等差数列的一个充要条件

定理　数列 {an}为等差数列的充要条件为 :对任意整数 k,当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,恒有等式 :( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,其中 m,n∈ N且 n >m≥ 1 .证明　 (必要性 )设数列 {an}为等差数列 ,公差为 d,则　 an =am ( n - m) d,于是对任意正整数 m,n,k有　 ( n - k) am ( k - m) an= ( n - k) am ( k - m) [am ( n - m) d]= ( n - m) [am ( k - m) d]=( n - m) ak.由于正整数 m,n,k的任意性 ,故当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,等式仍然成立 .(充分性 )若对任意正整数 k都有等式( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,( 1…     

一类递推数列的周期性

设k,m是适合k>2的正整数,p=2cos(2π)/k.本文证明了:如果数列A={an}n=0∞满足递推关系an+2m=pan+m-an(n≥0),则A是周期数列,它的最小正周期是km的约数.另外,给出了最小正周期小于km的非零数列的例子.     

Cauchy多边形数定理的一个简短证明

本文对下述事实给出一个简单的证明:每个自然数是m+2个m+2边形数之和. 设m≥1,一个m+2边形数是形如 Pm(k)=m/2(k2-k)+k,(k=0,1,2,…)的数.Fermat[3]断言:每一个自然数是m+2个m+2边形数之和.对于m=2,Lagrange[5]证明了每一个自然数是4个平方数P2(k)=k2之和.对于m=1,Gauss [4]证明了每一个自然数是3个三角数P1(k)=1/2(k2+k)之和,或等价的,每一个满足n≡3(mod 8)的正整数n都是3个奇数平方之和,Cauchy[1]对所有的m≥3证明了Fermat的断言,Legendre[6]进一步细化和推广了这一结果.对于m≥3且n≤120m,Pepin [8]给出了将n写成m+2个m+2边形数之和的显示表达的表,其中至少有m-2个取值于0或1.     

关于Erds-Jacobson-Lehel问题的门槛(英文)

设σ(k ,n)表示最小的正整数m ,使得对于每个n项正可图序列 ,当其项和至少为m时 ,有一个实现含k+ 1个顶点的团作为其子图 .Erd s等人猜想 :σ(k ,n) =(k - 1 ) ( 2n-k)+ 2 .Li等人证明了这个猜想对于k≥ 5,n≥ k2 + 3是对的 ,并且提出如下问题 :确定最小的整数N(k) ,使得这个猜想对于n≥N(k)成立 .他们同时指出 :当k≥ 5时 ,5k- 12 ≤N(k)≤ k2 + 3.Mubayi猜想 :当k≥ 5时 ,N(k) =5k - 12 .在本文中 ,我们证明了N( 8) =2 0 ,即Mubayi猜想对于k =8是成立的     

p(2+ap+bp~2)阶单群

<正> 洪加威在[1]中指出,对任一正整数 n,确定阶为 p(kp+1)(kp+2),(k≤n)的单群的工作是能在有限步之内完成的.事实上,他证明了:定理 对每个正整数 n,存在一个整数 m,使得对任意正整数k≤n,素数 p≥m,p(kp+1)(kp+2)阶的单群必同构于 LF(2,p+1)或 LF(2,2p+1).     

一个包含Smarandache函数的复合函数

对任意正整数n,著名的Smarandache函数S(n)定义为最小的正整数m使得n|m!,或者S(n)=min{m∶n|m!,m∈N}.而函数Z(n)定义为最小的正整数k使得n≤k(k 1)/2,即就是Z(n)=min{k:n≤k(k 1)/2}.本文的主要目的是利用初等及解析方法研究复合函数S(Z(n))的均值,并给出一个较强的渐近公式.     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

一个不等式结论的再推广

结论[1] 设xi＞1(i=1,2,3,…,n),k是正整数,n≥2,则     

数学竞赛之窗

4．求所有的正整数n，使得存在正整数k（≥2）及正有理数α1，α2，…，αk，满足：α1＋α2＋…＋nk=α1α2…αk=n.     

