与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界

设f为一个算术函数，S=｛x1，…，xn｝为一个n元正整数集合．称S为gcd-封闭的，如果对于任意1≤i，j≤n，均有（xi，xj）∈S．以S=｛y1，…，ym）表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合．设（f｛xi,xj））表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最大公因子（xi,xj）处的值．设（f[xi,xj]）表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最小公倍数[xi.xj]处的值．本文证明了。(i)如果f∈Cs=｛f:(f*μ)(d)＞0，x∈S,d|x｝这里f*μ表示f与μ的Dirichlet来积，μ表示Mobius函数，那么并且（1）取等号当且公当S=（ii）如果f为乘法函数，并且1/f∈Ca,那么并且（2）取等号当且仅当S=。不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果。＃且（1）＄＄95llttgS－g；（n）toilk＃ffed数，＃if｝。C。，W4并且问取等号当且仅当S一S．不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Li少在1993年和1995年所得到的结果     

与自然数有关的几个定理的应用

使用下列几个定理（证明都很简单，在此从路），可简捷地论证几类与自然数有关的题目．定理1若k、n∈N，f（n）与g（n）满足f（1）＝g（1）且f(k 1）-F(k)=g（k＋1）－g（k），则有f（n）=g（n）．定理2若k、n∈N，xn=f（n）－g（n）且{xn}单调速增（或递减），且f(1)－g（1）＞0（或f（1）－g（1）〈0），则f（n）＞g（n）（或f（n）＜g（n））．定理3若k、n∈N，f(n)与g（n）不为零，f(n)与g（n）满足f(1)=g（1）且f（n－1）g（n－1）,则f(n)=g(n)。定理4若k、nEN，有正值函数人n）与＿，＿、＿。j（k）＿g（k），。。。＿。g（n）满足…     

河南省暨重庆市(1998)高中数学竞赛试题及解答

一、选择题：（本题满分30分，每小题5分）1．在等差数列｛an｝中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a9－a10的值为（C）2．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作倾角为的弦AB，则△ABF1的面积为（B）．5．一半径为a的半球内切于顶角为90°的圆锥，半球的底面在圆锥的底面内，则V半球：V圆锥等于（A）6．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，对任意x∈R，都有f（x＋4）＝f（x）＋f（2）成立．则f（1998＝（D）．即f（x）是以4为周期的函数．∴f（1998）＝f（499×4＋2）＝f（2）＝0．二、填空题（本题满分30分，…     

关于亚纯函数的唯一性

设f（z）是非常数亚纯函数,n是正整数,F（z）=,其中aj（z）（j=0,1,2,…,n）均是f（z）的小函数．本文证明了：若f（z）满足N（r,f）=s（r,f）,且f（z）=b1（z）F（z）=b2（z）,这里b1（z）、b2（z）为f（z）的小函数,b1（z）0,b2（z）0,δ（0,f）＞,则或者f·Fb1·b2．     

“Katona-Kleitman定理的推广定理”的简短证明

本文给出“Katona-Kleitman定理的推广”的简短证明.设S是n元集合,S1,S2,…,Sk是S的k分划,f是S的子集系,使得没有A,B∈f,满足存在某个Si有A∩Si=B∩Si,而对所有Sj(1≤j≠i≤k)有A∩Sj∈B∩Sj,则     

环形排列计数的一种方法

对于n种不同颜色的球的重集S＝｛m1·b1,m2·b2,…,mn·bn｝,其中球bj有mj个,（j＝1,2,…,n）,Σmj＝m,把S中所有的球进行线排列有种排列方法,但把S中所有球进行环形排列（简称对S进行环形排列）情况就复杂得多．我们定义了循环节,给出了计算环形排列方式数CP（m1,m2,…mn）的递归方法．定义一个环形排列（不妨以顺时针方向看）,以K≥1个（α1,α2,…,αj）组成,称（α1,α2,…αj）为一个循环节,j为此循环节长．当（α1,α2,…αj）不能再分为2个或2个以上循环节时,称此循环节为不可分的．若某环形排列只有一…     

F2＋vF2上生成M序列的非奇异反馈函数的性质

M序列是一类最长的非线性伪随机序列．本文研究了在F2＋vF2上生成M序列的非奇异反馈函数f（x1，X2，…，xn）所具有的3条性质：1）Rf≠f；2）Djf为互不相同的生成M序列的非奇异反馈函数（j=1，v，1＋v）；3）在f的多项式表达式中，常数项j。一定不为0；若线性项x2，x3，…，xn全出现，则它们的系数不能全为1或j。     

关于CM分担四个公共小函数的亚纯函数结论的改进

关于CM分担四个公共小函数的亚纯函数结论，我们在考虑重值的条件下，改进了李平和杨重骏^[2]的结论：设f(z)与g(z)为非常数亚纯函数，aj(z)(j=1,2,….4)为f(z)与g(z)的四个判别的小函数，若f(z)与g(z)满足Ek)(aj,f)=Ek)(aj,g),(j=1,2,3,4)且k(≥15）是正整数，则f(z)是g(z)的拟分式线性变换。即:存在f(z)与g(z)的四个小函数a(z),b(z),c(z),d(z),使得f=ag b/cg d(ad-bc≠0），（亦称Quasi-Mobuys变换）。     

亚纯函数及其n阶导数权分担两个值

研究亚纯函数及其n阶导数权分担两个值的唯一性问题.得到了：如果两个非常数亚纯函数f,g分担（∞,∞）,f（n）与g（n）分担（1,0）,n（≥0）为一整数,且满足C0：=（4n＋6）λ＋δn＋1（0,f）＋δn＋1（0,g）＋δn＋2（0,f）＋δn＋2（0,g）＋δn（0,f）〉4n＋10,其中λ=max{min{Θ（∞,f）,Θ（0,f）},min{Θ（∞,g）,Θ（0,g）}},那么f（n）·g（n）≡1,或者f≡g.该结果改进了前人的有关定理.     

