神奇的等积变换

<正>将一个几何图形变成与它面积相等的一个几何图形或几个几何图形的面积和叫作等积变换,等积变换是一种重要的数学手段,如我们经常利用同底(或等底)等高的两个三角形的面积相等就是一种等积变换.虽然等积变换这个概念我们并不陌生,但巧妙地运用等积变换,却可以化腐朽为神奇,收到意想不到之解题效果.下面我们以北京市的两道以等积变换作为主线的中考题为例说明.     

例谈“平行线等积变换”解二次函数面积问题

<正>在平面几何的面积问题中,经常会使用:同底等高(或同高等底)的三角形面积相等．平行线的等积变换,在函数和平面几何的面积问题中应用比较广泛,解题效果事半功倍．下面我们利用典型例子来说明如何利用平行线等积变换解二次函数问题．1基础知识:平行线的等积变换     

等积变形与面积证题(二)

<正>面积证题,往往涉及两块等积图形.因此会证明图形等积,从而实现等积变形是极为关键的一步.下面例举几种常见的图形等积变形.Ⅰ.三角形的底边在直线a上,第三个顶点在与a平行的直线a′上.无论底边在a上如何平移变位和第三个顶点在a′上如何变动,新三角形与原三角形总是等积的.同时,当底边相同时,马上得出阴影部分的两个三角形等积.Ⅱ.等高三角形面积之比等于其底边之比.等底三角形面积之比等于其对应高之比.     

例析等积法的解题技巧

初中数学中的等积法是一种十分重要的解题思路与方法,其实质是一种转换思想,例如运用“两个三角形等底等高则面积相等”的性质,把一些较复杂的难以直接解决的问题,转化为较简单的能够间接解决的问题,从而使问题得到简捷的解答.本文中结合四类典型实例,探讨和总结了运用等积法解题的方法与技巧.     

剖析一道几何题

本文根据"平行线"的特点,利用同底等高的两个三角形面积相等的性质,巧作辅助线,方法巧妙,供欣赏.     

浅析面积等分线的作法

"等底等高的三角形面积相等",这个性质在作图形面积等分线时很有用,比如:三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形,分得的两三角形面积相等,这条线就是三角形面积等分线.如图1,D为BC中点,AD就为△ABC的一条面积等分线.应用一、过三角形一边上任一点作三角形的面积等分线     

面积法解题例说

二、基本性质 1．同(等)底等(同)高的两个三角形面积相等．2．同(等)底的两个三角形面积的比等于高的比．3．同(等)高的两个三角形面积比等于底的比．4．两个相似三角形面积的比等于相似比的平方．     

多边形面积任意等分的几何作图方法

笔者通过对多边形面积等分问题的探讨,找到一种几何作图方法。其基本原理就是利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质,将多边形转换为等积的三角形。再利用等分线段的基本作图方法,就可将多边形面积任意等分了。其基本作图方法举例如下: 1 过多边形边上一点,分多边形面积为n等分例1 设P点为五边形ABCDE边上任一点,过P点将五边形ABCDE的面积分成七等分。作法:(见图1)     

用常见的面积关系解竞赛题

本文将一些常见图形中的面积关系进行归纳，将其用来解有关的数学竞赛题．先介绍有关的基本定理：1．三角形的三条中线将该三角形分成面积相等的六个三角形，其中三条中线的交点是该三角形的重心（如图1）．2．平行四边形两条对角线将该平行四边形分成面积相等的四个三角形（如图2）．3．平行四边形的边上任一点和对边两端点的连线将该平行四边形分成面积相等的两部分．Rll图3中的S。一sl＋sZ一会见。·I。·4．平行四边形内任一点与四个顶点的连线将其分成四个三角形，则对顶的两三角形面积之和相等．即图4中SI＋SZ-S3＋S4．5．任意四…     

