Mathematische Spuren in der Philosophie

Zusammenfassung. Keine andere Wissenschaft hat in der Geschichte des abendl?ndischen Denkens auf die Philosophie so herausfordernd, stimulierend und innovativ gewirkt wie die Mathematik. Seit der Antike haben die ma?gebenden Philosophen vielf?ltige mathematische Spuren in ihrem philosophischen Werk hinterlassen. Diesen Spuren soll hier in dreifacher Hinsicht nachgegangen werden: Spurensuche – Spurensicherung – Spurendeutung. Exemplarisch wird an sieben Philosophen aufgezeigt, da? und wie jeweils ein subtiler Begründungszusammenhang besteht zwischen der Art und Weise des Zugriffs auf Mathematik sowie der Konzeption und Entfaltung des eigenen philosophischen Entwurfs. Eingegangen am 21.12.1998 / Angenommen am 26.02.1999     

Das Jones-Polynom und Entwirrungs-Invarianten in der Knotentheorie

Zusammenfassung. Dieser Artikel ist eine elementare Einführung in die Knotentheorie und grundlegender Invarianten wie das Alexander-Polynom und das Jones-Polynom. Es wird der sehr einfache Zugang zum Jones-Polynom von Kauffmann dargestellt. Das Alexander-Polynom wird mittels Seifert-Fl?chen und der Seifert-Paarung eingeführt. Beide Invarianten sind sogenannte Entwirrungs-Invarianten (Englisch: skein-invariants). Die wesentlichen Eigenschaften der universellen Entwirrungs-Invarianten und ihre Konstruktion mit Hilfe von Spuren auf Hecke-Algebren und der Darstellung von Knoten durch Z?pfe werden beschrieben. Eingegangen am 6.3.1996 / Angenommen am 11.9.1996     

Aspekte der Stirlingschen Zahlen zweiter Art

Zusammenfassung. Die Stirlingschen Zahlen zweiter Art spielen in der Differenzenrechnung (und damit auch in der Numerischen Mathematik) sowie in der Kombinatorik eine bedeutende Rolle. Verwiesen sei hierbei auf Jordan [2], der sie in seinem Buch über Differenzenrechnung als mindestens so bedeutend wie die Bernoullischen Zahlen erachtet, sowie im zweiten Fall u.a. auf die Bücher über Kombinatorik von Aigner [1] bzw. Riordan [3]. über eine Anwendung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollen in der vorliegenden Arbeit neue Aspekte bezüglich der Darstellung gewisser Potenzsummen gewonnen werden. Ferner wollen wir herausarbeiten, da? diese Zahlen unter mehreren Gesichtspunkten als komplement?r zu den Binomialkoeffizienten betrachtet werden k?nnen. Dies wird an den entsprechenden Stellen durch „Argumente” hervorgehoben. Wie die folgenden Herleitungen zeigen werden, erweist sich die Einführung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art über die Rekursionsformel als der einfachste Weg. Eingegangen am 5.5.1995 / Angenommen am 10.1.1996     

Die (un-)berechenbare Angst des Mathematikers vor dem Fliegen

Zusammenfassung. Das Fliegen ist ein uralter Traum der Menschheit, der erst zu Anfang des 20. Jahrhunderts erfüllt werden konnte. In dieser Arbeit wird auf humorvolle Weise die Geschichte, die Physik und die Mathematik des Auftriebs, der Potentialstr?mungen und der viskosen Str?mungen beschrieben. Ausgehend von den klassischen Arbeiten von L. Euler, J. und D. Bernoulli, dem D'Alembertschen Paradoxon und den Potentialstr?mungen als Triumph der Reinen Mathematik gelangt man zu den Navier–Stokes-Gleichungen dreidimensionaler Str?mungen mit ihren offenen Problemen. Eingegangen am 28. Juli 1998 / Angenommen am 7. September 1998     