函数f（x）=ka^x＋（pa^-x） ＋q的对称中心

文[1]给出了函数f（x）=Ca^x＋D/Aa^x＋B对称中心，文[2]又给出了函数g（x）=1g（cx＋d/ax＋b）的对称中心，这两个函数同时具备中心对称的性质，是孤立的还是有某种联系呢？以它们最特殊的两个函数f（x）=a^x＋1/a^x-1,     

对一组容易混淆问题的剖析

问题已知函数f（x）=（x-1）^2，g（x）=x^3-3x^2-6x＋m． 1）若对于任意的x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数优的取值范围；     

多元函数取条件最值的充分条件

根据泰勒公式以及实二次型的正定理论，本文介绍”中利用矩阵判定函数取得条件最值的充分条件，该结论具有一般性。若z＝f（x）与gk（x）船可微，则z＝f（x）在gk（x）＝0时（k＝1，2，…，m且m＜n）于c处取条件最值的必要条件是：存在人一（x，砧，…，此）ER”，使得点风（c，入）是拉格朗回函数。）的稳定点，这里如果在此基础上我们对有关函数的限制加强，则可继续作如下讨论。设P。什，入）是拉氏函数的稳定点，X一八X）与以（X）是二阶连续可徽的，设A是满足约束条件：g。（x）一0的一切点x的集合，则任取c的充分小的0邻域U（c，…     

全纯函数族涉及公共值的正规定则

研究涉及公共值的全纯函数正规族问题．设F为单位圆△内的全纯函数族,a,b为两个判别的有穷复数且b≠0．文中证明了若对每一个,f∈F,Ef(a)=Ef(a),E↑-f′（b)包含于E^-f(b),则F在单位圆△内正规．     

二阶系统边值问题的正解

本文以关于非线性全连续算子的锥不动点定理为工具，研究以下二阶系统边值问题x"（t）＋λa（t）f（x（t），y（t）＝0，y"（t）＋λb（t）g（x（t），y（t））＝0，x（0）＝x（1）＝y（0）＝y（1）＝0．在不假定f单调的情况下，本文得出了上述问题存在正解的若干充分条件．     

与分担值相关的正规族

设F是一族平面区域D内的亚纯函数,a和b是两个满足a／b岳N＼{1}的有穷非零复数．如果每个函数f∈F都满足f（z）=a→f′（z）=a和f′（z）=b→f″（z）=b,那么函数族F在D内正规．构造了一个在单位圆内不正规的亚纯函数族,族中每个函数f在单位圆内满足f（z）=m＋1→←f′（z）=m＋1和f′（z）=1→←f″（z）=1,这里m是一个给定的正整数．     

一类滞后差分方程解的渐近性

考虑时滞差分方程xn－xn-1＝F（－f（xn）＋g（xn－k）），这里k是正整数，F，f，g是R→R的连续函数，F和f在R上单调增加，且对所有的u≠0，uF（u）＞0.我们证明了如果对所有的y∈R，有f（y）≥g（y）（f（y）≤g（y）），则方程的每个解趋于一个常数或－∞（∞）．进一步，如果对所有的y∈R，有f（y）≡g（y）；则方程的每个解当n→∞时趋于常数．     

Stability problem of Hyers-Ulam-Rassias for generalized forms of cubic functional equation

Let n≥2 be an integer number. In this paper, we investigate the generalized Hyers Ulam- Rassias stability in Banach spaces and also Banach modules over a Banach algebra and a C＊-algebra and the stability using the alternative fixed point of an n-dimensional cubic functional equation in Banach spaces：f（2∑j=1^n-1 xj＋xn）＋f（2∑j=1^n-1 xj-xn）＋4∑j=1^n-1f（xj）=16f（∑j=1^n-1 xj）＋2∑j=1^n-1（f（xj＋xn）＋f（xj-xn）     

CM分担两个公共值集的亚纯函数唯一性

证明了存在一个具有2个元素的集合S_1和一个具有5个元素的集合S_2,使得对任何两个非常数亚纯函数f与g,只要满足E(S_j,f)=E(S_j,g)(j=1,2),就有f≡g.     

关于周期函数的定义及教学中应注意的问题

1问题的提出在中学数学教学时，经常会遇到类似这样的问题：函数y＝sinx（x＞0）是不是周期函数？要回答这个问题，我们还得从周期函数的定义谈起．2关于周期函数的定义关于周期函数的定义，我们常见的有如下两种：定义1设f（X）是定义在某数集M上的函数，若有在一常数T（≠0），具有性质；（i）对于任回x∈M，有±T∈M;（ii）对于任何x∈M，有f（x＋T）＝f（x），那么称f（x）为集M上的周期函数．常数T称为f（x）的一个周期．定义2对于函数y＝f（x）的定义域内的任意一个x的值，若存在一个非零常数T，使得f（x＋T）＝f（x）恒成立，则…     

亚纯函数的唯一性定理

本文研究了亚纯函数的唯一性问题，证明了：存在一个有限集合S，使得对任何两个非常数亚纯函数f与g，只要满足，必有f≡g．