关于Erdos-Jacobson-Lehel 问题的门槛

设σ(k,n）表示最小的正整数m，使得对于每个n项正可图序列，当其项和至少为m时，有一个实现含k 1个顶点的团作为其子图。Erdos等人猜想：σ(k,n）＝（k-1)(2n-k) 2.Li等人证明了这个猜想对于k≥5，n≥（^k2））＋3是对的，并且提出如下问题：确定最小的整数N（k），使得这个猜想对于n≥N(k）成立。他们同时指出：当k≥5时，[5k-1/2]≤N(k）≤（^k2) 3.Mubayi猜想：当k≥5时，N(k）＝[5k-1/2]。在本文中，我们证明了N（8）＝20，即Mubayi猜想对于k=8是成立的。     

关于整数集分拆的一个猜测的证明

设n为正整数,记rn=m ax{正整数m:可将集合{1,2,…,m}分为n个子集,使得在每一子集中方程xy=z(x>1,y>1)均无解}.高楠和刘红艳(数学的实践与认识,2005,35(5):151—152)给出了rn的一个下界估计rn n9,并猜测对任意给定的正整数k,当n充分大时有rn nk.本文对此猜测给以肯定回答,并证明了如下更强的结论:对任意给定的正整数k 4,当n>3k时有rn n2k+1.     

整数方阵的Waring问题

本文证明了:对任意给定的整数 m≥2和 n≥2,存在正整数 f(n,m),使得任何 n 阶整数方阵均可表示为 f(n,m)个整数方阵的 m 次幂之和.并对 f(n,m)作了估计,从而推广、改进了 M.Newman 1985年的结果.     

关于正项等比数列方幂的不等式

文[1 ]给出了正项等差数列方幂的若干不等式,本文将建立正项等比数列方幂一些类似的不等式.为简便起见,以下约定数列{an}是正项等比数列,公比为q (q >0 ) ,前n项和为Sn,m ,p ,n ,k均为正整数,且m

相似文献   

Diophantine方程x~2+(8k-1)~m=(4k)~n与Terai猜想

设k是正整数,N.Terai曾经猜测:方程x~2+(8k-1)~m=(4k)~n仅有正整数解(x,m,n)=(4k-1,1,2).这是一个迄今尚未解决的数论问题.运用初等方法给出了Terai猜想成立的若干条件由此可知当k≤25且k≠3,6,10,13,15,19,21,24时Terai猜想成立.     

勾股数问题的推广——空间勾股数

我们知道m>n,m、n都是正整数时,m2-n2、2mn、m2+n2为一组勾股数,当k为正整数时,用k乘以上各数,也可以得出另一组勾股数:k(m2-n2)、2kmn、k(m2+n2).如图1,若设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,长方体对角线的长为d.则a2+b2+c2=d2.下面我们就探索a、b、c、d都为正整数的构造方法,暂称这四     

Smarandache函数的几类相关方程的解

设φ(n),S(n)分别表示正整数n的Euler函数和Smarandache函数,利用初等的方法和技巧,依据Smarandache函数计算公式,给出k的方程φ(p~αm)=S(p~(ακ))的所有解,其中p为素数,α,m为正整数且gcd(m,p)=1,由此得到方程φ(n)=S(n~k)的所有解(n,k)进而确定了满足条件S(n)|σ(n)的全部正整数n.最后,根据莫比乌斯变换反演定理证明了方程φ(n)=∑_(d|n)S(d)仅有两个解,分别为n=2~5和n=3×2~5.     

若干并图的优美标号

证明了,对任意大于1的自然数m,n,p,非连通图(■ V ■)∪K_(n,p)是优美图;当k≤p,m=kn+3或m=kn+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(n,p)是优美图;当p≥2,m=3k+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(3,p)是优美图;对任意正整数n,p,非连通图(P_1 V P_(2n+2))∪_(n,p)是优美图.     

随机图中[k,k+1]-因子的存在性

设G=G(n,p)是一个随机图,其顶点数为n,任两个顶点之间有边相关联的概率为p=p(n),k是一个正整数满足knp-2(nplogn)~(1/2).图G的—个支撑子图F称作是图G的—个[k,k+1卜因子,如果对任一个x∈V(G),都有k≤dF(x)≤k+1.我们证明任意满足p≥n~(-2/3)的随机图G(n,p)几乎一定包含[k,k+1]-因子.     

不等式研究成果集锦(14)

169.在△ ABC中 ,i)若 m、n、k∈ N,则msin Am nsin Bn ksin Ck　≤ (m n k) sin πm n k;mcos Am ncos Bn kcos Ck　≤ (m n k) cos πm n k;ii)若 m、n、k∈ N,且 m、n、k≥ 2 ,则mtan Am ntan Bn ktan Ck　≥ (m n k) tan πm n k;mcot Am ncot Bn kcot Ck　≥ (m n k) cot πm n k,(郭成伟 ,2 0 0 0 ,4)1 70 .在△ ABC中 ,BC、CA、AB边上的高线、角平分线以及对应的傍切圆半径分别为ha、hb、hc、ta、tb、tc、ra、rb、rc.则i) ∑ rahb hc≥ ∑ raha ra;ii) ∑ r2at2b t2c≥ 2 ∑sin2 A2 .(万家练 ,2 0 …