Vibrations of rotating beams with tip mass

Zusammenfassung Es werden die zur Rotationsebene normalen Biegeschwingungen eines rotierenden Stabes mit Endmasse studiert; insbesondere wird im Anschluss an eine frühere Arbeit, die sich auf die Grundschwingung beschränkte, der Einfluss der Endmasse bei grösseren Winkelgeschwindigkeiten auf die höheren Eigenschwingungen untersucht. Dabei werden Störungsmethoden und asymptotische Näherungen in Verbindung mit den klassischen Verfahren vonRayleigh-Ritz undSouthwell angewendet. Für Stäbe veränderlichen Querschnittes wird nachgewiesen, dass für Eigenschwingungen genügend hoher Ordnung und hinreichend grosse Winkelgeschwindigkeiten die Eigenfrequenzen durch die Endmasse erhöht werden. Für Stäbe konstanten Querschnittes werden numerische Schranken angegeben, welche dieses Resultat bereits für die erste Oberschwingung beweisen. Dieses Verhalten steht im Gegensatz zu demjenigen der Grundschwingung, deren Eigenfrequenz durch eine Endmasse stets erniedrigt wird.     

On numerical integration of perturbed linear oscillating systems

Zusammenfassung Es wird ein Schrittverfahren zur numerischen Integration von gestörten linearen Differentialgleichungssystemen aufgestellt. Die Grundlage dazu bildet die Definition einer Folge von ganzen Funktionen, die keine Polynome sind, aber eine einfache Potenzreihendarstellung besitzen. Im Gegensatz zu den üblichen Potenzreihenverfahren, wird nicht nach Potenzen der unabhängigen Variabeln, sondern nach diesen Funktionen entwickelt. Das Integrationsverfahren hat die Eigenschaft, dass die ungestörten Differentialgleichungen ohne Diskretisationsfehler integriert werden, und dass die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix nicht berechnet werden müssen. Die Verbesserung gegenüber der gewöhnlichen Potenzreihenmethode wird durch asymptotische Formeln für die Residuen und durch numerische Beispiele belegt.Nach einer Einleitung über Ziel und Zweck der Arbeit wird die Methode anhand eine: gestörten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung illustriert. Anschliessend wird das Integrationsverfahren auf beliebige gestörte lineare Systeme verallgemeinert.     

Constitutive theory for a mixture of an isotropic elastic solid and a non-Newtonian fluid

Zusammenfassung Greens undNaghdis Formulierung der Theorie von in Wechselwirkung stehenden Kontinua benützend, leiten wir in dieser Abhandlung eine allgemeine (d.h. nichtlineare) Theorie ab, welche das thermomechanische Verhalten eines isotropischen elastischen Körpers, der von einer nicht-Newtonschen zähen Flüssigkeit durchdrungen ist, beschreibt. Konstitutive Gleichungen für Mixturen dieser Art werden zuerst postuliert und dann zu einer expliziten Form reduziert mit Hilfe von auf Tensor-Invarianten gewonnenen Resultaten. Dann untersuchen wir eine Klasse von Kräftereihe-Lösungen von Feldgleichungen und benützen ein iteratives Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen, von denen jedes Stadium die Lösung von Lineargleichungen zur Voraussetzung hat. Das erste Stadium stellt eine linearisierte Theorie dar, für welche thermodynamische Reduktionen von der Ungleichheit bei der Wärmegewichtserzeugung abgeleitet werden. Schliesslich geben wir kurze Hinweise auf die dissipativen Mechanismen, welche die Erzeugung von Wellen mit kleiner Amplitude in der von uns behandelten Klasse von Mixturen affiziert.     

Propagation of simple non-linear waves in gas filled tubes with friction

Summary The propagation of simple nonlinear waves in tubes is investigated. It is seen that both continuous and discontinuous asymptotic waves exist for which the nonlinear distortion and the viscous effect owing to the boundary layer just balance. Both types of solutions can be collapsed into one normalized asymptotic solution. A numerical method is given to compute time-dependent solutions. The evolution of continuous and discontinuous waves is illustrated with two examples.

