“隐形圆”问题

<正>条件是题目的重要组成要件,如何挖掘条件,充分审视条件,使之转化为有利于结论的信息,是数学解题活动中,较为稳定的思维规律.数学命题的条件有些具有隐含性,寓于语言中,存在于性质之内,隐藏在数与式中,潜伏在图形里,我们需要把这些条件挖掘出来,使之转化为熟悉的问题.直线与圆这部分内容中经常出现一类隐藏圆的问题,这就需要我们深入挖掘其背后的信息,掌握其中的处理策略.     

构造辅助圆,解决“等长共点”问题

<正>由于圆具有丰富的性质:(1)圆的对称性;(2)等圆或同圆中不同名称量的转化;(3)与圆相关的角;(4)圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆,就为圆的丰富性质的运用创造了条件,在解题时会收到意想不到的效果.添补辅助圆的常见方法有:1.利用圆的定     

与二次曲线相切于顶点的“最大圆”的不等式求法

在平面解析几何中,有一类问题是在二次曲线的某一侧求出一个与该已知二次曲线和切于顶点的最大圆。这类问題的常规解法是通过联立该二次曲线及与该二次曲线相切于顶点半径为R的圆的方程,来确定这个“最大圆”的半径R_0。应当指出,用这种方法所确定的半径R_0,往往还需要证明它是“最大圆”的半径,也就是说,还必须证明如下两点:     

实际问题 左右逢“圆”

圆在实际生活和社会实践中有着广泛的应用．生活中与圆有关的实际应用问题，往往是通过建立数学模型，并把实际应用问题转化为数学问题来解决的．一、体育比赛取胜问题     

透过现象看本质——“隐圆”问题探究

<正>圆是高中数学一种重要的曲线,在一些与圆有关的题目中,条件没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题设中.通过题意的分析发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的相关知识求解问题,我们称这类问题为"隐圆"问题.这类题目构思巧妙,综合性强,充分考查了数形结合、转化和化归等数学思想,处理这类题目关键在于能否把"隐圆"找出来.下面我们结合以下例题探讨几类常见类型的"隐圆".     

例谈数学竞赛中的“隐圆”问题

很多数学问题看起来与圆无关,如果深入分析代数式结构,深层挖掘题目的隐含条件,通过换元、转化和构造,会发现与圆有关联的性质和结构,可以利用几何性质进行求解.本文以部分数学竞赛试题为例,介绍利用“隐圆”处理相关问题的方法和策略.     

构造圆的方法例析

数学中常会遇到一类问题,可以将它们转化到圆中求解,我们把这种方法称为圆化法.     

巧用数形结合，培养核心素养——以“圆的位置关系”解题教学为例

圆的位置关系是初中数学教学的主要内容,需充分关注到点与圆、直线与圆、圆与圆、圆与其他图形的位置关系,在解决位置关系的问题时,需充分了解其常规的位置关系及其转化方法,以实现与圆有关的位置关系问题的高效解决.     

数、形关系应用二例

解析几何将数和形有机地给合在一起,因此,几何问题可以转化为代数运算的方法来解决,同样地,某些代数问题也可以借助几何知识来解决。这种互可转化使我们在解题时能化难为易。例1 三圆O_1、O_2,O_3两两相交,圆O_1与O_2的交点是P_1和P_2,圆O_2与O_3的交点是Q_1和Q_2,圆O_3与O_1的交点是R_1和R_2,求证P_1P_2、     

有“圆”千里来相会

<正>2021年全国各地的中考数学试卷出现了这样一类题:题干条件中明明没有提及任何与"圆"相关的字眼,但在解题过程中构造辅助圆往往可以化难为易,起到事半功倍的良好效果.我们把这样一类问题称之为"隐圆"问题.1 "隐圆"模型有"圆"千里来相会,"隐圆"问题的突破口就在于根据已知条件构造出解题所需的"辅助圆".有的"隐圆"问题形式虽然复杂,但基本都是在以下四种基本模型(如图1所示)的基础上变化而成的.     

