Il problema matematico del sistema ottico concentrico stigmatico

Sunto Si esamina il problema generale del sistema ottico tutto racchiuso da una sfera di raggio finito, dentro la quale l’indice di rifrazione sia una funzione n(r) della distanza r dal centro, tale che, quando il sistema è immerso in aria, ogni punto della sfera esterna abbia immagine perfetta all’infinito. Per n(r) si fanno le ipotesi più generali che possano essere accettate fisicamente; in particolare si ammette un numero finito di punti di discontinuità di prima specie. Dato il modo di costruire la soluzione generale, che dipende da una funzione arbitraria, definita in un intervallo minore del raggio della sfera esterna, si sviluppano a fondo i calcoli per un caso particolare di speciale interesse fisico.     

On the symmetric conservative form of a binary reacting mixture

Summary We consider the system governing a non equilibrium gas flow with a chemical reaction, neglecting, as usual for detonation phenomena, transport effects. It is shown that it is possible to put the system in symmetric and conservative form. Moreover we write the generating shock function and discuss it in the case of a polytropic mixture.

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Sommario Si considéra il sistema di equazioni che governano un gas in cui avviene una reazione chimica trascurando, com'é usuale per i fenomeni di detonazione, gli effetti di trasporto. Si fa vedere che é possibile mettere il sistema in forma simmetrica e conservativa. Inoltre viene scritta la funzione génératrice degli urti che viene discussa nel caso di una miscela di gas politropici.

     

Wave features for a heat conductor with thermal relaxation

Summary In the context of the nonlinear wave theory we study, in the case of a rigid heat conductor, the model proposed by G. Grioli. We point out some properties concerning exceptionality conditions and shock waves. We obtain some functional forms for the specific internal energy at equilibrium and for the heat conductivity by which a weak discontinuity wave never breaks down. Moreover we verify that the model is strictly exceptional.

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Sommario Nell'ambito della teoria delle onde non-lineari si studia un modello per la propagazione del calore proposto da G. Grioli, nel caso di un conduttore rigido.Richiedendo che il sistema di equazioni che regge il modello sia completamente eccezionale si ottengono alcune forme funzionali per l'energia interna all'equilibrio e per la conducibilità termica.Si verifica ehe il sistema é altresi strettamente eccezionale.

     

The modified jump problem for the Helmholtz equation

The boundary value problem for the Helmholtz equation outside several cuts in a plane is studied. The 2 boundary conditions are given on the cuts. One of them specifies the jump of the unkown function. Another one contain the jump of the normal derivative of an unknown function and a limit value of this function on the cuts. The unique solution of this problem is reduced to the uniquely solvable Fredholm equation of the second kind and index zero by means of single layer and angular potentials. The singularities at the ends of the cuts are investigated.

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Sunto Nel presente lavoro si studia il problema al contorno per l'equazione di Helmholtz all'esterno di più tagli nel piano. Le due condizioni al contorno sono assegnate sui tagli. Una di queste prescrive il salto della funzione incognita, l'altra contiene il salto della derivata normale di una funzione incognita ed un valore limite di questa funzione sui tagli. La soluzione univoca di questo problema è ricondotta all'equazione di Fredholm di seconda specie ed indice zero, univocamente risolubiles, per mezzo dei potenziali di singolo strato ed angolare. Si studiano, inoltre, le singolarità agli estremi dei tagli.

     

Il profilo alare ad arco di cerchio in flusso transonico continuo senza incidenza

Sunto Nella presente ricerca viene studiato con metodo diretto sul piano odografico il campo aerodinamico attorno a profili alari sottili ad arco di cerchio investiti senza incidenza da una corrente asintoticamente uniforme con numero di Mach M_∞<1. Il problema viene anzitutto formulato in forma analitica nell'ambito delle piccole perturbazioni transoniche effettuando alcune assunzioni atte a renderne possibile una trattazione di prima approssimazione. Esso viene ricondotto ad un particolare problema di valori al contorno con frontiera mobile, di cui si indica un metodo iterativo per la risoluzione. In questo procedimento iterativo interviene in modo essenziale la risoluzione di un altro problema di valori al contorno con frontiera fissa, di cui viene anzitutto data una formulazione variazionale. Succesivamente tale problema con frontiera fissa viene affrontato mediante calcolo numerico col metodo delle differenze finite. Si ottiene così un sistema di equazioni lineari per il quale si adattano i metodi di risoluzione utilizzati usualmente sui calcolatori elettronici.