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Zusammenfassung Untersucht wird die Fortpflanzung einfacher nichtlinearer Wellen in Rohren. Es wird gezeigt, daß asymptotische Wellen mit und ohne Diskontinuität existieren, für welche sich Grenzschichteffekte und nichtlineare Aufsteilung gerade die Waage halten. Die Lösungen beider Arten können auf eine einzige normalisierte asymptotische Lösung zurückgeführt werden. Es wird ein numerisches Verfahren angegeben, mit welchem zeitabhängige Lösungen berechnet werden können. Die Evolution von Wellen mit und ohne Diskontinuität wird mit zwei Beispielen illustriert.

     

Effects of high electrical conductivity in two-dimensional plasma flows

Zusammenfassung Der Einfluss endlicher elektrischer Leitfähigkeit auf die Kopplung zwischen Magnet-feld und Geschwindigkeitsvektor in einer ebenen, sonst dissipationsfreien Plasmaströmung wird theoretisch untersucht. Die Strömungsgleichungen werden mittels Reihenentwicklung nach negativen Potenzen der (hohen) magnetischen Reynoldszahl linearisiert. Als Lösung nullter Ordnung wird eine stationäre, zweidimensionale, dissipationsfreie Strömung durcy einen parallelen Kanal verwendet, die zur Klasse der «aligned-flow» problems,vB ₀, gehört. Das linearisierte Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe geeigneter Transformationen durch eine TRICOMISCHE Differentialgleichung samt Rand-und Anfangsbedingungen für nur eine Strömungsvariable des gestörten Problems ersetzen, die der Diffusion des Magnet-felds aufgrund der endlichen Leitfähigkeit durch einen inhomogenen Term Rechnung trägt. Zur Lösung dieser Gleichung wird ein Integraltransformationsverfahren angegeben, das für eine grosse Klasse von über den Kanal variablen Magnetfeldern nullter Ordnung anwendbar ist. Ein solcher Fall wird explizit behandelt und es wird gezeigt, dass durch die Lösung alle anderen Strömungsvariablen 1. Ordnung eindeutig bestimmt sind. Für den Fall konstanten Magnetfeldes in nullter Ordnung lässt sich der Kontakt mit bestehender einschlägiger Literatur herstellen.     

A second order solution for the non-equilibrium flow of a relaxing gas in a plane expansion

Zusammenfassung Um eine analytische Lösung zu erhalten, welche Effekte der endlichen Entropie- und Wirbelstärkeerzeugung berücksichtigt, ist die linearisierte Theorie formell durch Einbeziehung von Grössen zweiter Ordnung erweitert worden. Anwendungen sind gegeben für den Fall einer ebenen Expansionsströmung eines harmonisch relaxierenden Gases, das sich nicht im Gleichgewicht befindet. Die Theorie zweiter Ordnung zeigt eine Verbesserung gegenüber der ersten Ordnung in der Voraussage der Zustandsgrössen entlang der Wand. Insbesondere wird eine Abschätzung der Abweichungen der asymptotischen Wandwerte des Druckes, der Temperatur usw. vom entsprechenden Gleichgewichtswert für unendliche Reaktionsgeschwindigkeiten ermöglicht.     

Conservation laws in elasticity of the J-integral type

Conservation laws which are expressible as functionals linear in the strain energy and its derivatives are laws of the same type as theJ-integral. For finite elastic deformations of homogeneous bodies, relations between the conservation laws are shown through the use of inverse deformation results. Completeness of the laws are established for homogeneous materials and for materials whose strain energies satisfy objectivity, isotropy, or are homogeneous functions. Laws for a class of membranes inflated by pressure are derived and applied to a cylindrical membrane. For infinitesimal deformations of linear elastic bodies, new laws which relate two independent equilibrium states are presented and applied to the problem of a line crack in a plate under mixed-mode loading conditions. A relation is shown to exist between theJ-integral and the reciprocal work theroem of Betti.

