关于有效数字教学的一点意見

1964年新编初中代数课(第三册,第一分册)中,有效数字是近似计算一章中基本概念之一。它是以后讲解乘、除、乘方、开方运算的基础。课本中给出定义:一个近似数的绝对誤差,如果不超过它最末一位的半个单位,那么这个近似数从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。如何利用学生已有的知识和具体例子引出有效数字这一新概念,确实是值得研究的问题。下面谈谈我在教学上是如何安排的,请大家指正。 (1) 复习绝对誤差,相对誤差等有关概念。 (2) 在复习的基础上,计算四舍五入得来的近似数0.304,0.00304,0.3040,0.003040的绝对誤差和相对誤差。把计算结果列成下表:     

带5数字平方妙解

带5数字的平方,在经济工作中常碰到,有四种情况,即5字带头,居中,居尾,或前后为5,但不论何种情况,均各有妙法去解决,具体如下: (一)5字带头的二位数平方 5字带头的二位数平方,计算方法是: 首数~2 尾数接尾数~2=25十尾接尾数~2     

关于高中导数教学中的三个问题

本文谈到的问题,出现在统编教材高中数学第四册第八、九两章的教学中。由于它们是学生容易问到或者容易弄错的问题,而课本(即高中数学第四册,下同)对这些问题没有说明或者强调不够,并且教参(即第四册的教学参考书)对有关习题的解答也有错误,因此笔者认为有讨论的必要。一、关于求导过程中算术根的运算问题先看一个例子。课本上P.93练习第24题是求y=arccos(x/a)的导数。解答时学生很容易出现下面的错误:     

以集合形式给出方程的解是否妥当

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册82页有这样一题:方程3~(2x~2)=3~(5x+7)与方程2x~2=5x+7的解集是否相同?为什么?言下之意是在告诉学生若两个方程解集相同,则此两个方程就是同解方程了.(符合现行初中教材中对同解方程所下的定义:如两个方程相同,那么这两个方程叫做同解方程.初中代数第一册.)     

提高初二学生计算能力的点滴做法

有些初二学生在计算方面存在的问题是比较严重的,他们在解题中既不善于运用基本公式、法则,进行合理运算,也不善于选择简捷的计算方法迅速得出正确答案。如有的学生在计算(3~(1/2)-2~(1/2))~2(3~(1/2) 2~(1/2))~2时,不会应用平方差的公式。在解方程组4x~2 4xy y~2=49 xy=6时却不加思索的用代入法去解,这种例子很多。这些问题的存在,一方面影响课堂教学的顺利进行,使教师在讲解新课和演算例题时,不得不在这方面多花时间;另一方面也影响学生完成课外作业的速度,造成负担过重。所以提高学生的计算能力就成为提高数学教学质量和减轻学生负担的一个重要环节,也是数学教学中一个值得重视和探讨的问题。现就个人在初二代数(即一九八三年部编版本第三册)教学中的一些做法,提出来供参考和批评。     

由一道邀请赛题引出一串公式和定理

计算连乘积(5~(1/2) 6~(1/2) 7~(1/2))(5~(1/2) 6~(1/2) 7~(1/2)).(5~(1/2)-6~(1/2) 7~(1/2))(-5~(1/2) 6~(1/2) 7~(1/2)). 此题是1986年美国第四届数学邀请赛题。反复运用平方差公式和完全平方公式,就计算得结果是104。这道赛题结构特殊,它是否有一定的规律性,是否可以推广到一般呢?回答是肯定的。不仅如此,而且还可以引出一串公式和定理。下面从两个方面去探索:     

浅谈引伸式教学法

在研究某一问题时,对这个问题的题型、结论或解题规律作适当的引伸,以达到培养学生思维能力的目的,我们称此法为引伸式教学法。一、围绕着题型的引伸例1、原题:利用公式展开(2a 1/2)~2,(3x-2y)~2。说明:此题的题型是利用二项式的平方公式,显然从项数和乘方次数两方面都可加以引伸。引伸题:1、展开(a b)~2、(a b c)~2、(a b c d)~2,即二项式的平方、三项式的平方、四项式的平方,这是从项数方面加以引伸的。 2、(a b)~2,(a b)~3、(a b)~4,即二项式的平方、二项式的立方、二项式的四次方,     

有理数平方的分部捷乘法

有理数平方的计算,在中学数学的学习和生产实践中,都经常用到。关于这个问题,现行初中《数学》课本第二册里,在讲到“两数和的平方公式”时,介绍了个别特殊数的平方幂的简便算法,但这些方法的局限性很大,应用不广。本文仍用这个公式作为理论基础,介绍一个普遍适用的“分段捷乘法”。先看两位数的情况。因为两位数能表示为10a+b的形式,按完全平方公式有: (10a+b)~2=(10a)~2+2·10ab+b~2=(10a+2b)10a+b~2 (Ⅰ)把恒等式(Ⅰ)写为竖式有:按右边这个用逗号代替乘式与波乘式间的加号后     

整数的平方的一些性质

在国内外的数学竞赛题中,有一些题目的解法实际上只用到了整数的平方的某些性质,所涉及的知识是相当少的;但是,对于不习惯于利用这些性质的人,又会感到这些题目有一定的难度。本文打算通过一些例子,向中学生介绍这方面的解题方法。一、大家知道,所有的整数可以分为偶数和奇数两大类。偶数能表为2k的形式,奇数能表为2k 1的形式,这里k是整数。先看偶数的平方,由于(2k)~2=4k~2,可见任何偶数的平方能被4整除。再看奇数的平方,(2k 1)~2=4k~2 4k 1=4k~2(k 1) 1,由于k与k 1是相邻的两整数,故其中恰有一偶数,因此4k(k 1)能被     