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Summary In the present paper it is studied, with direct method on the hodograph plane, the aerodynamic field around thin circular arc aurfoils in asymptotically uniform flow with zero incidence and Mach number M_∞<1. The problem is, first of all, analitically formulated within the limits of small transonic perturbation with some assumption apt to make possible a first approximation treatment. Thus it is reduced to a particular boundary values problem with free boundary, for which an iteraction method for the solution is developed. In the iteraction process the solution of an other boundary values problem with fixed boudary occurs, for which it is given a variational formulation. The fixed boundary values problem is numerically treated by means of the finite differences method. Thus it is obtained a linear equations system which can be solved with the methods usually utilized on Computers.

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A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno

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Lavoro effettuato nell'ambito dei Contratti di ricerca della Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche. Esso, in una stesura più estensiva, ha conseguito il premio Rancati 1969 dell'Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere di Milano. Al primo Autore è dovuta la parte aerodinamica del lavoro e l'impostazione della risoluzione del problema matematico che ne consegue; al secondo Autore lo studio del problema con frontiera fissa; al secondo ed al terzo Autore la trattazione numerica del problema stesso.

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Entrata in Redazione il 10 aprile 1970.     

On the variational formulation for linear initial value problems

Summary The paper shows the key place of the choice of the bilinear form in order to give a variational formulation to a given problem. In particular it is shown how the use of a convolution bilinear form makes possible a variational formulation for linear initial value problems. A critical survey of the three main methods that was devised in the past to solve the same problem is done.

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Sunto. La nota mette in evidenza il ruolo fondamentale della scelta di una forma bilineare al fine di dare formulazione variazionale ad un dato problema. In particolare è mostrato come l'uso di una forma bilineare di convoluzione renda possibile la formulazione variazionale dei problemi ai valori iniziali. Si fa un esame critico dei tre principali metodi che sono stati escogitati nel passato per risolvere lo stesso problema.

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This work has been sponsored by the Consiglio Nazionale delle Ricerche.

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Entrata in Redazione il 19 novembre 1971.     

Poiseuille flow of a rarefied gas mixture

The flow of a rarefied binary gas mixture is governed by transport equations which correspond to a coupled set of Fredholm integral equations of the second kind.By means of the Fourier transform technique and by expanding the transformed kernels in terms or orthogonal functions the problem is reduced to the solution of a system of linear algebraic equations.As a significant application, the case of a plane Poiseuille flow of a binary mixture following Sirovich-Hamel's model is considered.The convergence of the method is excellent.

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Riassunto Il flusso di una miscela binaria di gas rarefatti è retto da equazioni del trasporto che corrispondono ad un sistema di equazioni integrali di Fredholm di seconda specie. Mediante la tecnica della trasformata di Fourier e sviluppando i kernel trasformati in termini di funzioni ortogonali, il problema si riduce alla soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari. Quale applicazione significative si considera il flusso piano di Poiseuille di una miscela binaria che segue il modello di Sirovich-Hamel. La convergenza del metodo e'eccellente.

     

The quasi-static problem for an electromagnetic conductor

Viene studiato il problema quasi-statico per un sistema elettromagnetico con una condizione al contorno dissipativa e con memoria. Si dimostra che se il nucleo di memoria soddisfa un'opportuna restrizione, traduzione in termini analitici della dissipatività locale della frontiera, allora il problema quasi-statico ammette una ed una sola soluzione debole.     

Sopra i sistemi iperbolici di equazioni a derivate parziali (non lineari) in più variabili indipendenti

Sunto Oggetto del lavoro è la riduzione a forma bicaratteristica di un sistema di equazioni a derivate parzialinon lineari in n (n > 2) variabili indipendenti, problema che si presenta molto più complicato in confronto al caso n=2. Procedendo in modo analogo a quanto ha già fatto per i sistemi quasi lineari (vale a dire indipendentemente dalla definizione di I. G. Petrowski) l'A., premessa una naturale estensione della definizione di iperbolicità relativa al caso n=2, stabilisce una condizione sufficiente. Infine mediante alcuni esempi illustra diversi aspetti della effettiva riduzione a forma bicaratteristica. Entrata in Redazione il 26 ottobre 1977. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A.     

Ein Problem des selbsterregten uusymmetrischen Kreisels

Sunto Si tratta di un problema della teoria del giroscopio asimmetrico soggetto a momenti interni, cioè la questione, quali momenti interni muovono il vettore della velocità angolare sempre in uno dei due piani separanti delle polodie del moto allaPoinsot, e come questo vettore allora si muove nel solido. Vi sono due moti asintotici, se i momenti sono costanti, fissi nel solido e giacenti in un piano definito e differente dei piani separanti. Si può risolvere il problema anche per momenti dipendenti dal tempo o dipendenti della velocità angolare.

