朱世杰及其公式

朱世杰首先把拆项相消法用于求乘积数的和 ,得到中算史上光芒四射的朱世杰公式 ,受到世界各国的尊重 .朱世杰是我国元朝时著名数学家 ,字汉卿 ,号松庭 ,北京人 .著作《算学启蒙》( 1 2 99年 )和《四元玉鉴》( 1 30 3年 )流传至今 .美国著名科学史家萨顿 (Ｇ·Ｓａｒｔｏｎ)评论“朱是贯穿古今的一位最杰出的数学家” ,《四元玉鉴》是“中国数学中最重要的一部 ,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一 .”《四元玉鉴》中的一项重要成就是“招差术” ,解决了高阶等差级数的求和问题 ,给出了包括四次差的正确公式 ,实际上可以认为朱已经掌握了包…     

微积分三公式的推演

本文从数学发现角度,重现微积分学中格林公式、高斯公式与斯托克斯公式的推演.     

从高斯公式到格林公式和牛顿-莱布尼茨公式

本文讨论高等数学课程中,高斯公式、格林公式和牛顿-莱布尼兹公式之间的内在联系,指出格林公式和牛顿-莱布尼茨公式可以分别看作一维和二维欧氏空间中的高斯公式.实际上,n维欧氏空间中的高斯公式可以看作微积分基本定理在高维欧氏空间中的表述形式.利用高斯公式还可以导出定积分、二重积分和任意n重积分的分部积分公式.     

奇妙的Bailey—Borwein—Plouffe公式

1　引言数学的魅力之一就是对已经研究了数千年的问题还有作出原创性发现的可能 ,更何况在今日的数学研究中 ,人们充分利用计算机这一强有力的工具辅助思维和演算 .一个最显著的事例发生在 1 997年 ,(美国 )国家航空和宇宙航行局(ＮＡＳＡ)的ＤａｖｉｄＢａｉｌｅｙ ,(加拿大 )不列颠哥伦比亚的ＳｉｍｏｎＦｒａｓｅｒ大学实验与计算数学中心的ＰｅｔｅｒＢｏｒｗｅｉｎ和ＳｉｍｏｎＰｌｏｕｆｆｅ(以下一并简称为ＢＢＰ)近来发现了一个不平凡的然而形式上相当简单的关于π的新公式[1 ] :(1)　π =∑∞ｎ =0116 ｎ48ｎ 1-28ｎ 4-18ｎ …     

"等差数列的前n项和公式推导"的商榷

1商榷背景普通高中课程标准实验教科书(人民教育出版社A版)《数学》⑤第二章数列“2.2等差数列”中,一开始就明确了一种常用的数学研究方法——从特殊入手研究数学对象的性质,再逐步扩展到一般.在推导等差数列的前n项和公式时,更是体现了这一方法,教科书给出的公式探究过程可以     

三角函数诱导公式

1 教材分析1.1 教材的地位与作用本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展,又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程,体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到…     

介绍广义二项式系数

1　前言《应用数学进展》 (《Advances in AppliedMathematics》最近一期 ,即第 2 1卷第 2期 ( 1998年 8月 ) ,2 2 8页至 2 40页上刊登了 John Konvali-na的一篇论文 ,题目叫《广义二项式系数和子集-子空间问题》.在这篇论文中 ,Konvalina定义了两种广义二项式系数 ,从而组合地把二项式系数 ,Gauss系数 ,和 Stirling数的基本性质统一起来 .我很喜欢这篇论文 ,认为值得介绍给我国数学界 .这篇论文上印有“1998年 4月 8日 (编辑部 )收到 ,1998年 5月 5日被接受”,可见《应用数学进展》编辑部很喜欢也很重视这篇论文 .2　广义二项式系数设 …     

类比创新法微课案例——格林公式

以激活思考为出发点,我们考虑第二型曲线积分的物理意义及其与定积分的联系.通过探究牛顿-莱布尼兹公式的数学本质,进而合理猜测,推理得到了格林公式.最后归纳总科学研究问题的重要方法:类比创新法.     

一类求和公式发现过程的再探究

<正>《中学生数学》2017年1月下"数苑纵横"栏目刊登了《解析一类求和公式的发现过程》一文,其编后语:本文(2),(3),(4),(5)中归纳的一步是不完全归纳,得到的是猜想,因此最后的结果也只是猜想.本文展现了发现1~k+2~k+3~k+…+n~k求和公式的探索过程.至于发现的公式是否正确,尚须用数学归纳法证明.正是这段编后语引发了笔者对这类求和公式推导的再思考:对于未学习数学归纳法的     

Green公式破译

Green公式在多元微积分中占有极其重要的地位。翻开微积分教材我们看到，关于这个重要命题的论证偏于繁琐，读者往往知其然不知其所以然。提出Green公式的英国数学家G·Green（1793－1841年）出身贫寒，幼年辍学做工，直到40岁（1833年）才上大学。Green公式是他在1828年——即进大学之前提出的微积分公式，为什么今天的大学生竟会感到难以理解呢？著名数学家林群先生特别强调教学方法的改革。他曾在《世界科技研究与发展》的《院士论坛》上发表题为《教材破译》的文章［’j。林群先生在文中向读者奉献了一种破译教材的“点金术”：＊对一…     

平方差公式教学设计

教学内容：浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册第5章第4节“乘法公式（1）”． 一、教学目标： 知识技能目标： 1．经历探索平方差公式的过程．     