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Zusammenfassung Erhaltungssätze, welche sich durch lineare Funktionale in der Verformungsenergie und ihren Ableitungen ausdrücken lassen, sind von gleicher Art wie dasJ-Integral. Für endliche elastische Deformationen homogener Körper werden mit Hilfe inverser Deformationsergebnisse Beziehungen zwischen den Erhaltungssätzen aufgezeigt. Vollständigkeit der Gesetze wird für homogene Materialien und für solche nachgewiesen, deren Verformungsenergie den Bedingungen der Objektivität und Isotropie genügen oder homogene Funktionen sind. Es werden für eine Klasse durch Druck aufgeblasener Membranen Beziehungen hergeleitet und auf eine zylindrische Membran angewandt. Für infinitesimale Verformungen linear-elastischer Körper werden neue Gesetze, welche zwei unabhängige Gleichgewichtszustände verknüpfen, aufgestellt und auf das Problem des Haarrisses in einer Platte unter gemischten Lastbedingungen angewandt. Schliesslich wird gezeigt, dass zwischen demJ-Integral und dem Bettischem Satz der reziproken Arbeit ein Zusammenhang besteht.

     

Approximate solution of the propagation of an axisymmetric blast wave generated by a finite spherical charge

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Ausbreitung starker Stosswellen in einem idealen Gas ohne innere Reibung und Wärmeleitung. Für den Fall einer axialsymmetrischen Strömung werden Ähnlichkeitstransformationen angegeben, welche die Eulerschen Gleichungen in sphärischen Polarkoordinaten auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduzieren. Die klassischen Lösungen von SirG. I. Taylor sind in den angegebenen Transformationen enthalten.Es wird weiter gezeigt, dass der Ähnlichkeitsansatz keine exakte Lösung für den Fall einer von einer endlichen explodierenden Ladung erzeugten Stosswelle liefert, jedoch eine Näherungslösung gestattet.Numerische Ergebnisse für eine kugelförmige Stosswelle, erzeugt durch die Explosion einer endlichen Ladung, sowie für eine axialsymmetrische Stosswelle, erzeugt durch eine Punktladung endlicher Energie, werden mitgeteilt.     

The generalized plane strain of an elasto-plastic material

Zusammenfassung Unter der Voraussetzung, dass der hydrostatische Druck nicht gross ist, tritt die Hauptspannung normal zur Ebene des verallgemeinerten ebenen Verzerrungszustandes in der Fliessbedingung vonTresca nicht auf. Man kann zeigen, dass die Spannungs- und Geschwindigkeitsgleichungen für ein elastisch-ideal-plastisches Material hyperbolisch sind, wobei die beiden Charakteristikenscharen paarweise koinzident sind. Die auf die Charakteristiken bezogenen Gleichungen unterscheiden sich von denjenigen des starr-plastischen Materials nur durch die Gegenwart von vier Zusatztermen in jeder der Geiringer-Gleichungen.Für ein Material mit Verfestigung werden nur kleine Spannungen berücksichtigt, und es wird angenommen, dass die Gleichungen zwischen den Spannungen und den Gesamtdehnungen verwendet werden können. Unter diesen Voraussetzungen werden die Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen elliptisch. Da alle Ableitungen stetig sind, existiert im plastischen Bereich eine Airysche Spannungsfunktion samt speziellen Ableitungen aller Ordnungen, und es kann gezeigt werden, dass sie einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt. Für einige einfache Probleme, bei denen die abhängigen Veränderlichen nur Funktionen einer der beiden unabhängigen Variablen sind, werden die Lösungen angegeben.Der Einfluss von Temperaturschwankungen kann sowohl bei idealplastischen Materialien wie auch bei solchen mit Verfestigung mitberücksichtigt werden.     