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Antonio Signorini zu seinem 70. Geburtstag gewidmet.     

Homoclinic and heteroclinic solutions for a class of two dimensional Hamiltonian systems

Summary The problem of the existence of homoclinic and heteroclinic solutions for a class of two dimensional Hamiltonian systems, calledcanyon-like, is discussed. Some basic properties, that are helpful in the qualitative analysis of dynamics, are discussed before stating the principal existence properties for the separatrix solutions. A schematic representation of the dynamics useful for obtaining an immediate sketch of the phase portrait and in computer applications, is proposed. It has been shown how the 1 d.o.f. conservative mechanical systems have a canonical canyon-like structure.

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Sommario E' stato discusso il problema dell'esistenza di orbite omocline ed eterocline per una particolare classe di sistemi Hamiltoniani bidimensionali, denominatitipo-canyon. Si sono mostrate alcune proprietá elementari utili nello studio qualitativo della dinamica. Successivamente si sono discusse le principali proprietà di esistenza per le orbite separatrici. Si é proposta una rappresentazione schematica della dinamica che risulta utile sia per ottenere immediatamente in modo qualitativo il ritratto di fase sia per le applicazioni al computer. Si é mostrato come la classe dei sistemi meccanici conservativi ad un grado di libertà possieda una struttura di tipo-canyon canonica.

     

Local properties of variational solutions for the two-obstacle problem involving square Hörmander operators

We consider the double obstacle problem involving square Hörmander operators. We prove a Wiener estimate giving a generalization of results obtained both for degenerate elliptic operators and for uniformly elliptic operators with bounded and measurable coefficients.

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Sunto Si considéra il problema del doppio ostacolo per un operatore definite come somma di quadrati di campi vettoriali. Si dimostra una stima di Potenziale del tipo di Wiener, generalizzando risultati già noti per il problema ad un solo ostacolo relativo ad operatori ellittici degeneri, nonchè per il doppio ostacolo per operatori uniformemente ellittici con coefficienti limitati e misurabili.

     

Sopra una classe di equazioni ellittiche a coefficienti misurabili

Sunto Si considera una equazione lineare a derivate parziali di tipo ellittico del secondo ordine, a coefficienti reali misurabili. Con una ipotesi conveniente sugli autovalori della forma quadratica associata, si dimostrano una limitazione a priori per soluzioni dotate di derivate seconde di quadrato sommabile, e un teorema di esistenza-unicità per il problema di Dirichlet. Questo lavoro fa parte dell'attività del gruppo di ricerca n. 23 del C. N. R., a. a. 1964–1965.     

On the symmetric conservative form of Landau's superfluid equations

Summary It is shown how to obtain Landau's equations for a superfluid in a symmetric conservative form. On account of the constraints involved, this case is more complicated than those of the classical theory developed by Godunov and by other authors.

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Sunto Si dimostra che è possibile porre in forma simmetrica conservativa il sistema di equazioni di Landau del superfluido. A causa dei vincoli a cui é soggetto il moto del sistema la teoria che si usa risulta piú complessa di quella classica sviluppata da Godunov e da altri autori.

     

Soluzioni generalizzate e disuguaglianze variazionali per alcuni sistemi differenziali non lineari della fisica matematica

Sunto. Si ricercano le condizioni di correttezza per sistemi differenziali del primo ordine di tipo iperbolico. Tali condizioni risultano legate a restrizioni fisiche, in particolare termodinamiche. Pertanto dopo uno studio della termodinamica dei processi retti dalle equazioni considerate si perviene ad una definizione di soluzione generalizzata, esprimibile mediante una disuguaglianza variazionale. In tale nuova formulazione è contenuto sia il sistema delle equazioni differenziali che descrivono il processo fisico e sia una limitazione di natura termodinamica. Per il problema di Cauchy relativo ai sistemi in esame si stabilisce poi nel campo delle soluzioni generalizzate una disuguaglianza integrale sulla energia interna e quindi sotto opportune ipotesi un teorema di unicità. Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca per la Matematica del C.N.R. Entrato in Redazione il 31 dicembre 1971.     

Non-existence of a steady rarefied supersonic flow in a half-space

The one-dimensional BGK model for a Boltzmann gas is studied by linearizing about a drifting Maxwellian. This linearized BGK model is then expressed as an operator differential equation whose unique solution is given by a contour integral of the resolvent of the relevant transport operator. The Wiener-Hopf factorization of the dispersion function for the problem is employed to show that the unique solution to the differential equation exists only for subsonic drift velocities.

