Rheology of molten polymers

Summary TheCross equation describes the flow of pseudoplastic liquids in terms of an upper and a lower Newtonian viscosity corresponding to infinite and zero shear, and ₀, and of a third material constant related to the mechanism of rupture of linkages between particles in the intermediate, non-Newtonian flow regime, Calculation of of bulk polymers is important, since it cannot be determined experimentally. The equation was applied to the melt flow data of two low density polyethylenes at three temperatures.Using data in the non-Newtonian region covering 3 decades of shear rate to extrapolate to the zero-shear viscosity resulted in errors amounting to about onethird of the measured ₀ values. The extrapolated upper Newtonian viscosity was found to be independent of temperature within the precision of the data, indicating that it has a small activation energy.The ₀ values were from 100 to 1,400 times larger than the values at the corresponding temperatures.The values of were large compared to the values found for colloidal dispersions and polymer solutions, but decreased with increasing temperature. This shows that shear is the main factor in reducing chain entanglements, but that the contribution of Brownian motion becomes greater at higher temperatures.

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Zusammenfassung Die Gleichung vonCross beschreibt das Fließverhalten von pseudoplastischen Flüssigkeiten durch drei Konstante: Die obereNewtonsche Viskosität (bei sehr hohen Schergeschwindigkeiten), die untereNewtonsche Viskosität ₀ (bei Scherspannung Null), und eine Materialkonstante, die vom Brechen der Bindungen zwischen Partikeln im nicht-Newtonschen Fließbereich abhängt. Die Berechnung von ist wichtig für unverdünnte Polymere, wo man sie nicht messen kann.Die Gleichung wurde auf das Fließverhalten der Schmelzen von zwei handelsüblichen Hochdruckpolyäthylenen bei drei Temperaturen angewandt. Die Werte von ₀, durch Extrapolation von gemessenen scheinbaren Viskositäten im Schergeschwindigkeitsbereich von 10 bis 4000 sec^–1 errechnet, wichen bis 30% von den gemessenen ₀-Werten ab. Die Aktivierungsenergie der war so klein, daß die-Werte bei den drei Temperaturen innerhalb der Genauigkeit der Extrapolation anscheinend gleich waren. Die ₀-Werte waren 100 bis 1400 mal größer als die-Werte.Im Verhältnis zu kolloidalen Dispersionen und verdünnten Polymerlösungen war das der Schmelzen groß, nahm aber mit steigender Temperatur ab. Deshalb wird die Verhakung der Molekülketten hauptsächlich durch Scherbeanspruchung vermindert, aber der Beitrag derBrownschen Bewegung nimmt mit steigender Temperatur zu.

     

Der Spannungs- und Verschiebungszustand drehsymmetrischer Membrane mit beliebig gekrümmter Meridiankurve

Zusammenfassung Die Einführung von Zylinderkoordinaten (x, r, ) in die Gleichgewichtsbedingungen der Schnittkräfte bzw. in die Beziehungen zwischen Verzerrung und Verschiebungen am differentialen Schalenabschnitt ermöglicht die Berechnung des Spannungs- und Verschiebungszustandes von drehsymmetrischen Membranen mit beliebig gekrümmter Meridiankurve auf die Integration einer einfachen, linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine charakteristische FunktionF bzw. zurückzuführen. Eine geschlossene Lösung und damit eine Darstellung der Schnittkräfte und Verschiebungen durch explizite Formeln ist bei harmonischer Belastung cosn für zwei Funktionsgruppen=x ² und=x ^–3 möglich. Im Sonderfall der drehsymmetrischen und der antimetrischen Belastung mitn=0 undn=1 gelten die Gleichungen der Schnitt- und Verschiebungsgrößen für eine beliebige Meridianfunktion=(). Die Betrachtungen der Randbedingungen offener Schalen bei harmonischer Belastung geben über die infinitesimalen Deformationen einer drehsymmetrischen Membran mit überall negativer Krümmung Aufschluß.     

Influence of molecular weight and molecular structure of polystyrenes on turbulent drag reduction

Summary An investigation was carried out on drag reduction of diluted solutions on nine linear polystyrenes of different molecular weight in toluene in the turbulent region (from 5,000 to 40,000 Reynolds numbers). The universal curve established byVirk et al. is only confirmed for very low concentration depending on the molecular weight and on the Reynolds number. If the maximum drag reduction varies with the molecular weight according to previous results, the intrinsic concentration shows a dependence with the cube of the molecular weight. This type of dependence explains the observed effects of the polydispersity and degradation. Moreover, no critical molecular weight below which no drag reduction occurs is observed. The study of PS samples with non-linear structure shows the total ineffectiveness of these structures giving support to the suggestion that an elongation of the polymer in the turbulent flow is responsible for the drag reduction. From the comparison between Polyox and PS properties it is concluded that both polymers have a comparable effectiveness and degradability when compared to the same DP or to the same [].