关于方程x~2=x的四个解

为了使读者相信,方程x~2=x并非所已知的那样只有0和1两个解,而是四个.我们可以先观察下列无可争辩的事实:如果自然数是以数字0,1,5,6结尾的话.則其平方同样也以这些数字结尾.末两位为00,01,25,76的数的情况也一样.如自然数以这些两位数为结尾的话,其平方数同样如此(例如176~2=30976,225~2     

七年级(上)数学期末测试题(华东版)

一、选择题(本题共10个小题,每小题2分,共计20分)1·近似数0.03020的有效数字的个数和精确度分别是()·A·三个,精确到十万分位B·三个,精确到万分位C·四个,精确到万分位D·四个,精确到十万分位2·下列计算正确的是()·A·-(-2)2=22B·(-3)2×(-32)=6C·-34=(-3)4D·(-0.1)2=0     

一个无穷级数求和的技巧

我们来考虑下面的行列式的绝对值的平方其中ε=e~(2π/n) i=(-1)~(1/2)。将此行列式与复共轭行列式相乘,一方面,这两个行列式都是Vandermonde行列式,所以,相乘结果应该是:     

练习课一例

在讲授了和角与差角的正弦、余弦、正切公式后,我组织了一堂练习课。其目的在于:第一,巩固上述六个公式;第二,使学生掌握由已知几个单角的三角函数值,确定这些角之间的关系这一类问题的解法。教学过程分为四步。一、通过教材P180例1(1)(已知tgα=1/3,tgβ=-2,求ctg(α-β)复习公式Tα-β, 二、通过教材P180例1(2)(已知tgα=1/3,tgβ=-2,且α∈(0,π/2),β∈(π/2,π),求α+β)提出问题,阐述解题规律。     

完全平方公式的变式应用

完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2除了可直接用于计算两数和的平方与两数差的平方外,若将它们适当变形,其用途更为广泛,下面举例说明这两个公式的几种变式及其简单应用.     

直线与圆锥曲线相切的充要条件的应用

直线y=kx+m与抛物线y~2=2px、椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1、双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1相切的充要条件分别为 k=p/2m,k~2a~2+b~2=m~2,k~2a~2-b~2=m~2。这几个命题在十年制统编教材中是作为习题出现的(见第二册155页和171页)。根据一元二次方程根的判别式很容易对它们作出证明,这里不再赘述。将它们作为定理直接应用,常能使一些复杂问题的解答过程得到简化,举例于下: 例1。抛物线y~2=4(2~(1/2))x与椭圆x~2/4+y~2/2     

算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

对解二次方程的作图与黄金分割的教学管见

解二次方程的作图与黄金分割的内容是平几中有一定难度的教材,它分散在《全日制十年制初中数学》几何第一册、第二册之中(以下称一册、二册),没有明显的标题,是通过例题、习题来体现的。也就是数形结合,由解一元二次方程进行代数法作图,推证出黄金分割,再将黄金分割知识渗透在等分圆和有关论证、计算的问题之中进行学习的。因为教材分散,难点较多,学习起来知识不易掌握,产生困难,因而影响教学质量的提高.那么怎样教好、学好这部分教材呢,笔者认为可搞专题讲座,从下面三个方面进行.     

完全平方公式在解三角形中的应用

本文试用完全平方公式 (a±b)~2=a~2±2ab b~2来解三角形。一、解直角三角形如果我们把a、b看成一个直角三角形的两条直角边,那么,由勾股定理:a~2 b=c~2;直角三角形的面积公式:S=1/2ab,即ab=2S。将它们代入上面公式得 (a b)~2=c~2 4S (1) (a-b)~2=c~2-4S (2) 在(1)、(2)两式中,S表示直角三角形的两积,c表示斜边,a b、a-b分别是两条直角边的和与差。可以看出(1)、(2)两式分别给出了直角三角形的两条直角边的和,差与斜边、面积之间的关系。据此,只要已知c、S、a b和a-b这四个量中的任何两个,我们就可以用(1)、     

问题与解答

一本期问题 1.设a、m、n是正整数,n是奇数。证明数a~n-1和a~m+1的最大公因数不大于2。 2.证明数2~(5n+1)+5~(n+2)当n=0,1,2,…时,可以被27整除。 3.求出一个形如的整数的九位数,此数是四个不同素数的平方之积,且,(a_1≠0)。     

例说解析几何计算减负之法

|PF1|+|PF2 |=2 a(a>c>0 ) ,求 P的轨迹方程 .解　令 P(x,y) ,则由已知得 :(x+c) 2 +y2 +(x- c) 2 +y2 =2 a (1)将 (1)两边取倒数 ,得 :(x+c) 2 +y2 - (x- c) 2 +y2 =2 cxa (2 )(1) +(2 )得 ,(x+c) 2 +y2 =a+cax.平方得 :x2 +2 cx+c2 +y2 =a2 +2 cx+c2a2 · x2 .整理得 :x2a2 +y2a2 - c2 =1(3)易验证 (3)上任一点 (x,y)也在 (1)上 ,从而点 P轨迹方程为 :x2a2 +y2a2 - c2 =1.注　对于 (1)的化简 ,中学课本上用了两次平方 ,较为麻烦 .以上算法 ,抓住了 (1)的左边的整体上的特点 ,只用一次平方 ,较为简单 ,是优化算法的结果例说解析几何计算…