3 b3 c3≥3abc(a、b、c∈R )是高中数学中的一个重要定理,在教材中该不等式是用比较法证明的,下面再给出其它四种证法,证明如下:     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…     

关于矩阵秩的一个定理

许多线性代数教材在处理“矩阵秩是矩阵中非零子式的最高阶数”的定理中,常用向量组线性相关、线性无关的知识来证明.本文我们尝试用矩阵分块乘法的方法来证明这个定理.     

Banach空间中算子的秩定理

设E和F是Banach空间,B(E,F)表示映E到F的有界线性算子全体.记T0+∈B(F,E)为To∈B(E,F)的一个广义逆.本文证明,每一个具有||T0+(T-T0)|| J<1的算子T∈B(E,F),B≡(I+T0+(T-T0))-1T0+是T的广义逆当且仅当(I-T0+T0)N(T)=N(T0),其中N(·)表示括弧中算子的零空间.这一结果改进了Nashed和Cheng的一个有用的定理,并进一步证明Nashed和Cheng的一个引理对半-Fredholm算子有效但一般未必成立。     

Banach空间中算子的秩定理

设E和F是Banach空间,B(E,F)表示映E到F的有界线性算子全体.记T+0 ∈ B(F,E)为T0 ∈ B(E,F)的一个广义逆.本文证明,每一个具有‖T+0(T-T0)‖＜1的算子T ∈ B(E,F),B≡(I+T+0(T-T0))-1T+0是T的广义逆当且仅当(I-T+0T0)N(T)=N(T0),其中N(·)表示括弧中算子的零空间.这一结果改进了Nashed和Cheng的一个有用的定理,并进一步证明Nashed和Cheng的一个引理对半-Fredholm算子有效但一般未必成立.     

矩阵的秩的一个定理和线性方程组的同解定理

本文给出了矩阵乘积的秩定理的一个逆形式,并应用它证明了线性方程组的同解定理. 本文中的符号同[1].在[1]中有以下定理: 定理:两个矩阵的乘积的秩不大于每一因子的秩.特别,当有一个因子是可逆矩阵时,乘积的秩等于另一因子的秩.     

多维秩极限定理(Ⅰ)

<正> §1.记号定义 本文中,R_m表示m维向量空间,Z_m(Z_m~+)表示所有分量都是非负(正)整数的m维向量的全体.x∈R_m的第j个分量记作x~(j).对x_1,x_2∈R_m,记号x_1<(≤)x_2表示x_1~(j)<(≤)x_2~(j),j=1,…,m.此外,m元分布函数F(x)的第j_1,…,j_s(1≤j_1<…相似文献   

圆周向量定积定理

在平面几何中(如图1),我们知道“直径所对的圆周角为直角”.即M为⊙C上的动点,总有MA·MB=0为定值.起点⊙C圆周上的向量称为⊙C的圆周向量.图1图2定理设⊙C的半径为R,其同心圆⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图2),那么MA·MB=R2-R′2为定值.证不     

一般矩阵元素振动秩的一个定理

在文[1]列满矩阵元素扰动秩的稳定性基础上,运用矩阵的范数,分析,研究一般矩阵A∈C^m&;#215;n元素扰动秩的问题,得出“存在ε＞0,只要δA∈C^m&;#215;n,满足||δ||＜ε,则有A＋δA∈U^nk=rC^m&;#215;nk=r的结论。     

多维秩的极限定理(Ⅱ)

<正> 设■是m维随机向量族。对每n,j,以X_(nl)~(j)≤…≤X_(nk_n)~(j)记X_(nl)~(j),…X_(nl)~(j)的次序统计量，设l≤r-n~(j)≤k_n，并简记■，称■的秩化列。文献[1]中我们对一秩秩人列的极限分布进行了讨论，现在讨论变秩，即{r_n}满足时秩化列的极限分布问题.§1是准备工作,其中包括[2]关于一维结果的一点改进.§2讨论m维秩化列的极限分布.§3对二维情况得到了更完善的结果.最后,在§4中把我们在§2,§3中得到的结论用于多维次序统计量,推进了Siddiqui、Weiss等人的工作.     