Der Stein-Chensche Ansatz zur Poisson-Approximation und zum Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes

Zusammenfassung.   Befa?t man sich in der Didaktik mit stochastischen Fragestellungen, so ben?tigt man bei Anwendungen früher oder sp?ter den Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Beweis seiner allgemeinen Fassung wird dabei nirgendwo ausgeführt, denn “dieser Satz ist schwer zu beweisen” (Scheid [11], Seite 103). Siehe dazu auch Krickeberg-Ziezold [8], Seite 106: “Der Beweis dieses Satzes bedarf allerdings zu vieler analytischer Hilfsmittel, als da? er im Rahmen dieses Buches pr?sentiert werden k?nnte“. Mit Hilfe der Steinschen Methode leiten wir auf elementare Art und Weise eine Fehlerschranke her, die die klassische Form des Zentralen Grenzwertsatzes sowie einen Spezialfall des Satzes von Berry-Esséen über die dort vorliegende Konvergenzordnung impliziert. Dabei wird beim Beweis neben einfachen Umformungen nur der Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen ben?tigt. Im Zusammenhang mit der Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung wurde die Steinsche Methode zuerst von Chen [5] angewandt; die lange gesuchte “optimale” Fehlerschranke leiteten schlie?lich Barbour und Hall [2] her. Verwiesen sei in diesem Zusammenhang insbesondere auf das Buch von Barbour et al. [3]. Einen Gesamtüberblick über beide Themenkreise, die vielf?ltigen weiteren Anwendungen der Steinschen Methode und ausführliche Literaturhinweise findet man bei Barbour [1]. Hier wollen wir über den Begriff der Strukturfunktionen beide Ans?tze soweit wie m?glich vereinheitlichen und die faszinierende Idee sowie die elementaren Beweise einem breiteren Publikum vorstellen. Eingegangen 06.12.1996 / Angenommen 06.03.1998     

Optimale Quantisierung

Zusammenfassung. Optimale Quantisierungen oder – damit ?quivalent – minimale Summen von Momenten spielen in mehreren Zweigen der Mathematik und ihrer Anwendungen eine Rolle. Ausgehend von der Fejes Tóth'schen Ungleichung für Summen von Momenten in der euklidischen Ebene und einem zugeh?rigen Stabilit?tssatz, werden gewisse Erweiterungen auf normierte R?ume und riemannsche Mannigfaltigkeiten h?herer Dimension besprochen. Die Ergebnisse werden dann auf Probleme aus folgenden Bereichen angewendet: (i) Datenübertragung, (ii) Wahrscheinlichkeitstheorie, (iii) numerische Integration, (iv) Approximation konvexer K?rper und (v) isoperimetrische Probleme. Eingegangen am 29. Mai 2002 / Angenommen am 8. Juli 2002     

Aspekte eines didaktisch sensiblen Mathematikverständnisses

Zusammenfassung. „Wer die Mathematik verstanden hat, kann sie auch unterrichten.” Dieser oft ausgesprochene Satz postuliert einen Automatismus zwischen Fachkenntnis und Lehrqualit?t. Eine ebenso h?ufig anzutreffende Gegenthese dazu lautet: „Wer selbst Schwierigkeiten mit der Mathematik hatte, kann sich besser in die Probleme der Schüler/innen einfühlen.” Beide Positionen erfassen den Zusammenhang zwischen Fachwissen und Vermittlungsf?higkeit zu grob. Die vorliegenden Ausführungen m?chten sie deshalb umwandeln in eine Frage: „Wie muss man die Mathematik verstanden haben, damit man sie wirksam unterrichten kann?” Dazu sollen im folgenden einige Aspekte entfaltet werden. Eingegangen am 10.02.1998 / Angenommen am 06.07.1998     

Kinematisch-funktionales Denken als Ziel des höheren Mathematikunterrichts – das Scheitern der Meraner Reform

