一种新的正则化方法求解热传导方程的侧边值问题

考虑了四分之一平面内的热传导方程的侧边值问题,这类问题是严重不适定的.采用传统拟逆方法得到该问题的一个近似解,但发现它并不是一个正则化解.有趣的是,对解的分母项加以修正便可以得到侧边值问题的一个正则化解,进而提出了一种新的正则化方法,并分别给出先验和后验两种正则化参数选取规则下的Hlder型误差估计.数值实验验证了所提方法的可行性和有效性.     

一阶数值微分的局部正则化方法

本文研究了一阶数值微分问题,将其等价转化为第一类积分方程的求解问题,给出了求解该问题的局部正则化方法.在精确导数的一定假设条件下,讨论了正则化参数的先验选取策略及相应近似导数的误差估计.相对于经典的正则化方法,数值实验表明局部正则化方法能在有效抑制噪声的同时,保证近似导数逼近精确导数的效果,尤其是在精确导数有间断或急剧变化时.     

求解l1极小化问题的Bregman迭代算法

在Tikhonov正则化方法的基础上将其转化为一类l1极小化问题进行求解,并基于Bregman迭代正则化构建了Bregman迭代算法,实现了l1极小化问题的快速求解.数值实验结果表明,Bregman迭代算法在快速求解算子方程的同时,有着比最小二乘法和Tikhonov正则化方法更高的求解精度.     

一种迭代正则化方法求解一类同时带有两个扰动数据的反向问题北大核心CSCD

该文考虑了一类带有扰动扩散系数和扰动终值数据的空间分数阶扩散方程反向问题,从终值时刻的测量数据来反演初始时刻数据.该问题是严重不适定的,因此该文提出了一种迭代正则化方法来处理该反向问题,并利用先验正则化参数选取规则得到了正则化解和精确解之间的误差估计,最后进行了一些数值模拟,验证了方法的有效性.     

一类球型区域上变系数反向热传导问题

考虑了一类球型区域上变系数反向热传导问题.这个问题是不适定的,即问题的解(若存在)并不连续依赖于测量数据.构造了投影迭代正则化方法,得到了该反问题的正则近似解,同时给出了在先验和后验参数选取规则下精确解与正则近似解之间的收敛性误差估计.最后,通过数值结果验证了该方法的有效性.     

Helmholtz型方程柯西问题的修正Lavrentiev正则化方法（英文）

本文研究了带非齐次Dirichlet及Neumann数据的一类Helmholtz型方程柯西问题.文章在解的先验假设下建立问题的条件稳定性结果,利用修正L avrentiev正则化方法克服其不适定性,并结合正则化参数的先验与后验选取规则获得了正则化解的收敛性结果,相应的数值实验结果验证了所提方法是稳定可行的,推广了已有文献在Helmholtz型方程柯西问题正则化理论与算法方面的相关研究结果.     

半正定算子方程正则解的收敛率和参数选取法

1 引言 关于第一类线性算子方程 Ax=y (1)已有很多文献和专著作过研究。由于方程(1)一般是不适定的.须用正则化方法求解.最著名的方法是Tikhonov正则化方法.关于其正则解的收敛性、收敛率及参数选取法,专著[2,3]已作了深入系统的研究.当A为半正定自共轭的有界线性算子时,可应用 Lavrent’ev正则化方法或称为简化正则化方法,由于其在计算上所具有的优越性,已引起不少学者的关注.本文将用简化正则化方法研究当A为半正定线性有界算子的情形.实际上,此时的A是一个单调算子,而对单调算子方程,已有很多研究结果,只不过主要是关于正则解的收敛性及有限维逼近的讨论,而未涉及正则解的收敛率问题。我们将在第2节中讨论正则解的收敛率.并给出一种后验的参数选取法,这种参数选取法比先验的参数选取法的优越之处在于它不依赖于解的“光滑性”条件”“,但当满足某种“光滑性”条件时,所得到的收敛率是最优的.第3节中我们讨论了当算子方程的右端数据及算子本身都为近似已知的情形,这种情形更接近于实际的数学模型。文献[13,14]曾作过研究.     

求解离散不适定问题的正则化GMERR方法

迭代极小残差方法是求解大型线性方程组的常用方法, 通常用残差范数控制迭代过程.但对于不适定问题, 即使残差范数下降, 误差范数未必下降. 对大型离散不适定问题,组合广义最小误差(GMERR)方法和截断奇异值分解(TSVD)正则化方法, 并利用广义交叉校验准则(GCV)确定正则化参数,提出了求解大型不适定问题的正则化GMERR方法.数值结果表明, 正则化GMERR方法优于正则化GMRES方法.     