一般矩阵元素扰动秩的一个定理

在文 [1 ]列满矩阵元素扰动秩的稳定性基础上 ,运用矩阵的范数 ,分析、研究一般矩阵 A∈Cm× nr元素扰动秩的问题 ,得出“存在 ε>0 ,只要 δA∈Cm× n,满足‖ δA‖ <ε,则有 A+δA∈∪nk=r Cm× nk ”的结论 .     

置换群直积的张量对称类的秩

假定基环R是特征为零的整环，并且使得它上每个有限生成的投射模是自由模．本文研究有限秩自由R-模的张量积相对于有限个置换群直积而言的张量对称类，给出了张量对称类非平凡的判别准则以及相应张量对称类秩之间的关系式，并将所得结果应用到模情形．     

拟秩统计量的一极限定理

<正> §1.摘要.在本文中我们将证明下面的结果.定理1.设 X_1,…,X_m;Y_1,…,Y_n;Z_1,…,Z_1是从具有连续分布函数 F 的总体中抽出的独立样本,此处 F 滿足以下三个条件:1°F 为关于原点对称,并具密度函数 f 的分布;2°存在一有限常数 K,使得对任何 x 及 h≠0 有     

欧拉定理、费马定理的另证

欧拉定理和费马定理是数论中两个非常著名而重要的定理．     

欧拉定理、费马定理的另证

欧拉定理和费马定理是数论中两个非常著名而重要的定理.欧拉定理设m是大于1的整数,(a,m)=1则aφ(m)≡1(modm)其中φ(m)为欧拉函数,即φ(m)为0,1,2,…,m-1中与m互质的数的个数.费马定理若p是素数,则ap≡a(modp)费马定理是欧拉定理的推论,在各种教科书上,欧拉定理都是通过简化剩余系而获得的.由费马定理易证以下事实:若p为素数,h1,h2,…,hn为整数,则(h1 h2 … hn)p≡h1p h2p … hnp(modp)本文的思路是:先证上面的事实,然后导出费马定理,最后在费马定理的基础上推出欧拉定理.用数学归纳法证明.(Ⅰ)当n=1时,h1p=h1p(modp)显然成立.(Ⅱ)假设n=k(k…     

一个定理的简证

本文给《初探》一文中的定理一个简洁的证明 .( 1)如图 4 ,任作正△ DEF ,因设 A <12 0°,知180° - A >60°,故可在正△ DEF内取一点 Z′,使∠ EZ′F =180°- A,∠ FZ′D =180°- B.分别作线段 DZ′、EZ′、FZ′的中垂线 ,两两相交于 A′、B′、C′,则A′、K、Z′、N共圆 ,故     

矩阵秩分解定理的一个证明及其应用

矩阵的秩分解定理是矩阵论中的一个基础性定理.本文给出了秩分解定理的一个证明,描述了其中可逆矩阵P,Q的构造,讨论了秩分解定理及其P,Q的构造在解线性方程组中的应用,以及在判别Sylvester不等式等号成立中的应用.     

韦达定理与和积问题

韦达定理与和积问题０４８１００山西省阳城县城吴中学赵书平韦达定理，实质上揭示了一元二次方程两根的和与积同系数的关系，所以当问题的已知条件中含有形如ｍ＋ｎ＝ρ，ｍｎ＝ｑ的等式时，可利用逆定理构成一元二次方程ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０来解决．例１若ｍ，ｎ，ｐ，ｑ...     

别证一个不等式

<正>贵刊2013年7月(下)课外练习题初三年级第3题是:设a、b、c为△ABC的三边长,S为面积,则a2+b2+c2≥43～1/2S(1)此题是安徽的王秉春老师提供的,其答案给出的证法很是巧妙,但学生不易想到.笔者再给出另一种学生较易想到的证法.证明设p=1/2(a+b+c),由秦九韶—海     

一个猜想的别证

第42届IMO第2题：对所有正实数a,b,c,证明：