Lifting-line theory of swept wings based on the full potential theory

The asymptotic theory of high-aspect-ratio transonic swept wings of Refs. [2–5] is extended to irrotational compressible flows based on equations of the full-potential theory. The formulation allows for imbedded supercritical flows with shocks; the results are applicable to oblique wings, swept-back as well as swept-forward wings, but restricted to planforms with centerlines composed of straight segments. The free-stream velocity is assumed to remain below the sonic speed. For a wing geometry generated from a single airfoil shape, the reduced system of 2-D equations admits solutions with similarity structures, permitting the problem to be solved only once for all span stations. The application of the theory is expected to lead to a substantial improvement over the earlier analysis of transonic swept wings based on the small-disturbance theory, concerning the accurate determination of inviscid drag and lift. The study provides also a basis for examining the influence of the trailing vortex sheet geometry, which are incompletely accounted for in current 3-D computer programs.

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Zusammenfassung Die asymptotische Theorie von transonischen gepfeilten Flügeln mit hohem Seitenverhältnis (Ref. [2]–[5]) wird erweitert auf wirbelfreie kompressible Strömungen mit Verwendung der Gleichungen der vollständigen Potentialtheorie. Die Formulierung gestattet die Behandlung von eingeschlossenen superkritischen Gebieten mit Stößen; die Resultate sind für schiefe, rückwärts- und vorwärtsgepfeilte Flügel verwendbar, sind aber auf Flügelgrundrisse mit streckenweise geraden Mittellinien beschränkt. Die Anströmgeschwindigkeit liegt immer unterhalb der Schallgeschwindigkeit. Für Flügelgeometrien die durch ein einziges Profil erzeugt werden, gestattet ein reduziertes System in zwei Dimensionen Lösungen mit einer Ähnlichkeits-Struktur, die eine Lösung für alle Stationen entlang der Spannweite liefert. Betreffend der genauen Bestimmung von Widerstand und Auftrieb wird von der Theorie eine wesentliche Verbesserung gegenüber der Analyse von Pfeilflügeln erwartet, die auf der Theorie von kleinen Störungen basiert. Die Arbeit gibt auch die Grundlage für eine Untersuchung des Einflusses von abgehenden Wirbeln, die in bisherigen dreidimensionalen Computer-Programmen nur unvollständig berücksichtigt worden sind.

     

Interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer at high transonic speeds. Part II: Wall shear stress

Summary Asymptotic methods are used to calculate the shear stress at the wall for the interaction between a normal shock wave and a turbulent boundary layer on a flat plate. A mixing length model is used for the eddy viscosity. The shock wave is taken to be strong enough that the sonic line is deep in the boundary layer and the upstream influence is thus very small. It is shown that unlike the result found for laminar flow an asymptotic criterion for separation is not found; however, conditions for incipient separation are computed numerically using the derived solution for the shear stress at the wall. Results are compared with available experimental measurements.

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Zusammenfassung Die Schubspannung entlang einer ebenen Platte wird mit asymptotischen Methoden gerechnet für den Fall, dass ein senkrechter Stoss auf die turbulente Grenzschicht einwirkt. Für die Rechnung wird ein Mischweg-Modell benützt. Der Stoss ist von solcher Stärke, dass die Schallinie tief in der Grenzschicht liegt, und so die Wirkung stromaufwärts sehr klein ist. Im Gegensatz zu der laminaren Strömung kann man in diesem Fall eine asymptotische Bedingung für Grenzschicht-Ablösung nicht finden. Aber die Bedingungen für den Beginn der Ablösung kann man von der Lösung für die Schubspannung an der Wand numerisch erhalten. Die Ergebnisse der Theorie werden mit den vorhandenen experimentellen Messresultaten verglichen.