双调和方程柯西问题的修正的Tikhonov正则化方法

本文研究了双调和方程柯西问题,这类是不适定的,即问题的解(如果存在)不连续依赖于测量数据.首先在精确解的先验假设下给出问题的条件稳定性结果.接着利用修正的Tikhonov正则化方法求解此不适定问题.在先验和后验正则化参数选取规则下,给出正则解和精确解之间的误差估计式.最后给出几个数值例子验证此正则化方法求解此类反问题的有效性.     

非线性不适定问题的Tikhonov正则化的参数选取方法

在Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化中，如何选取正则参数极为重要，直至现在，仍有许多问题期待解决．本文对非线性不适定问题考虑了Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化，提出了一个新的简单的正则参数的最优选取法，并对由此得到的正则参数，研究了Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化解的收敛性，并且当ｘ－最小范数解满足“源条件”时，在适当的条件下，导出了最优收敛率．     

带损伤弹性反问题的数值分析

考虑一类由椭圆性方程和热传导方程共同来刻画的准静态弹性模型,通过给定观测值来反演边界的牵引力.首先构造一个凸目标泛函,并引入Tikhonov正则化方法,使之极小化得到一个稳定的近似解.再用有限元离散求解,导出误差估计.最后,用数值例子说明算法的可行性和有效性.     

单位球上散乱数据核正则化回归的误差分析

给出基于二次损失的单位球盖(单位球)上确定型散乱数据核正则化回归误差的上界估计,将学习误差估计转化为核函数积分的误差分析,借助于学习理论中的K-泛函与光滑模的等价性刻画了学习速度.研究结果表明学习速度由网格范数所控制.     

一类半线性椭圆方程柯西问题的正则化方法

构造并利用一种广义分数Tikhonov正则化方法研究一类半线性椭圆方程柯西问题.基于所构造的正则化解满足一个非线性积分方程,首先证明正则化解的存在唯一性和稳定性;继而在对精确解的先验假设下给出并证明正则化方法的收敛性;最后设计一种迭代算法计算正则化解,并通过相应的计算结果验证了所提方法的稳定可行性.     

DFP变尺度法与FR共轭梯度法的二次等价性

研究了求解无约束极值问题的DFP变尺度法和FR共轭梯度法的关系问题.证明了在应用于求解二次函数的极值问题时,若将初始尺度矩阵取为单位矩阵,二者实际上是等价的,即两种方法求出的极小化点列是相同的.     

求解非定常Lavrentiev迭代方程的多尺度配置法

本文采用多尺度配置法求解第一类弱扇形积分方程.将压缩配置法用于投影离散非定常迭代正则化方程,得到了近似解在Banach空间范数下误差估计,给出了迭代停止准则,确保近似解无穷范数下的最优收敛率.优点是确保了收敛率,减少了计算量.数值例子验证了算法的有效性.     

基于奇异值分解建立的一种新的正则化方法

根据紧算子的奇异系统理论，引入一种正则化滤子函数，从而建立一种新的正则化方法来求解右端近似给定的第一类算子方程，并给出了正则解的误差分析。通过正则参数的先验选取，证明了正则解的误差具有渐进最优阶。      

求解三维第一类Fredholm积分方程的GMRES法

利用数值求积公式,将三维第一类Fredholm积分方程进行离散,通过引入正则化方法,将离散后的积分方程转化为一离散适定问题,通过广义极小残余算法得到了其数值解．数值模拟结果表明该方法的可行有效性．     

分裂可行问题的1-范数正则化方法

主要研究了分裂可行问题的1-范数正则化.首先利用1-范数正则化方法,将分裂可行问题转化为无约束优化问题.其次讨论了1-范数正则化解的若干性质,并给出了求解1-范数正则化解的邻近梯度算法.最后通过数值试验验证了算法的可行性和有效性.     

介质导电率成像数值反演的正则化方法

磁共振技术(MREIT)是一种新的医学成像技术,它利用介质内部的部分磁场信息来重建介质内部的导电率.本文对调和Bz反演算法,提出了利用样条插值函数来处理误差输入数据的正则化方法,并给出了正则化方法的误差估计,在此基础上,我们还考虑了调和Bz算法对多个导电率异常的算法实现,检验了该方法对误差输入数据借助于正则化方法可能达到的空间分辨率,本文的工作为调和Bz算法利用实测的误差数据提供了一条可行的途径.     

求解第一类Fredholm积分方程的多层迭代算法

本文先把正则化后的第二类积分方程分解为等价的一对不含积分算子K^*K、仅含积分算子K以及K^*的方程组, 再用截断投影方法离散方程组, 采用多层迭代算法求解截断后的等价方程组, 并给出了后验参数的选择方法, 确保近似解达到最优.与传统全投影方法相比, 减少了积分计算的维数, 保持了最优收敛率. 最后, 算例说明了算法的有效性.