G·格林与位势理论

格林(G·Green,1793~1841年)是19世纪前期英国数学家,他继承了前人的成果,引入了位势概念,建立了“格林函数”,提出“格林定理”和 n 维空间概念.直到今天,学过高等数学和大学物理的人都知道“格林公式”、“格林函数”、“格林算子”、“格林空间”和“格林测度”等.1　移植思维出成果格林创立位势理论运用的是移植思维方法.大家知道,数学抽象性这一特点,具有促成不同学科领域相互模拟、相互移植的功能.以二阶常微分方程为例d2ydx2 pdydx Qy = f(x)在力学中可表示为强迫振动方程,在电学中可表示为电阻、电感、电容串联电路方程,在…     

Steiner系若干课题研究的历史回顾——陆家羲学术工作背景概述

我国现代组合学家陆家羲,1979—1981年攻克组合数学著名难题,证明了阶为v的不相交Steiner三元系大集存在定理,1983年3月他的六篇论文中的前三篇发表在《组合论杂志》A辑上[1],1984年9月后三篇在同刊上也已刊出[2],共100页.他的“可分解平衡不完全区组设计的存在性理论”已在《数学学报》上发表[3].陆家羲学术工作的成就引起了组合学界、数学界以至社会上广泛的关注.对他工作的介绍,有论文[4]、[5].     

从点到直线的距离公式的推导谈起

在全日制普通高级中学教科书 (试验本 )《数学》第二册 (上 ) (1 997年 1 2月第 1版 )中 ,用向量方法推导了点到直线的距离公式 .本文用向量方法给出两种新的推导方法 ,并由此引发了对教材编写的一点建议 ,供讨论 .1　公式的推导已知 :Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ=0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ解法 1　设点Ｐ在ｌ上的射影为Ｑ(ｘ1,ｙ1) ,则ＰＱ⊥ｌ,因为直线ＰＱ的方向向量为ｖ→ =(Ａ ,Ｂ) ,所以ＰＱ→ =ｔｖ→ 　 (ｔ∈Ｒ)因此 (ｘ1-ｘ0 ,ｙ1-ｙ0 ) =ｔ(Ａ ,Ｂ) ,即 ｘ1=ｘ0 +Ａｔｙ1=ｙ0 +Ｂｔ又点Ｑ在ｌ上 ,所以Ａ(ｘ0 +Ａｔ) +…     

两个倍角公式的无字证明

说明：《中学生数学》2009年第4期朱华伟先生提供了“和化积公式的无字证明”,现给出其姊妹篇．     

来也分类去也分类--浅谈欧拉公式的来源和欧拉示性数

《全日制普通高级中学教科书数学》第二册(下 ) [1 ] 中安排了一个“研究性的学习课题” ,其题目为《多面体欧拉定理的发现》 .安排这部分内容的目的 ,不仅是要介绍关于简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间的特定关系———欧拉公式 (V+F-E =2 ) ,更重要的是使学生初步体验“观察 ,发现 ,归纳 ,猜想 ,证明”的研究过程 ,从而加强对学生的创新能力的培养 .教科书中这部分内容主要包含 :( 1 )　发现欧拉公式 (引导学生从观察正多面体做起 ,发现V、F、E间的关系 ,再扩展到观察棱柱、棱锥以及一般的简单多面体 ,通过归纳形成对简单多面体…     

对"三面角的棱面角公式"的另一简证

《数学通报》2 0 0 1年第 1期刊登了黎友源老师的文章《三面角的棱面角的计算公式》(以下简称文 [1 ]) ,该文给出了三面角中棱与面所成的角与三面角间的关系 ,公式应用广泛 ,读后受益非浅 .在阅读过程中发现文 [1 ]中的定理可看作《立体几何》课本Ｐ1 2 2页 第 3题的推广 ,是进行开放、创新教学的良好素材 ,但在证明过程中辅助线多 ,且用到高二才将学到的正、余弦定理、不能在高一学生中讲授 .现给出一种能让高一学生也能掌握的简捷证明 ,供参考 .文 [1 ]公式如下 :定理　在三面角Ｓ-Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,三个面角∠Ｃ1 ＳＢ1 =α ,∠Ａ1 ＳＣ1 …     

格林公式的几何意义

我们知道格林公式指出了二重积分和曲线积分的联系。本文的目的是要讨论格林公式的几何意义。格林公式:设P(x,y),Q(x,y)以及偏导数(?)P/(?)y和(?)Q/(?)x是闭单连通区域(D)上的连续函数,(D)的边界(L)是光滑的简单曲线,那末有从格林公式的证明知道,不需要增加条件,下式亦成立:和以下就(1)式来讨论几何意义,对于(2)式是类似的。我们假定读者已经知道什么是平面图形的面积。现在给出一个判别平面图形是否有面积的方法:     

逆向思维在两道大学生数学竞赛试题中的应用

通过两道全国大学生数学竞赛决赛试题介绍了利用高斯公式计算三重积分,利用格林公式计算二重积分的方法,概述了逆向思维的意义及其在高等数学中的应用.     

高斯公式应用小议

在利用高斯公式计算曲面积分时 ,许多学生往往忽视了对定理条件的考察。比如 :同济四版《高等数学》下册总习题十的第 3 ( 4)题就是一例。例 1 :计算 ∑xdydz +ydzdx +zdxdy( x2 +y2 +z2 ) 3 ,其中 ∑:1 -z5=( x -2 ) 21 6+( y -1 ) 29( z≥ 0 )上侧。多数学生在利用高斯公式求解时 ,做法如下 :解 :令 P =x( x2 +y2 +z2 ) 3 ,Q =y( x2 +y2 +z2 ) 3 ,R =zx2 +y2 +z2 ) 3 ,补 ∑1:z =0 ( x -2 ) 21 6+( y -1 ) 29≤ 1 下侧。于是由高斯公式得 : ∑+ ∑ 1Pdydz +Qdzdx +Rdxdy = Ω P x+ Q y+ R z dv Ω0 dv =0 ,其中Ω为由 ∑ +∑1所围区…