Zusammenfassung. Der Meraner Reform wird die Einführung der Funktionenlehre und der Differential- und Integralrechnung in den h?heren Mathematikunterricht zugeschrieben, und damit eine tiefgreifende Auswirkung auf die gymnasialen Curricula im 20. Jahrhundert. Von diesem Standpunkt sieht es so aus, als seien die Ideen der Reformer um Felix Klein seit Beginn des 20. Jahrhunderts inzwischen erfolgreich in die Schulpraxis eingeflossen. Der Funktionsbegriff steht im Zentrum der Sekundarstufe I, und der Analysisunterricht ist heute wesentlicher Bestandteil der Oberstufenmathematik. Mi?t man den Erfolg der Meraner Reform jedoch an deren ursprünglichem Hauptziel „Erziehung zur Gewohnheit des funktionalen Denkens”, so ergibt sich ein anderes Bild. Im folgenden soll gezeigt werden, da? vor diesem Hintergrund die Meraner Reform als gescheitert betrachtet werden kann. Um Belege und auch Ursachen für das Scheitern zu finden, ist es notwendig, zun?chst die Vielschichtigkeit des Begriffs „funktionales Denken” darzulegen. Was verstanden die Meraner Reformer unter „funktionalem Denken”? Eine Antwort soll im Rahmen didaktischer Vorbemerkungen aus dem Meraner Lehrplan und anhand zweier konkreter Beispiele aus dem damaligen Mathematikunterricht gegeben werden. Danach stellt sich aus heutiger Sicht die Frage, inwiefern die „alten” Ideen der Meraner Reformer gegenw?rtig für den schulischen Mathematikunterricht wirksam sind. Eingegangen am 07. Januar 2000 / Angenommen am 31. Januar 2000     

Topologie verallgemeinerter Kegelschnitte

Zusammenfassung. Wir verallgemeinern eine Definition von Kegelschnitten, indem wir mehr als zwei Brennpunkte und Gewichte zulassen, vgl. [7, 12, 6, 11], und wir betrachten Punktemengen in beliebigen Normen, vgl. [4]. Wir überprüfen verschiedene Eigenschaften klassischer Kegelschnitte auf ihre Gültigkeit für verallgemeinerte Kegelschnitte hin. Insbesondere zeigen wir z.B. für positive Gewichte, da? das Innere der verallgemeinerten Kegelschnitte konvex ist, da? diese Mengen bzgl. der Inklusion total geordnet sind und eine kleinste nichtleere Menge enthalten. Schlie?lich teilen wir die verallgemeinerten Kegelschnitte in verschiedene Klassen ein, die als Verallgemeinerungen von Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln aufgefa?t werden k?nnen und eine neue Klasse, die kein „klassisches” Analogon hat. Eingegangen am: 10.1.1996 / Angenommen am: 23.9.1996     

Die Lehre vom Flächeninhalt ebener Polygone: einige Schritte in der Mathematisierung eines anschaulichen Konzeptes

