勾股数组的一个性质

一组勾股弦(整)数a、b、c中,必有含因子3的数,必有含因子4的数;必有含因子5的数。 如6、8、10是一组(整)勾股数组,其中3|6,4|8,5|10。 又如7、24、25是一组(整)勾股数组,其中3|24,4|24,5|25。 为了证明这个事实,我们先来证明这样一个定理。任何一组勾股(整)数组a、b、c组可由公式a=m~2-n~2,b=2mn,c=m~2+n~2表示。(这里m>n,m、n均为自然数)(参看马明同志著《圆和二次方程》P_(27))     

勾股数组的单参数表示

我们都知道,勾股数组{a,b,c}的双参数表示是本文给出勾股数组的单参数表示也是求勾股数的一个具体方法。定理设{a,b,c}是个勾股数组,即     

用乘法公式求勾股数组

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考.     

求勾股弦数的几种方法

在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互     

（a＋b＋c）^n展开式的系数表

(a b)n展开式的系数表是杨辉三角.本文试对(a b c)n展开式的系数具有怎样的结构和性质进行探讨.1　(a b c)n展开式的一个系数表先看n=1,2,3,4,5,6时(a b c)n展开式的系数(表1).表1n(a b c)n展开式各项的系数11,1,121,1,1,2,2,231,1,1,3,3,3,3,3,3,641,1,1,4,4,4,4,4,4,6,6,6,12     

关于∑(a/(b c))~(1/2)的上界

设△ ABC的三边长为 a、b、c,则有∑ ab c>2 ,其中 2是最佳的 .本文将讨论 ∑ ab c的最佳上界 .定理　在△ ABC中 ,有∑ ab c<2 33 1 ,( * )且 2 33 1是最佳的 .证明　 ( * )式关于 a、b、c完全对称式不等式 ,故设 c =1 ,a≥ b≥ 1 ,a 相似文献   

有趣的“勾股弦数”

“勾三股四弦五”几乎成为学过数学者的一句口头禅,这三个数都是正整数,并且可视为一个直角三角形的三条边(32 42=52),因此,人们称这类数为“勾股弦数”. 我们知道勾股弦数有很多,例如5,12,13;6,8,10等等,但有心人会发现6,8,10这三个数具有公因数2,提取2后,实质上与3、4、5并无本质的不同. 在没有除1以外的公因数的勾股数a、b、c中,看来似乎a与b,b与c,c与a都是互质的;另外c必是奇数,a与b则必为一奇一偶. 这些规律,是否真的体现了勾股弦数一些特征呢?答案是肯定的.那么如何说明呢? (1)若a,b有公因子t(t≠1),则令a=a1t,b=b1t,其中a1,b1互质.则a12 b12=(a2 b2)/t2=     

用好a＋b＋c=1，巧证不等式

在不等式证明中 ,有一类问题 ,就是在题设中都给出了a +b +c =1这一条件 ,但是证明起来方法却不尽相同 .如何用好这个条件 ,是证明成功的关键 .学习过程中 ,如果能够将这样的一些问题进行适当的区别与归纳 ,就可以起到事半功倍的效果 ,思维能力也可以得到锻炼和提高 .以下就举一些这样的例子 .1　利用条件将 1代换成a +b +c这种方法是很容易想到的 ,但是在证明的过程中又往往容易忽视 .例 1　已知a ,b ,c∈R+且a +b +c =1,求证 :(1-a) (1-b) (1-c)≥ 8abc .分析　利用条件将 1代换成a +b +c后 ,很容易发现原不等式等价于 (a +b) (b +c) (c …     

勾股数,有理代换及其它

方程x~2+y~2=z~2 (1)的每一正整数解(a,b,c)(即x=a,y=6,z=c)称为勾股数 勾股数有无穷多组。不难证明，如果（a,b,     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

关于1/a+1/b=1/c的一些数学题

型如"1/a+1/b=1/c"的证明,通常是先变形为"c/a+c/b=1".再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示c/a和c/b,然后再证这比的和为1,这是证明此类问题的基本途径.     