     

Phase transitions in water sorbed on ice forming nuclei

Zusammenfassung Die vorgeschlagene Beziehung (1) zwischen dem Gefrieren von auf einer Partikel adsorbiertem Wasser und ihrer Eisbildungsfähigkeit wurde mit einem empfindlicheren NMR-Spektrometer weiter untersucht. Aufgetragen wird die Abhängigkeit von NMR-Linienbreite und Dispersionsignal-Amplitude gegen die Temperature für AgI und CuO-Pulver (Figuren 1-4). Es wird gezeigt, dass von allen Grössen, welche aus NMR-Daten berechnet werden können, die Amplitude des Streusignals oder das Produkt von Amplitude und Linienbreite am wichtigsten sind für die Beobachtung des Gefrierens von adsorbiertem Wasser. Der Einfluss des Wassergehaltes des Samples wird ebenfalls diskutiert. Wasser, das porenähnliche Räume zwischen (CuO) Teilchen füllt, ergab eine Hysteresis in der Amplituden-Temperature-Darstellung, ähnlich dem früher bei Silicagel beobachteten Effekt (2). Solches Wasser ist unerwünscht und hat keinen Zusammenhang mit der Eiskeimaktivität. Änderungen der Linienbreite beim Gefrieren scheinen mit der Übereinstimmung von Eisstruktur und Struktur des Keimes in Verbindung zu stehen.     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

The compressible gas-solid particle flow over a semi-infinite flat plate

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass die Grenzschicht-Approximation auf die Zwei-Phasen-Strömung über eine Halbebene anwendbar ist, wenn die Teilchendichte in der Grenzschicht von der Ordnung ist. Die Bedeutung eines neuen Parameters _m /x wird herausgestellt, wo _m die Länge ist, auf der die Teilchen ihre Geschwindigkeit ume ^–1 verringern, und der Abstand von der Vorderkante. Reihenentwicklungen in diesem Parameter werden benutzt, derart, dass eine Ähnlichkeitsgrösse für die Halbebene gefunden werden kann. Dies reduziert ein System partieller Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere werden numerisch und wenn möglich analytisch gelöst, so dass Schubspannungskoeffizienten und Wärmeübergangskoeffizienten für begrenzte Teile der Wand berechnet werden können. Hierbei wird die Gasdichte nicht als konstant angenommen.     

Dislocation dynamics and the theory of the plasticity of single crystals

Zusammenfassung Es wird die Kontinuums-Theorie der Dislokationen benützt, um den plastischen Fluss in Einkristallen zu beschreiben. Dabei wird angenommen, dass das dynamische Verhalten der Dislokationen durch ein System von Tensorflüssen zusammen mit Konstitutionsgleichungen für die Dislokationsgeschwindigkeiten und für die Produktionsgeschwindigkeiten positiv-negativer Dislokationspaare beschrieben werden kann. Erhaltungssätze verknüpfen die Dichteänderungen der Dislokationen mit den Divergenzen der entsprechenden Ströme, und die Ströme bestimmen auch die plastische Verformungsgeschwindigkeit. Auf diese Weise erhält man eine Plastizitätstheorie, welche nur von mikroskopischen Parametern abhängt. Falls lange geradlinige Dislokationen vorherrschen, lassen sich die Erhaltungssätze ohne weiteres gewinnen, und die Beschreibung ist vollständig, sobald die beiden genannten Konstitutionsgleichungen gegeben sind. Ist aber die Dichte der Versetzungsschleifen gross, dann muss ein neuer Satz von Grössen eingeführt werden: die Dichte der Ecken an Dislokationslinien. Es wird der Fall einfacher kubischer Kristalle untersucht, und es wird gezeigt, dass es in den Erhaltungsgleichungen sechs Eckendichten gibt. Die Arbeit beschränkt sich nicht auf kleine Verzerrungen, Dislokationsdichten oder materielle Geschwindigkeiten.     