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Riassunto Si studia il modello unidimensionale di Bhatnagar, Gross e Krook, linearizzato intorno a una maxwelliana con velocità di deriva. Si trasforma poi questo modello in una equazione differenziale operatoriale, la cui soluzione (unica) è data da un integrale curvilineo del risolvente dell'operatore di trasporto di cui ci si occupa. Impiegando la fattorizzazione alla Wiener-Hopf della funzione di disperisione del problema, si dimostra che la soluzione (unica) del problema esiste solo per velocita di deriva subsoniche.

     

Sur un thÉorÈme gÉnÉral relatif aux Équations intÉgrales de premiÈre espÈce et sur quelques problÈmes de physique mathÉmatique

Seguendo le moderne vedute sulla teoria dei fronti d'onda, si esamina il sistema differenziale quasi lineare, trascritto con le notazioni tridimensionali, della dinamica di un fluido ideale relativistico in condizioni adiabatiche. Le velocità normali di avanzamento, nei tre modi di propagazione ottenuti, sono la naturale estensione di quelle stabilite nell'ambito classico. I fronti d'onda epicentrali, in due modi di propagazione in uno stato costante del flusso relativistico, sono ellissoidi mobili ad assi crescenti linearmente col tempo. Nei casi statici, tali ellissoidi si riducono a sfere con raggi diversi da quelli che si hanno in fluidodinamica classica. Infine si considera il legame fra la velocità normale di avanzamento e la velocità normale di propagazione del fronte d'onda, deducendo di quest'ultima la forma covariante.     

Su un caso di non esistenza e su uno di esistenza e unicità della soluzione di un problema della magnetoidrodinamica stazionaria

Riassunto In questa nota si affrontano alcune questioni di esistenza e unicità della soluzione classica del problema del moto stazionario di un fluido omogeneo, incomprimibile, perfetto, elettricamente condutore attorno ad un ostacolo dielettrico e scarico in un punto del quale è situato un dipolo magnetico. Precisamente, si dimostra dapprima che, nel caso in cui il fluido abbia conduttività finita, il problema suddetto non ammette soluzione se al campo cinetico e al campo magnetico sono imposte condizioni all'infinito alquanto restrittive. Si dimostra poi che opportune ipotesi all'infinito assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione del medesimo problema nel caso in cui il fluido sia un conduttore perfetto.

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Summary This paper deals with some questions of classical solution existence and uniqueness for the problem of the steady flow of an homogeneous, incompressible, perfect, electrically conducting fluid past a dielectric and discharged obstacle in which a magnetic dipole is situated. More precisely, in the first place the non-existence of solutions of the above mentioned problem is proved for fluids of finite conductivity, if rather restrictive conditions are placed on behavior of the kinetic and magnetic fields at infinity. In the next place an existence and uniqueness theorem is established for perfectly conducting fluids.

     

Sostituzioni legate ad una curva di diramazione che possa degenerare in parti doppie

Sunto Si determinano alcuni vincoli per le sostituzioni operanti sulle determinazioni di un piano multiplo avente una data curva di diramazione, vincoli che per ampie classi di piani multipli li determinano univocamente in funzione della curva di diramazione. Si intende cosi portare un contributo al problema dell'identità birazionale dei piani multipli con data curva di diramazione. Si considerano dapprima curve di diramazione ϕ che, variando in un sistema continuo, possano degenerare in una forma limite composta da parti doppie, con comportamento ben determinato per i limiti delle singolarità della curva variabile (tali ipotesi sono effettivamente verificate per un'ampia classe di curve di diramazione). Il risultato viene poi esteso al caso di una curva di diramazione variabileφ (soddisfacente ad ipotesi simili alle precedenti) che sia spezzata in due parti con una di queste corrispondente, non a semplici scambi, ma a sostituzioni su più di due determinazioni Nella ricerca vengono utilizzate proprietà delle trecce algebriche.     

Spazio delle configurazioni e vincoli di anolonomia

Riassunto Si considera il moto di un sistema soggetto a vincoli di olonomia e di anolonomia. Dopo aver scontati i vincoli del primo tipo con l'introduzione del moto di un punto rappresentativo entro lo spazio delle configurazioni, si mostra l'utilità, per tener conto anche di quelli del secondo tipo, della introduzione di un'opportuna n-pla di congruenze ortogonali, alcune delle quali individuate dai vincoli di anolonomia; si mostra in particolare il significato che hanno, nello studio del moto di tali sistemi, i coefficienti di rotazione del Ricci. A Bruno Finzi nel suo 70 ^mo compleanno. Entrata in Redazione il 5 gennaio 1970.