关于∑√a/b+c的上界

设△ABC的三边长为a、b、c,则有 　　∑√a/b+c》2, 　　其中2是最佳的.本文将讨论∑√a/b+c的最佳上界.……     

当a+b+c=0时

<正>经常会在一些竞赛题中看到当a+b+c=0时,求解分式或整式有关的计算、判断或证明.如果能对其有深入的了解,相信解题会方便不少.从条件a+b+c=0出发,可以推导出一些有用的结论,在解决与三个字母有关的运算或证明时非常有用.下面就结合例题,说说这几个重要的结论:     

关于函数y=(c d·x~n)/(a b·x~n)的一个恒等式

对于函数f(x)=14 x2,经试验可得恒等式f(x) f(4x)=14.对于f(x)=c d·x2a b·x2,是否都有类似恒等式呢?经研究发现,对于上面一般情形,我们有下面的结论:定理1若f(x)=c d·x2a b·x2(ad≠bc,且ab≠0),则有f(x) f(abx)=bc adab恒成立.证因f(abx)=c d·a2b2x2a b·a2b2x2=cb2x2 da2     

5-桥图F(2,a,a,b,c)的色等价刻画

设P(G，λ)是图G关于变量λ的色多项式，P(G，λ)=P(H，λ)，称G和H色等价，由连接两个顶点的S条内部不交的路组成的图叫S-桥图。本讨论了5-桥图F(2,a,a,b,c)(c≥b≥a 1，a≥2)的色性，完整刻画了这类图的色等价图。     

巧用(a+b)2≥4ab证明不等式

试比较如下两个平凡不等式 :　　 a b≥ 2 ab ( 1 )　　 ( a b) 2≥ 4 ab ( 2 )将 ( 1 )式两边平方 ,即得 ( 2 )式 ;但对 ( 1 )式 ,a,b不能是负数 ,而对于 ( 2 )式 ,a,b却可以是任意实数 .可见 ( 2 )式的应用范围更为宽广 ,而且应用更加生动灵活 .本文旨在介绍 ( a b) 2≥ 4 ab在不等式证明中的种种巧用 .1　正用例 1　已知 3y =3x z,求证 :y2≥ 4 xz.证明　依 ( 2 )式 :( 3y) 2 =( 3x z) 2 ≥ 4 .3xz,故　　 y2≥ 4 xz.例 2　设 a,b,c∈ R,且 a c- 2 b≠ 0 ,求证 :　 ( c b - 2 a) 2　≥ 4 ( a c - 2 b) ( a b - 2 c) .…     

120°三角形数的两个性质

人们容易从余弦定理联想到,把勾股数组推广到钝角三角形的情况。本文对这个有趣的问题作一点初步探讨,得到120°三角形数的两个有趣的性质。定义自然数组(a,b,c)叫做120°三角形数,如果a、b、c构成120°的钝角三角形的三边。这种数组记为OPT(a,b,c),如果a,b,c没有公因子,则称这种OPT(a,b,c)为本原的。下面将证明两个定理。定理1 一个自然数a出现于本原的OPT中,当且仅当a是不小于3的奇数或8的倍     

∑(a/(b c))~(1/2)<1 2(3~(1/2)/3)的初等证明

本刊文 [1 ]中用导数方法证明了 :在△ ABC中 ,有　　 ∑ ab c<1 2 33 . (1 )本文给出一个初等的证明 .证明　由对称性 ,不妨设 a≥ b≥ c=1 ,易知 a b≥ 2 ,a 相似文献   

证明“线段a=b+c”的基本思路

<正>在初中几何中,三条线段长分别为a,b,c,求证"a=b+c"的证明题是常见问题,尤其对于线段都不在同一直线的情形.本文针对这种情况给出三种基本思路,下面结合一道考试题进行说明.问题如图1,∠B=∠C=90°,AE平分∠DAB,DE平分∠ADC.求证:AD=AB+CD.由于线段AD、AB和CD相互分离,不在同一直线上,因此需要想方设法进行转化,有三种思路.一、将a一分为二此方法将较长线段AD分割成两部分,使     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…