Zusammenfassung. Es werden einige Stationen in der Ausarbeitung der Begriffe Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit nachvollzogen. Diese führte zur Herausbildung eines wohlumschriebenen methodischen Ansatzes und zu einer pr?zisen Definition des Begriffes Fl?cheninhalt für ebene Polygone. Ein wichtiger Aspekt dieser Entwicklung war es, eine klare Unterscheidung herauszuarbeiten zwischen dem ma?theoretischen Zugang zum Fl?cheninhalt – im nachfolgenden Fl?chenma? genannt – und dem kongruenzgeometrischen Fl?chenvergleich, welcher über Multikongruenz (auch Zerlegungsgleicheit oder endliche Gleichheit genannt) und eventuell Erg?nzungsgleichheit erfolgt. W?hrend das Fl?chenma? (im weiteren mit bezeichnet) eine nichtnegative reelle Zahl ist, ist der Fl?cheninhalt im Sinne des Vergleichs eine ?quivalenzklasse (im weiteren mit A bezeichnet). In dem Rahmen, in dem wir uns hier bewegen werden, stützt sich der ma?theoretische Zugang in der Regel auf die bekannte Formel für das Fl?chenma? des Rechtecks. Diese wird deshalb im nachfolgenden eine wichtige Rolle spielen. Nach einem überblick zu Euklids Lehre vom Fl?chenvergleich im ersten und sechsten Buch seiner Elemente, welche den Ausgangspunkt für alle weiteren Entwicklungen darstellt, werden wir Legendre's Behandlung (1794) des Fl?chenma?es des Rechtecks betrachten sowie seine begrifflichen Pr?zisierungen. Dann studieren wir zwei Abhandlungen von P. Gerwien (1833), welche sowohl in technischer als auch in konzeptueller Hinsicht wichtige Verbesserungen brachten und die ?quivalenz von Fl?chenma? und Fl?chenvergleich für euklidische und sph?rische Polygone bewiesen. Schlie?lich gehen wir auf Duhamels Kritik (1866) und auf Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) ein. Hilbert war es, der die Lehre vom Fl?cheninhalt in den axiomatischen Rahmen einordnete und der auch die heute üblichen Bezeichnungen einführte. Die L?sung Hilberts legte den Gedanken nahe, da? man Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit auch in der hyperbolischen und in der sph?rischen Geometrie verwenden k?nnen sollte. Das letztere hatte bereits Gerwien getan, das erstere wurde von H. Liebmann (1905) im Anschlu? an die Dissertation von L. Gérard (1892) geleistet. Unsere Betrachtungen enden mit der einheitlichen Theorie des Fl?cheninhaltes, die A. Finzel (1912) ausarbeitete und die erstmals alle drei klassischen Geometrien umfa?te. Die Theorie des Fl?cheninhaltes wird systematisch vom modernen Standpunkt aus in [4] und in [44], Kap. XI, entwickelt; man vergleiche auch den Artikel von R. Kellerhals in dieser Zeitschrift ([35]) sowie den übersichtsbeitrag [25] von H. Hadwiger. Eine auf den gymnasialen Mathematikunterricht ausgelegte elementare aber sehr ausführliche Darstellung gibt Faifofer ([15]).

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Eingegangen am 26.03.1998 / Angenommen am 25.05.1998     

Zopfgruppen und Einbettungsprobleme

Zusammenfassung Diese Schrift erg?nzt die Arbeit [9] im Hinblick auf die Darstellung fast einfacher Gruppen als Galoisgruppen über Hilbertk?rpern. Dabei wird unter einer fast einfachen Gruppe eine Zwischengruppe von einer nicht abelschen einfachen GruppeG und ihrer Automorphismengruppe Aut(G) verstanden. Unter geeigneten Voraussetzungen an die Darstellung von Aut(G) als Galoisgruppe erh?lt man eine sogenannte GAR-Darstellung, aus deren Existenz die L?sbarkeit von Einbettungsproblemen mit dem KernG ⁿ unmittelbar folgt (vergleiche [7] bzw. [8, IV]). Die beiden resultierenden S?tze werden an einigen linearen Gruppen PSL _n (q) erprobt. Hierbei wird festgestellt, da? zum Beispiel auch die Gruppen PSL₃(3) und PSL₃(4) GAR-Darstellungen über ℚ besitzen.     

