对“正項級数判斂的一个方法”一文的补充

刘秋生同志在女[1]中提出了一个較达朗貝尔法更有用的判别法,从而使得原来不能用达胡貝尔法判定斂散性的級数,如p級数也能用“比值法”判定。定理內容是这样的: 若单調递減的正項級数 sum from n=1 to ∞a_n=a_1+a_2+…+a_n+… (A)有     

解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件

前言本文的目的,在簡要介紹解綫代数方程組的迭代法之后,主要是对于这种迭代过程的收斂条件問題,从級数收斂方面作了一些考虑,避开了通常方法所涉及到的有关矩陣的特征值和特征向量、向量和矩陣的范数以及矩陣的相似变換等一系列的綫代数理論,而仅仅用到較少的数学分析知識,同样給出了通常的两个收斂性定理及收斂速度估計式。它在教学上提供了一个可以采用的处理教材的方法,也为具有初等分析知識的数学工作者全面掌握这一方法探索到了一个簡便途径。§1.解綫代数方程組的迭代法 設給定n阶綫代数方程組为     

拉特馬吼級数表示的函数

<正> 1.大家知道,接特马吼级数系r_n(x)(n=1,2,…)是这样定义的■：形如■的級数就称为拉特馬吼級数,其中a_m(m=1,2,…)是与x无关的常数. 有关(1.2)的收斂問題,有着下面熟知的定理: 定理A.若則(1.2)几乎处处收斂;反之,若则(1.2)几乎处处不能用綫性求和法求和. 至于(1.2)在收斂时所表示的函数的性貭,那么我們只知道有以下的     

正项级数敛散性的一个判别法

基于正项级数的比较判别法和p-级数的敛散性,给出一个与D’Alembert判别法和Cauchy判别法平行的判别正项级数敛散性的方法.并通过实例对所给判别法的可行性进行检验,发现它是已有方法的一个有效补充.     

綫性代数方程组迭代收斂充分条件的改进

(一)引言用迭代法解线性代数方程組x_1=a_1,_1x_1+a_1,_2x_2+…+a_1,_Nx_N+f_1,x_2=a_2,_1x_1+a_2,_2x_2+…+a_2,_Nx_N+f_2,(1)………………………………………………………………,x_N=a_N,_1x_1+a_N,_2x_2+…+a_N,_Nx_N+f_N,迭代收斂的充分条件是当μ=1或v=1时,上述充分条件不滿足,为此需要寻求更强的迭代收斂判別法則。在[2]中,給出了μ=1时的迭代收斂充分条件。本文将給出更为一般的迭代收斂充分条件,并且用类似的方法,給出了v=1时的迭代收斂充分条件。 (二)μ=1时的迭代收斂性为了定理叙述的需要,我們引进一些定义。若方程組(1)中,某些方程的系数滿足sum from i=t to N |a_(i,j)|<1,則称这些方程为第一級方程,这些方程左端的未知量称为第一級未知量。除第一級以外的方程中,右端包含有第一級未知量的方程称为第二級方程,而第二級方程左端的未知量称为第二級未知量。依此类推,若其一个方程不属于任何一級方程,則称此方程为独立     

直交多項式級数的求和

<正> 1.設φ_o(x),φ_1(x),…是区間(a,b)上之一系列的就范直交函数,孟孝夫証明:当級数∑(a_n log log_n)~2收斂时,直交函数級数 a_oφ_o(x)+a_1φ_1(x)+…+a_nφ_n(x)+…(1)在{φ_o(x)}的直交区間中,几乎到处可用正阶蔡查罗(Cesaro)求和法——(C,a)求和法,a>0——求和.当a=1时,这个定理还有波尔根(Borgen)和卡契馬尔茲(Karczmarz)     

基于正项级数比较判别法的探讨

基于比较判别法,本文提出了比较试验法,目的是帮助学习者快速准确地找到合适的p-级数作为比较对象,进而判断原级数的敛散性.     

对“正項級数判斂的一个方法”的进一步討論

刘秋生同学在“正項級数判斂的一个方法”一文中(数学通报1964午第3期)給出了一个正項級数刊斂法,笔者推想到似乎应該存在一个普遍的規律,經初步研究,結果发現它們确实可以归納成如下的形式: 定理1.設f(x)为一单減連續的正值函数,     

酉羣上的富里埃分析(Ⅲ)富里埃級数的收斂判别法

<正> §3.1.引言 在“酉羣上的富里埃分析Ⅰ,Ⅱ”二文中,我們已經对酉羣上的富里埃級数的Abel求和及Cesaro求和,作了比較仔細的研究,并且給出了富里埃級数的Dirichlet核.本文的主要目的是依靠巳知的Dirichlet核,給出一个比較簡单的收斂判別法.記在n阶酉羣U_n上定义的具有k阶連續微商的函数u(U)的全体为C~k,那末,这个判別法可以叙述     

交错级数收敛性的一个判别法及其应用

对级数的收敛性判别法来说,实用上是否方便是相当重要的。例如柯西判别法虽然强于达朗倍尔判别法,但在许多情形下利用后者更为简单,故后者仍是重要的判别法。又如高斯判别法虽然只是达朗倍尔、拉阿伯与伯尔特昂判别法的综合,但对某些情形使用比较方便,故仍有其存在的价值。 在考虑变号级数的绝对收敛性和条件收敛性,特     