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Zusammenfassung Untersucht wurde die Verminderung des Reibungswiderstandes (VRW) verdünnter Lösungen von neun linearen Polystyrolen mit verschiedenem Molekulargewicht in Toluol im turbulenten Bereich bei Reynoldsschen Zahlen zwischen 5000 und 40000. Die vonVirk und Mitarbeitern festgestellte universelle Kurve wird nur für sehr verdünnte Lösungen, abhängig von der Reynoldsschen Zahl und dem Molekulargewicht, bestätigt. Wie schon in früheren Untersuchungen gefunden wurde, nimmt der Maximale VRW-Effekt mit dem Molekulargewicht zu, und die intrinsic-Konzentration zeigt eine Abhängigkeit mit der dritten Potenz des Molekulargewichts. Diese Abhängigkeit erklärt die beobachteten Effekte der Polydispersität und der Degradation. Weiterhin wird kein kritisches Molekulargewicht, unterhalb dessen kein VRW-Effekt auftritt, beobachtet. Die Untersuchung von nichtlinearen Polystyrolen beweist die völlige Unwirksamkeit dieser Strukturen, was den Schluß nahelegt, daß die Verlängerung des Polymers in der turbulenten Strömung für die Verringerung des Reibungswiderstandes verantwortlich ist. Durch einen Vergleich der Eigenschaften von Polyäthylenoxid und Polystyrol wird gefunden, daß beide Polymere eine vergleichbare Wirksamkeit und Degradation zeigen, wenn man Proben von gleichem Polymerisationsgrad oder gleichem Staudinger-Index [] in Beziehung setzt.

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With 9 figures and 2 tables     

A mixing length model for turbulent flow in constant cross section ducts

In this paper, a study is made of the damping influence of the wall on turbulent fluid flow. By considering the oscillation of the whole of the boundary, van Driest's original hypothesis has been extended to obtain the wall damping factor in flow in a duct of constant cross section. The damping factor is used in conjunction with mixing length expressions to obtain the velocity field. Particular examples considered are plane parallel flow and axisymmetric flow in a pipe and in an annulus.

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Ein Modell für die Mischungslänge von turbulenten Strömungen in Rohren mit konstantem Querschnitt

Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde der dämpfende Wandeinfluß in turbulenten Strömungen untersucht. Unter Berücksichtigung der Schwingungen in der gesamten Grenzschicht wurde die ursprüngliche Theorie von van Driest erweitert und ein Dämpfungsfaktor an der Wand in Rohrströmungen mit konstantem Querschnitt ermittelt. Dieser Dämpfungsfaktor diente in Verbindung mit Ausdrücken für die Mischungslänge zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes. Ausgewählte Beispiele waren die ebene Parallelströmung sowie die Zylinderströmung in einem Rohr und einem Ringspalt.

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Nomenclature A, A^*(=Au/v) Parameter defined in text - b, b^*(=bu/v) semi-width of parallel plate channel - c(= 1/A) parameter defined in text - E[, /2] complete elliptic integral of the second kind - d damping factor - F, G, H functions - l, l^*(=/v) mixing length - M_O, _O functions - r, r^*(=ru/v) radius - A real part of function - R, S, T, U functions - u, u^*(=u/u) velocity in flow direction Z - friction velocity - x, y, z co-ordinates (z in flow direction) - y^*(=yu/v) non-dimensional wall distance - fluid density - , _eff kinematic viscosity, effective kinematic viscosity - phase angle, or polar coordinate angle - shear stress - (=r/r_W) radius ratio - angular velocity Suffixes w wall value - far from a wall     

Berechnung des Temperaturfeldes um eine im Erdboden verlegte Punkt- und Linienquelle bei Randbedingung III. Art an der Erdoberfläche

Zusammenfassung Für den Fall, daß sich in einem halbunendlichen Körper in der Tiefe L eine Punkt- bzw. Linienquelle befindet und daß an der Oberfläche des Körpers ein örtlich und zeitlich konstanter Wärmeübergangskoeffizient herrscht, wird das stationäre Temperaturfeld analytisch berechnet. Beim Vergleich mit einer Näherungslösung (Hilfsschicht) zeigt sich, daß nicht so sehr die Biot-Zahl Bi= · L/ als vielmehr der größte Winkel zwischen Wandnormale und Wärmestromdichte in der Hilfsschicht ein Maß für die Genauigkeit der Näherungslösung ist.