Das Image der Mathematik – und was man dagegen tun kann

Zusammenfassung. Das Image der Mathematik in der ?ffentlichkeit ist traditionell schlecht und oft von mangelnder Kenntnis und falschen Vorstellungen gepr?gt. Mit dem Bild, das Mathematiker von ihrem Fach zeichnen, hat es meistens wenig ?hnlichkeit. Zun?chst soll dieser Kontrast mit alten und neuen Zitaten belegt und pr"azisiert werden. Immerhin haben sich Mathematiker in den letzten Jahren verst?rkt darum bemüht, ihre Wissenschaft auch Laien verst?ndlicher zu machen. Auf der anderen Seite w?chst das Bewu{?}tsein für die Bedeutung von Mathematik für unser heutiges Leben – allerdings beruht es nicht selten auf vagen Ahnungen, so da?vom Schattenreich Mathematik die Rede ist. Au{?}erdem ist Mathematik durch TIMSS und PISA auch wieder ins Gespr?ch gekommen. Als Reaktion darauf gibt es zur Zeit viele Ideen und Vorschl"age, wie man den Mathematikunterricht an Schulen, aber auch die Lehre an Hochschulen ver?ndern mü{?}te. Manche sind interessant und vernünftig, oft überf?llig, manche schie{?}en aber übers Ziel hinaus und n?hren Utopien, die neue Probleme mit sich bringen werden. In dieser Situation k?nnte es nützlich, ja vielleicht notwendig sein, die ?nderungswünsche mit dem Selbstverst?ndnis von Mathematik zu konfrontieren, welches bei ihren besten Vertretern stets über das eigene Fach hinaus reicht. Eingegangen am 28 Juni 2002 / Angenommen am 8 Oktober 2002     

Die Entwicklung der Symbolik in der Logik und ihr philosophischer Hintergrund

Zusammenfassung. Die Entwicklung angemessener Symboliken ist für die Entwicklung der Mathematik und ihrer Teildisziplinen zu jeder Zeit eine wichtige Bedingung gewesen. Ein langer und schwieriger Weg führte zu den heute in der Logik gebr?uchlichen Symbolsystemen. Er begann mit Buchstaben als Abkürzungen für S?tze und Eigenschaften bei Aristoteles und für kategorische S?tze in der mittelalterlichen Syllogistik. In seiner „characteristica universalis” formulierte Leibniz Grunds?tze für eine exakte Zeichensprache, die er mit der Idee einer Algebra dieser Zeichen verband („mathesis universalis”). Erst Boole, der die Unabh?ngigkeit logischer Beziehungen von der Bedeutung der Symbole erkannte, begann mit der Verwirklichung dieser Idee. Frege schlie?lich gelang 1879 die Analyse des Satzes. Er schuf die erste umfassende formale Sprache. Ihre schwierige zweidimensionale Symbolik jedoch entsprach nur wenig der allgemeinen Intuition logischer Beziehungen und verdeckte für lange Zeit die epochale Bedeutung der Arbeiten Freges. Die heute verwendeten Symbolsysteme gehen zurück auf Arbeiten Peanos. In seinem Projekt „Formulario”, alle S?tze der Mathematik zu symbolisieren, sah Peano die Idee der „characteristica universalis” verwirklicht. Eingegangen am 9.10.1992, angenommen am 9.6.1993     

Über das Pferderennen in Siena

Zusammenfassung. In Siena findet zweimal j?hrlich ein Pferderennen statt, der sogenannte Palio, bei welchem jeweils zehn Contraden (Stadtbezirke) gegeneinander antreten. Nun hat Siena aber siebzehn Contraden, soda? ein gerechtes Auswahlverfahren n?tig ist. Traditionellerweise haben die sieben nichtteilnehmenden Contraden das Recht, im n?chsten Jahr mitzumachen, und die restlichen drei zur Komplettierung des Starterfelds werden dann durch das Los bestimmt. Dazu wird im folgenden ein mathematisches Modell (und zwar ein stochastischer Proze?) entwickelt, wobei im speziellen Fragen nach der Verteilung der Anzahl der Teilnahmen, nach der mittleren Teilnahmerate und nach der station?ren Verteilung beantwortet werden. Im Zuge dieser Untersuchungen finden auch lineare Differenzengleichungen Verwendung. Im letzten Abschnitt werden grundlegende Aspekte der Theorie der Markoff-Ketten am Beispiel des Auswahlverfahrens des Palio demonstriert. Eingegangen am 24.05.1996 / angenommen am 28.07.1998     