数学问題解答

第9期问題解答(解答由提出人給出) 493.从調和級数 1/1+1/2+1/3+…+1/n+…里划去所有分母中含有数字9的那些項(例如1/9,1/199,…,1/1093等)之后,所組成的部分新級数是收斂到一个不超过80的数。 証.規定部分級数中,分母中各数仅由0,1,2,…,8这9个数字所組成。所以介于和之間所有各数之总数就相当于将9个元素每次取m个的所有可能的重复的选排列数即9~m那么多种可能。这样,包含在10~(m-1)-1与10~(m-1)之間而不含有数字9的非負数为9~m-9~(m-1)个。于是有那个新級数的全体为     

正項級数判斂的一个方法

定理.設所考虑的級数有下面的形式: sum from n=0 to ∞ a_n=sum from n=0 to ∞ f(n),a>0,(A)其中f(n)是当x=n时,由某一函数f(x)所确定的值。假設1)当x>c时(c为常数),f(x)連續且有直到m阶的有限导数。2) (?) f(x)=(?) f′(x)=…=(?) f~(m-1)(x)=0。可用对函数f(x)逐次微分的方法来判別級数(A)是收斂或发散的。即,如果对m次导数f(m)(x),存在一冪函数x~(a m)(a>0)使得 lim x~(a m)f~(m)(x)=K (0≤|K|≤ ∞)。(B)那末1) 当a>1,|K|< ∞时,級数(A)收斂;2) 当a≤1,|K|>0时,級数(A)发散。证.对f(x)和1/x~(a m)之比应用洛毕达法则m次,并注意(B)式: 因此也有     

调和级数和p-级数敛散性证明的一次性简单证法

对国内外流行的研究生或本科教材以及有关文献中关于调和级数和 p-级数剑散性证明的处理方法 ,本文作了概述和利弊分析 ,并且给出了比 Cohn和 Knight的方法 [10 ]以及作者 1 992年的方法 [11]更为优美的一种证明方法 .本文的方法非常初等 ,不依赖比较判别法 ,一次性整个地证明了 p-级数 (包括调和级数 )早敛法 ,而且给出了收敛 p-级数和的一个比 [5]中更精确的上界和一个新的下界 .     

关于发散p-级数的一个不等式

调和级数是发散的,但有与调和级数有关的一个重要极限,它的值是欧拉常数.本文对发散的p-级数作了初步探索,证明了与发散p-级数有关的一个极限的存在性,并给出了它的取值范围.     

關於判斷冪級數一致收斂的Abel定理

斯米爾諾夫所著高等數學教程第一卷第四章,為了講冪級數一的致收斂,先在該章§3,[147]提出了一個判斷函數項級數一致收斂的Abel定理: 定理A. ■在閉區間[a,b]上一致收斂;並且把它叫做Abel判別法,其實這定理的第(iii)條假設不必一切v_k(x)〉0;即便採用該書的證法,只須將字句略加修改,很可以將(iii)換作 (iii＇)對於[a,b]上的每個x,{u_k(x)}~∞,構成單調有界數列,雖然如此修改之後,還不是Abel定理的一般情形。一般情形是u_k(x)=a_k(x)v_k(x)     

动态規划概論

动态規划是运筹学中規划論的一个分支。这个数學方法的奠基人是数学家R.貝尔曼,十多年来,由于他的努力,动态規划发展成为一門具有完整体系和独創性的数学。对于我国人民,运筹学已經是一个熟悉的名子;但是,目前我們經常考虑的还只是綫性規划,用它来处理具有某些綫性特征的过程.然而,在經济活动和技术領域中存在着大量的复杂的多級决策过程問題;这种过程的数学模型具有独特的結构,往往不能直接求解。其中某些問題,虽然在理論上可以用微积分学或綫性規划方法来解决,但是,实际上,解一个簡单的問題也需要大量的演算,并且,遇到技巧上的困难。在許多情     

数学问题解答

第9期问题编者按.这一期的問題里有打上星号*者,是編輯部极欢迎讀者給本刊投寄題解的題目。其题解研討将于年終发表。 493.证明在調和級数 1/1+1/2+1/3+…+1/n+…中划掉所有在分母中含有数字9的那些項(例如1/9,1/199,…,1/1093等)之后,所組成的部分新級数是收斂到一个不超过80的数(湯正誼提)。 494.设直綫PO与平面M相交于O,过O在平面M內引直綫OA,OB,OC,若PO与OA、OB、OC成等角,那末PO垂直于平面M(张美新)。 495.如果p和q是“孿生”素数(即相距为2的一     

用逐次逼近法求三次方程的根

大家知道,計算三次方程的根虽然找到了著名的卡旦公式,可是这个公式还有这样一个缺点,是用包含虚数的立方根来表示方程的实根,并且我們不能用代数的方法去掉这个虛数,加上式子的计算冗繁,因而并不常用于求三次方程的根,而用近似解来替代。近似解法很多,本文介紹一个逐次逼近法。这个方法,虽然課本上从未讲过,但由于它計算簡单,容易掌握,尚有实用价值。我們先看这样一个数列它有二个单調的子数列:{Q_(2n-1)},{Q_(2n)},且有上界a b/a~2与下界a。根据极限存在的基本定理知道,子数列:{Q_(2n-1)},{Q_(2n)}各自收斂于确定的极限S_1和S_2。     

基于p-级数的交错级数敛散性判别法

选择p-级数作为参照级数,由比较判别法可得关于交错级数敛散性判别的一种新方法.新方法可直接判别交错级数的敛散性,并在收敛时,给出级数是条件收敛还是绝对收敛.实例说明其应用.     

证明p-级数收敛和发散的一种简单方法

介绍一类新的正项级数收敛与发散的判别方法,利用其可以方便地判别p-级数的敛散性.