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Calculation of the temperature field around a buried point- and linesource, respectively, when the boundary condition is Newton's law

The steady state temperature field in a semiinfinite body caused by a buried point- and linesource, respectively, has been analytically calculated. The comparison with a simple approach (additional-layer) shows that the greatest angle between the normal of the wall and the heat flux density in the additional-layer, describes the quality of the approach better than the Biot-number Bi=L/ does.

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Formelzeichen A Fläche - Bi Biot-Zahl - C Eigenwertfunktion - E₁ Exponentialintegral - exp Exponentialfunktion - i komplexe Einheit - J₀ Besselfunktion nullter Ordnung und 1. Grades - L Verlegungstiefe der Punkt- bzw. Linienquelle - Q Quellstärke - r Radius - Re Realteil eines Ausdruckes - T Temperatur - t Integrationsvariable - x, y, z Ortskoordinaten - Wärmeübergangskoeffizienten an der Erdoberfläche - Laplace-Operator - Wärmeleitfähigkeit des Erdbodens - dimensionslose Temperatur - Integrationsvariable - dimensionsloser Radius - komplexe Ortskoordination Indizes 0 Erdoberfläche, senkrecht über der Quelle - 1 Lösung für das 1. Randwertproblem - 3 Lösung für das 3. Randwertproblem - 13 Zusatzfunktion - w Erdoberfläche - Umgebungstemperatur - Näherungslösung     

Modellvorstellung zur turbulenten Filmkondensation strömenden Dampfes

Zusammenfassung Der Wärmeübergang bei turbulenter Film kondensation strömenden Dampfes an einer waagerechten ebenen Platte wurde mit Hilfe der Analogie zwischen Impuls-und Wärmeaustausch untersucht. Zur Beschreibung des Impulsaustausches im Film wurde ein Vierbereichmodell vorgestellt. Nach diesem Modell wird die wellige Phasengrenze als starre rauhe Wand angesehen. Die Abhängigkeit einer Schubspannungs-Nusseltzahl von der Film-Reynoldszahl und Prandtlzahl wurde berechnet und dargestellt.

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A model for turbulent film condensation of flowing vapour

The heat transfer in turbulent film condensation of flowing vapour on a horizontal flat plate was investigated by means of the analogy between momentum and heat transfer. To describe the momentum transfer in the film a four-region model was presented. With this model the wavy interfacial surface is treated as a stiff rough wall. A shear Nusselt number has been calculated and represented as a function of film Reynolds number and Prandtl number.

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Formelzeichen a Temperaturleitkoeffizient - k Mischungswegkonstante - k _s äquivalente Sandkornrauhigkeit - Nu _x lokale Schubspannungs-Nusseltzahl,Nu _x=x_xv/uw - Pr Prandtlzahl,Pr=v/a - Pr _t turbulente Prandtlzahl,Pr _t =_m/_q - q Wärmestromdichte _q - R Wärmeübergangswiderstand - R_f Wärmeübergangswiderstand des Films - Re _F Reynoldszahl der Filmströmung - T Temperatur - U, V Geschwindigkeitskomponenten des Dampfes in waagerechter und senkrechter Richtung - u, Geschwindigkeitskomponenten des Kondensats in waagerechter und senkrechter Richtung - V Querschwankungsgeschwindigkeit des Kondensats und des Dampfes - u _/gtD Schubspannungsgeschwindigkeit an der Phasengrenze für die Dampfgrenzschicht, uD =(/)^1/2 - u _F Schubspannungsgeschwindigkeit an der Phasengrenze für den Kondensatfilm,u _F =(/)^1/2 - u _w Schubspannungsgeschwindigkeit an der Wand der Kühlplatte,u _w =(w/)^1/2 - y Wandabstand - x Wärmeübergangskoeffizient - gemittelte Kondensatfilmdicke - _s Dicke der zähen Schicht der Filmströmung an der welligen Phasengrenze - ₄ Dicke der zähen Schicht der Filmströmung an der gemittelten glatten Phasengrenze - Wärmeleitzahl - dynamische Viskosität - v kinematische Viskosität - Dichte - Oberflächenspannung - _w Wandschubspannung - Schubspannung an der Phasengrenzfläche - _m turbulente Impulsaustauschgröße - _q turbulente Wärmeaustauschgröße Indizes d Wert des Dampfes - w Wert an der Wand - x lokaler Wert inx - Wert an der Phasengrenze Stoffgrößen ohne Index gelten für das Kondensat     