Die eindeutige Primfaktorzerlegung

Zusammenfassung  Die Frage der Primfaktorzerlegung in Unterringen der komplexen Zahlen und der unmittelbar damit zusammenh?ngenden S?tze wird in der heutigen Algebra ohne grossen Aufwand und fast nebenbei behandelt: Studierende haben damit auch kaum Schwierigkeiten. In der Geschichte allerdings verlief die Entwicklung alles andere als gradlinig. Ein genauerer Blick auf die historischen Einzelheiten erlaubt interessante und in vielerlei Hinsicht überraschende Einsichten in die vertrackte Art und Weise, wie sich Mathematik manchmal entwickelt. Hier soll diese Geschichte erz?hlt werden, wie sie sich aus den neueren mathematikhistorischen Forschungen von H.M. Edwards, R. B?lling, O. Neumann und F. Lemmermeyer ergibt, und zwar auf einem Niveau, das einem Mathematikstudierenden nach einer Algebra-Vorlesung zug?nglich ist.     

Zur Mathematik der Optionen

Zusammenfassung. Mit der allgemein stark gewachsenen Bedeutung der Finanztermingesch?fte haben in den vergangenen Jahren insbesondere nach Gründung der DTB Deutsche Terminb?rse GmbH 1988 auch in Deutschland Optionskontrakte bei der Absicherung von Devisengesch?ften der Exportindustrie wie auch bei der Absicherung von Verm?gensanlagen institutioneller Anleger ein immer st?rkeres Gewicht erhalten. Damit einherging eine st?rkere Besch?ftigung mit den zugrundelie genden theoretischen Modellen nicht nur der davon unmittelbar betroffenen Praktiker, sondern auch eine st?rkere wissenschaftliche Beachtung der überwiegend im angels?chsischen Bereich seit Anfang der siebziger Jahre entwickelten stochastischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen. Sieht man einmal von der im Jahr 1900 ver?ffentlichten, ihrer Zeit weit vorauseilenden Dissertation “Théorie de la Speculation” von M.L. Bachelier [1] (betreut von dem ebenso vielseitigen wie genialen H. Poincaré) ab – diese Arbeit ist für mehr als fünfzig Jahre kaum beachtet worden weder von ?konomen noch von Mathematikern –, so stand am Anfang der stürmischen Entwicklung die berühmte 1973 ver?ffentlichte Arbeit “The pricing of options and corporate liabilities” von Fisher Black und Myron J. Scholes [2]. Mittlerweile existiert eine fast unübersehbare Flut von Publikationen zu eben diesem Problemkreis – wobei es sich vielfach nur um Variationen über das genannte Thema von Black-Scholes handelt –, und der Einflu? der publizierten Optionspreisformel auf die realen Optionsm?rkte kann gar nicht hoch genug eingesch?tzt werden. Schlie?lich kann an dieser Stelle nicht unerw?hnt bleiben, da? 1997 die von R. Merton (Harvard), M. Scholes (Stanford) gemeinsam mit F. Black (1938–1995) entwickelte Theorie der Optionspreise durch die Verleihung des Nobelpreises für ?konomie an die beiden zuerst genannten Wissenschaftler gewürdigt wurde (vgl. hierzu auch [7]). Ziel dieses Vortrags ist es, einen kleinen Einblick in das zu vermitteln, was Finanzmathematiker heute bearbeiten, welche Methoden sie verwenden und wie faszinierend und zugleich komplex dieser Bereich der angewandten Mathematik ist.

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Eingegangen am 01.04.1998 / Angenommen am 09.06.1998     

Mathematik lernen für die Schule?