Asymptotische Fehlerschranken für Rayleigh-Ritz-Approximationen selbstadjungierter Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit leiten wir Fehlerschranken her für die Rayleigh-Ritz-Näherungen der Eigenwerte und Eigenelemente von selbstadjungierten Eigenwertaufgaben, deren Spektren nach unten beschränkt und anfangsdiskret sind. Solche Abschätzungen haben gerade im Hinblick auf ihre Bedeutung bei der Finite-Elemente-Methode eine lange Tradition, vgl. etwa [3-5, 7-9] sowie insbesondere die in [3] aufgeführte Literatur.Verfeinerte Fehlerschranken haben kürzlich Babuka und Osborn [1–3] angegeben: Speziell für mehrfach vorliegende Eigenwerte führen sie Approximationsgrößen ein, die die Güte der Diskretisierung beschreiben, und schätzen dann in Termen dieser Größen die Fehler ab. Dabei betrachten sie jedoch aus beweistechnischer Notwendigkeit heraus stets den Fall eines rein diskreten Spektrums, das sich durch selbstadjungierte und kompakte Operatoren beschreiben läßt. Wir lösen uns hier von dieser Einschränkung und geben in analoger Weise das asymptotische Verhalten der Fehler auch für solche Aufgaben an, die ein wesentliches Spektrum besitzen. Zugleich verbessern wir dabei die in [7] aufgestellten Schranken. Unsere Beweismethoden liefern explizit alle in den Fehlerschranken auftretenden Konstanten. Diese ergeben sich allein aus dem Spektrum der betrachteten Aufgabe. Desweiteren können wir alle Beweise mit reellwertigem Skalarkörper durchführen, da wir eine Darstellung von Spektralprojektoren durch Kurvenintegrale (vgl. etwa die Methoden der Spektralapproximation bei Chatelin [5]) für selbstadjungierte Probleme nicht benötigen. Die erhaltenen Ergebnisse gelten jedoch auch entsprechend für komplexwertige Skalarkörper.

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Asymptotic error estimates for Rayleigh-Ritz-approximations of selfadjoint eigenvalue problems

Summary In this paper we establish estimates for the approximation of the eigenvalues and eigenvectors of a selfadjoint eigenvalue problem bounded below with spectrum that begins with isolated eigenvalues of finite multiplicity. Results on the asymptotic behavior of the errors recently proved by Babuka and Osborn [1–3] are also valid for problems with nontrivial essential spectrum.

Herrn Professor Dr. Harro Heuser zum 65. Geburtstag gewidmet     

Schlecht gestellte Probleme - Oder wenn das Ungenaue genauer ist

Zusammenfassung. Wenn die Dichteverteilung in einem Körper bekannt ist, lässt sich ausrechnen, wie stark ein Röntgenstrahl abgeschwächt wird, wenn er den Körper in einer bestimmten Richtung durchläuft. Das umgekehrte Problem lautet: Kann man die Dichteverteilung im Körper bestimmen, wenn man weiß, wie stark Röntgenstrahlen in jeder vorgegebenen Richtung abgeschwächt werden? Auf der Lösung dieser Umkehraufgabe beruht ein wichtiges medizinisches Diagnoseverfahren, die so genannte Computertomografie (CT). Paare von zueinander inversen Problemen kommen häufig vor. Aus einem Modell für einen Ursache-Wirkungszusammenhang kann entweder aus bekannten Ursachen die Wirkung berechnet werden, oder aber umgekehrt, aus der (beobachteten) Wirkung lässt sich auf die Ursache(n) zurückschließen. Mathematisch geht es darum, Gleichungen zu lösen. Für die Praxis ist Gleichung aber nicht gleich Gleichung! Gleichungen hängen (fast immer) von Daten (Parametern) ab. Diese kennt man in der Regel meist nur ungenau, weil sie durch Messung bestimmt werden müssen und daher fehlerhaft sind. Das ist nicht weiter schlimm, falls sich die Lösung nur wenig ändert, wenn sich die Daten wenig ändern. Was aber, wenn eine geringfügige Veränderung der Daten eine massive Veränderung der Lösung bewirkt? Solche Probleme nennt man schlecht gestellt, englisch ill-posed. Die Pointe ist, dass man schlecht gestellte Probleme unter gewissen Bedingungen doch (einigermaßen) zufriedenstellend lösen kann. Das ist allerdings nicht offensichtlich. Aber es ist gut so: andernfalls würden verschiedene so genannte nicht-invasive medizinische Diagnoseverfahren nicht funktionieren. Warum soll man sich als Mathematiklehrerin, als Mathematiklehrer für schlecht gestellte inverse Probleme interessieren?- Es geht um ein Thema der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts, das man in den Grundzügen aufgrund von Kenntnissen verstehen kann, die nicht wesentlich über dem Niveau des gymnasialen Mathematikunterrichts liegen.- Das Thema eignet sich daher auch für die Schule, und zwar auf verschiedenen Stufen.- Das Thema zeigt exemplarisch, welche Bedeutung Mathematik heute für alle hat.Unser Anliegen ist es, einer breiten Leserschaft einen Einstieg in das Thema schlecht gestellte inverse Probleme anzubieten. Eine für Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufen geeignete Version findet man in [4].Diese Arbeit ist eine überarbeitete Fassung eines Handouts der Autoren für den 12. Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht, der am 16. Mai 2001 an der Kantonsschule Zug (Schweiz) stattfand, siehe [3]. Eingegangen am 8. November 2003 / Angenommen am 26. Januar 2004 In memoriam Professor Hans-Christian Reichel. Hans-Christian Reichel warb während vieler Jahre für das Thema Computertomografie im Unterricht, siehe [6], [7]     