Rotationsviskosimetrie mit kugelförmigen Spindeln

Zusammenfassung Die Rheodynamik der stationären viskometrischen Drehströmung um eine rotierende Kugel wird mit Methoden der Variationsrechnung untersucht. Neben iterativen numerischen Lösungsmethoden, die zu exakten Resultaten führen, wird auch eine approximative Ein-Gradienten-Lösung konstruiert, die durch Quadraturen dargestellt wird. Ausgehend von dieser analytischen Approximation werden einfache Methoden zur Auswertung von Experimentaldaten vorgeschlagen, die mit Hilfe von Eintauch-Rotationsviskosimetern mit kugelförmigen Meßspindeln gewonnen wurden.

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Summary The rotational viscometric flow around a rotating sphere has been studied by variational methods. The exact numerical, as well as an approximate analytical solutions are given. Employing the analytical approximation, a simple method of evaluating viscometric data from immersional (portable) viscometers with a rotating sphere is proposed.

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A Achsenschnitt durch den Bereich der Strömung - B - b, c anpaßbare empirische Konstanten - C Kalibrierungsoperator - D Schergeschwindigkeit der viskosimetrischen Strömung - D _ij Komponenten des Deformationsgeschwindigkeitstensors - D _I, _I Stoffkonstanten der VF des Ellis-Modells - g metrischer Koeffizient - H() Funktional der Ein-Gradienten-Approximation, Gl. [27] - J[] energetisches Potential - J _a[] Ein-Gradienten-Approximation fürJ - K Konsistenzkoeffizient, Parameter der VF des Potenzmodells - m Parameter des Ellis-Modells - M Drehmoment - n Parameter des Potenzmodells - n, n Differentialindices der VF, Gl. [20c, d] - n*,n** Differentialindices der RC, Gl. [9], [13] - r, , z polare Zylinderkoordinaten - R Spindelhalbmesser - rheometrischer Operator - S Spindeloberfläche - U(D) energetische Funktion nachBird, Gl. [20e] - v _i physikalische Komponenten der Geschwindigkeit - Z() transformierte VF, Gl. [20f] - (n) durch Gl. [35] definierte Funktion - k Verhältnis der Radien von Spindel und Wand - ( durch Gl. [43] definierte Funktion - natürliche (Radial-)Koordinate - Schubspannung der viskosimetrischen Strömung - _ij Komponenten des Spannungstensors - _S() Spannungsprofil an der Spindeloberfläche - _M Maximalspannung an der Spindeloberfläche - mittlere Spannung an der Spindeloberfläche, Gln. [3], [22] - natürliche (Meridional-) Koordinate - Winkelgeschwindigkeit in der Flüssigkeit - Winkelgeschwindigkeit der Spindelrotation - ( rheometrische Charakteristik Mit 4 Abbildungen und 3 Tabellen     

Rheologie pathologischer Gelenkflüssigkeiten

Zusammenfassung Die eingehende Analyse des viskoelastischen Verhaltens von 193 Kniegelenkspunktaten verschiedenster entzündlicher und nichtentzündlicher Gelenkerkrankungen ließ keine wesentlichen diagnostischen Hilfen für klinische Problemfälle erkennen. Untersucht wurden im einzelnen Fließkurven einschließlich der Anfangsviskosität ₀ und durch eine Normierungsmethode ermittelte master-curves, sowie Normalspannungen und in 3 Fällen gleichzeitig auch der SpeichermodulG und der VerlustmodulG mit Hilfe von dynamischen Messungen.Durch Vergleich der pathologischen Gelenkpunktate mit normaler, post mortal gewonnener gepoolter Synovia ließ sich ein Eindruck vom Grad der gestörten Viskoelastizität gewinnen. Dabei lassen die erniedrigten Hyaluronsäure-Konzentrationen, die Veränderungen der konzentrationsunabhängigen Knickzeitt _k> und die master-curve erkennen, daß hierfür sowohl eine verringerte Konzentration als auch ein geringeres Molekulargewicht der Hyaluronsäure verantwortlich ist. Konzentrierungsversuche pathologischer Synovia ergaben den Hinweis auf die Entstehung von Mikrogelen und ließen in Fällen zuvor fehlender Normalspannungen auch nach der Eindickung keine Normalspannungen erkennen. Es wird deshalb auch die Möglichkeit gestörter intermolekularer Interaktionen in der pathologischen Synovia diskutiert.