“国粹”脸谱、“蛋圆”与中考压轴题

中国,是拥有五千年历史的古国,它具有十分丰富的文化传承,其中京剧就是一门重要的艺术,常常受到外国友人的青睐.看到图1所示的京剧脸谱了吗?其实它们可以看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形,我们称之为“蛋圆”(形状类似于鸡蛋).2015年山东省威海市中考数学试题:我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”(形状类似于鸡蛋),如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图2,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,AB     

用“运动变化”和“数量关系”观察、判定位置关系

<正>我们先回顾一下研究直线和圆的位置关系的过程和方法.1.直线和圆有几种位置关系?和哪些数量有关呢?(1)圆心的位置和圆的大小不变,移动直线,请你观察直线和圆有几种位置关系?什么数量在变化?随着直线的移动,直线和圆出现三种不同的位置关系,如图1所示.作OD⊥l于D,设OD=d,可以发现,在直线移动的过程中,圆心     

斜率带来的“盲点”

例1 已知圆x^2＋y^2-4x＋2y-3=0和圆外一点M（4,-8）,过点M作圆的割线交圆于A、B两点,若｜AB｜=4,求直线AB的方程．     

慧眼识“圆”,拓宽解题路径

<正>《墨子·经上》记载:“圜,一中同长也”,其大意为圆这种图形有一个中心,从这个中心到圆上各点长度相等.这是中国古人对于圆这一几何概念的定义,用现代数学语言描述即为“圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的轨迹”.圆作为初中平面几何的重要内容,在历年中考数学试卷中均占有一席之地.从各地命题的方式来看,除了直接考察圆的基础知识以外,一类隐圆问题也备受命题者的青睐,     

圆中倒角

<正>在数学中,倒角指的是几何图形中角的转换.在教学过程中为了方便,一些老师常常将其称为“倒角”,有“对调、转移、更换、改换”的意思.倒角本质的思想是转化与化归,将未知转化为已知,复杂转化为简单.圆是几何学的基本概念之一,圆中的角与性质异常广泛且深刻;不仅包括了基本的弧度、圆心角、切线角等概念,还涉及到许多有趣且重要的性质和定理.圆中倒角,顾名思义就是利用圆来转化角度.接下来我们通过几道例题一起来探讨一下圆中倒角如何有效解决数学问题.     

椭圆问题“圆”来解

<正>普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4《坐标系与参数方程》(人教A版2007年)第一讲中,介绍了平面直角坐标系中的伸缩变换.如果我们巧妙利用这个伸缩变换,将椭圆的标准方程转化为单位圆方程,有时可以帮助简化思路,方便计算,有利于解题,做到事半功倍.     

“解构”图形:结合勾股定理求解线段长

<正>1知识基础初中阶段的几何图形可以分为基本图形和复合图形,基本图形包括直线形(三角形,四边形等)和圆,复合图形是指由两个或两个以上的基本图形构成的几何图形.反过来,复合图形也可以根据需求拆分成基本图形,也就是图形的"解构".这样就将复杂问题转化为基本图形的性质问题,同时也减少其他几何要素的干扰.直线形基本图形进一步解构是线段,因此能求解出线段长,几何问题中很多相关量的求解就能迎刃而解.     

构造辅助圆 巧解几何题

在解几何问题时,常会遇到一些用常规方法很难解决的问题．这时,如果构造适当的图形来给以辅助,往往能促使问题转化,从而简捷地解决问题．对于有些求角度、求线段长度、证线段相等问题,可以根据问题的题设或结论或图形中某些与圆的性质相似的信息,构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决．这种方法利用数形结合,使代数与几何等知识相互渗透,综合应用,它不但能较好的达到解题的目的,还有利于培养学生分析问题的能力．     

“补形”解题浅说

“补形”解题是《立几》中的一种重要解题思想,它与“割形”相辅相成,合起来就是“割补法”。学生在解题中应用“割形”较为顺当,应用“补形”比较生疏.本义对“补形”解题作些归纳整理,提出常用的“补形”方法,以飨读者.一、台体补成锥体解题棱(圆)台是用平行于底面的平面截陵(圆)锥而得的几何体,因此有关棱(圆)台的习题,常把它们补成棱(圆)锥来解是十分自然的.     

解题教学中“数形结合思想”培养的尝试与思考--高三函数专题复习实践研究

把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来。在使用过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却往往给学生的解题带来很大的困扰。因此,数形结合思想的培养更需偏重于由“数”到“形”转化的训练。