同高三角形面积之比

<正>性质等高不等底的三角形面积之比等于底边之比.性质应用举例:例1如图1,在平行四边形ABCD中,M是BC边上一点,AM与对角线BD交于点N,若S△ABN=3,S△BMN=2,则S△DMN=,S△AND=.分析由S△ABN=3,S△BMN=2,利用等高不等底的三角形面积之比等于底边之比,可求出AN:MN的值,根据△AND∽△MNB,继     

复数的积与商的向量表示

复数的积与商的向量表示龙云和（湖南省凤凰县第一民族中学４１６２１１）在复数的向量运算中，任意给定两个复数ｚ１，ｚ２；我们可以根据平行四边形法则和三角形法则求出它们的和与差；而对于它们的积与商则只能给出其辐角所在的终边．本文通过引进单位长度的办法，给出...     

竞赛中的等高三角形面积问题

我们知道,等高三角形的面积比等于它们对应底边的比,其中等底等高三角形面积相等.利用等高三角形的这一性质,进行等高三角形的面积与对应边线段之间的互相转化,有助于我们解决一些三角形中的面积问题.     

拟柱体积与中国堤积公式

§1.拟柱公式 1.拟柱是平面图形梯形概念在三維空間的推广。在平行两直綫上各任取一綫段(图1 AB,CD),又用綫段連結同側端点(如AC,BD)。此四綫段围成的多边形是梯形,三角形、平行四边形是梯形的特殊情况。平行两平面上各任取一多边形(图2“上底”五边     

数学问题解答

617.试证:等底、等高、等两腰差的两个三角形全等。证.如图:Q、R分别为△ABC与△A′BG的旁切圆圆心,QE、RF为相应圆的半径,易知     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

蝶形初探

两个对顶的三角形，如图1（甲），就构成一个蝶形ABCD，也即有一个自交点的四边封闭折线．和，从而它七个项角的和等于一个ACF同一个四边形BDEG内角的总和，因此，是540°．在四边形中，两条对角线一连，就构成一对共生的蝶形，如图1（乙），在梯形、平行四边形研究中，派上了大用场．在三角形内任取一点E，如图1（丙），将顶点和这点连结延长，即把三角形划分为三个共生蝶形，它们不仅在三角形的各心，而且在高、角平分线、中线研究中发挥着独特作用．圆周角定理、相交弦定理，如图1（丁）的研究，也离不开蝶形．笔者试翻了近年各省市…     

三角形面积比与线段比相互转换的应用

由“三角形的面积等于它的底与高的积的一半”定理,很易得到“等底(高)的两个三角形面积之比等于这底上的高(这高所对应的底)之比。”据此,我们可以进行三角形的面积比与相应的线段比的相互转换。这种转换似乎极为平常,但对于解决一些国内外数学竞赛题,却往往带来方便。下面从三个方面举例说明。一、求面积比或面积问题例1 在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC与BD交于E,若△DCE的面积是△DCB正的面积的1/4,则△DCE的面积是△ABD面积的     

平面向量数量积问题解法剖析

<正>在三角形、四边形等平面几何图形中,给定一定关系,求两个向量的数量积在近几年高考中经常出现,本文通过两个高考题,总结解决此类问题的常用方法.例1(2012年湖南文数15)在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP     

突出过程引领教学--2014年南京市中考数学压轴题的赏析

一、原题呈现
　　题目（2014年南京卷第27题）【问题提出】
　　学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究。     

几何中的“变形金刚”——等积变形

<正>变形金刚在汽车与机器人之间自如的变形赢得不少的惊叹.而在图形的世界里,三角形也可以灵活的变形.作为变形的媒介,平行线也重回我们的视线.如图1,由m∥n,可得S_(△ABC)=S_(△ABC1)=S_(△ABC2)(同底等高).可见,点C在直线m上任意移动,都可以保证三角形面积不变.看来三角形的这种变形可以是无穷多种,想怎么变就怎么变,所以,三角形的等积变形堪称是几何中的"变形金刚".本文就和大家一起见识一下"变形金刚"在各个领域如何施展拳脚.