Heat transfer and Reynolds' analogy in a turbulent flow with heat release

Zusammenfassung Es wird die Wärmeübertragung von und zu einer voll entwickelten, wärmeabgebenden, turbulenten Strömung in einem Rohr analysiert. Durch die Anwendung der Laplace-Transformation wird die partielle Randwertaufgabe der Temperaturverteilung in einem Rohr von kreisförmigem Querschnitt auf eine gewöhnliche Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe zurückgeführt. Die entsprechenden Eigenwerte und Eigenfunktionen können nun mittels des Ritzschen Verfahrens für verschiedene Werte der Prandtlschen und Reynoldsschen Zahlen berechnet werden.Die Verteilung der Temperatur und des Wärmeflusses entlang der Wand erhält man in Form einer Reihe, deren Glieder diese Eigenwerte und Eigenfunktionen enthalten. Durch Verallgemeinerung des Prandtlschen Wärmequellen-Satzes wird die Reynoldssche Analogie der Wärmeübertragung und der flüssigen Reibung für eine wärmeabgebende turbulente Strömung erweitert.Die genaue asymptotische Wärmefluss und Temperaturverteilung, die man erhält, gestattet eine Abschätzung des Fehlers, den man bei einer Anwendung der Ritzschen Methode und der daraus folgenden Reihenentwicklung erhalten würde. Diese Analyse kann für die wärmeabgebenden turbulenten Strömungen in Atomreaktoren angewendet werden.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Scientific Research of the ARDC, US Air Force under Contract AF 18 (603)-104.     

Damped and thermally driven acoustic oscillations in wide and narrow tubes

Zusammenfassung Die Theorie von Kirchhoff für gedämpfte Schwingungen in langen Rohren und die darauf aufgebaute Theorie von Kramers für thermisch getriebene akustische Oszillationen wird neu hergeleitet, wobei die sogenannte Grenzschichtvereinfachung zunächst nicht benötigt wird. Es zeigt sich, dass für Helium eine in der Kramersschen Theorie auftretende Konstante fast genau verschwindet; dies hat zur Folge, dass für thermische Schwingungen in Helium eine Grenzschichttheorie erster Ordnung versagt. Durch Hinzunahme von Gleidern, die vom Grenzschichtstandpunkt als Grössen zweiter Ordnung erscheinen, wird die Theorie thermisch getriebener Oszillationen für Helium in Übereinstimmung mit der Erfahrung gebracht.     

Normal stresses in flow through tubes of non-circular cross-section

Zusammenfassung Eine visko-elastische Flüssigkeit fliesst durch ein zylindrisches Rohr von nichtkreisförmigem Querschnitt. Die Theorie zweiter Ordnung der visko-elastischen Flüssigkeiten wird auf die Bestimmung der Variation der auf die Rohrwandung ausgeübten Normalspannungen angewandt. Explizite Lösungen für elliptische, dreieckige und rechteckige Querschnitte werden angegeben.