Zusammenfassung. Die Anlehnung dieses Titels an das geflügelte Wort „Nicht für die Schule, sondern für das Leben lernen wir.” ist beabsichtigt. Dieses Wort soll aber von dem Philosophen Seneca mit bissigem Unterton genau anders herum formuliert worden sein: „Nicht für das Leben, sondern für die Schule lernen wir.” Wie dem auch sei - beide Formulierungen umgreifen die Problematik, der die folgenden überlegungen - speziell auf den Mathematikunterricht bezogen - gewidmet sind. Beide Formulierungen unterstellen eine m?gliche Spaltung zwischen schulischem Lernen und lebensweltlichem Bezug. Eingegangen am 31.8.1994, angenommen am 11.11.1994     

Randbemerkungen zur historischen Entwicklung des Tangentenbegriffs

Zusammenfassung Die griechische Tangentendefinition verlangte, da? die Kurve ganz auf einer Seite der berührenden Geraden liegt. Eine allgemeine Methode, die Tangenten an eine beliebige Kurve zu finden, gab es nicht. Es wurden spezielle Konstruktionen (erraten und) angegeben und nachtr?glich bewiesen, da? sie Tangenten lieferten. Roberval und Torricelli leiteten auf Grund der Erzeugung mancher Kurven durch zwei Bewegungen Tangentenkonstruktionen aus dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten ab. Barrow bemerkte, da? man jede Kurve durch zwei Bewegungen erzeugen kann: die Koordinaten werden als Funktionen der Zeit aufgefa?t —x(t), y(t). Fermat und Descartes fanden eine neue Methode zur Berechnung der Tangenten an algebraische Kurven. Sie beruht darauf, da? eine Gerade zwei zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemeinsam hat, und da? dies einen quadratischen Faktor [(y−y ₀)² odere ²] in der Gleichung für die Schnittpunkte verlangt. Diese Methode enth?lt eine neue Definition der Tangente, die auch in Wendepunkten gilt. Die Methode wurde auch — etwas leichtfertig — auf transzendente Kurven übertragen, und lieferte auch richtige Resultate. Die Rechtfertigung dafür erbrachte erst die Differentialrechnung, von der hier nicht mehr gesprochen wird.

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Herrn Professor Dr. Dr.h.c.mult. Otto Haupt mit den besten Wünschen zum 100. Geburtstag gewidmet     

Was k?nnen Quantencomputer?

Quantencomputer benutzen seltsame Effekte der Quantenwelt, n?mlich sogenannte „verschr?nkte Zust?nde“, mit deren Hilfe man die „Bellschen Ungleichungen“ verletzen kann. Dazu beschreiben wir zun?chst ein Gedankenexperiment, das die Andersartigkeit der Quantenwelt eindrucksvoll vorführt. Dann wird die logische Struktur von Quantencomputern entwickelt. Dazu ben?tigt man nur Begriffe aus dem Grundstudium (lineare Algebra, unit?re Matrizen), insbesondere nur endlich dimensionale Vektorr?ume. Als Beispiel für die überlegenheit von Quantencomputern diskutieren wir den Such-Algorithmus von Grover.     

Über die abstandsverträglichen Abbildungen auf dem Kreis und auf der reellen Geraden

Zusammenfassung. Eine Abbildung zwischen metrischen R?umen hei?t abstandsvertr?glich, wenn der Abstand der Bilder zweier Punkte nur vom Abstand der Punkte selbst abh?ngt. Wir zeigen, dass eine Abbildung genau dann abstandsvertr?glich ist, wenn der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt, also ein Endomorphismus der Gruppe ist. Ein entsprechendes Resultat gilt auch für die abstandsvertr?glichen Abbildungen des Kreises (mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenverknüpfung). Damit kann man sowohl alle messbaren abstandsvertr?glichen Abbildungen von bzw. in sich angeben, als auch einen Nachweis für die Existenz nichtmessbarer abstandsvertr?glicher Abbildungen auf und erbringen. Eingegangen am 20. Juni 2001 / Angenommen am 13. September 2001