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Summary A thorough analysis of the viscoelastic behaviour of 193 synovial fluid samples of knee joints concerning different joint diseases (inflammatory and non-inflammatory) gives no essential diagnostic help in case of clinical problems.Investigations were done particularly on flow curves including the Newtonian viscosity ₀ and normal forces, and with the help of a standardization-method we got master curves. In three cases we also got dynamic properties i.e. the elastic modulusG and the loss modulusG. By comparison of the pathological synovial fluid samples with normal, post-mortem pooled synovial fluid one gets an idea of the degree of disturbance on viscoelasticity. It was found that the reduced concentration and the lower molecular weight of the hyaluronic acid are responsible for the pathological variation of the concentration independent bending timet _k as well as the shape of the master curves.Tests on concentrated pathological synovial fluids indicate the beginning formation of micro-gels. In cases of absence of normal forces even after concentration no normal forces could be detected. Therefore the possibility of disturbed intermolecular interactions in pathological synovial fluids will be discussed, too.

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D Schergeschwindigkeit - D _K D-Koordinate des Tangentenschnittpunktes - t _k Knickzeit - s Steigung des geradlinigen Anteils der Fließkurve - scheinbare Viskosität - _m mittlere Viskosität beiD = 10² s^–1 - ₀ Anfangsviskosität, Nullviskosität - Endviskosität - _{N 11} – ₂₂ 1. Normalspannungsdifferenz - G ₀ Ruheschermodul - G ^* komplexer (dynamischer) Schermodul - G Speichermodul - G Verlustmodul - Winkelgeschwindigkeit - Winkel der Phasendifferenz - Kegelwinkel - d Durchmesser von Kegel und Platte des Meßsystems - f Frequenz der vorgegebenen Oszillation - f _n Eigenfrequenz des Torsionskopfes - _IA Amplitude der Eingangsschwingung - _TA Amplitude der Ausgangsschwingung - _I axiale Bewegung der Schneckenwelle - _T Bewegung des Torsionskopfverminderers - [] Grenzviskositätszahl (Staudinger-Index) - v Verhängungszahl - r Korrelationskoeffizient - m Mittelwert - s Standardabweichung - p Signifikanzniveau - n.s. nicht signifikant p > 0,05 Auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 8.–10. Mai 1978.Mit 9 Abbildungen und 8 Tabellen     

Dehnströmungen mit verdünnten Polymerlösungen: Ein theoretisches Modell und seine experimentelle Verifikation

Zusammenfassung Es werden theoretische Überlegungen zusammenfassend dargestellt, welche die Streckung und Ausrichtung von flexiblen Makromolekülen in stationären einfachen Dehnströmungen beschreiben. Die Makromoleküle werden hierbei als EDNE-(endlich dehnbare, nichtlinear elastische) Hanteln modelliert. Für den Fall niedriger bzw. hoher Dehnungsraten werden Dehnviskositätsgleichungen für Strömungen mit verdünnten Polymerlösungen angegeben.Die Arbeit vergleicht die abgeleiteten theoretischen Gleichungen mit experimentellen Ergebnissen, welche für Porenströmungen erhalten wurden; Porenströmungen weisen Dehnströmungen auf. Anhand der durchgeführten experimentellen Untersuchungen, in denen alle die den Druckverlust maßgebend beeinflussenden strömungsmechanischen und physikalisch-chemischen Parameter variiert wurden, kann gezeigt werden, daß sich die aufgezeigten theoretischen Zusammenhänge quantitativ bestätigen lassen.Schlüsselwörter Dehnströmung, Makromolekülmodell, Porenströmung, EDNE-Hantelmodell, Polymerlösung

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Summary The present paper summarizes theoretical considerations regarding the elongation of flexible macromolecules in simple steady elongational flows. The macromolecules are treated as FENE(finite extensible, nonlinear elastic)-dumbbells. Equations for extensional viscosity are given for flows of dilute polymer solutions applicable at low and high elongation rates.The present paper compares the derived theoretical relationships with experimental results. These results were obtained in porous media flows, which exhibit strong elongational rates. It can be shown on the basis of the experimental investigations, that all fluid mechanic and physico-chemical parameters that influence the measured pressure losses responded as predicted by the theory.

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a Mark-Houwink-Exponent - A Avogadro-Konstante - b Verhältnis von Molekülzeitkonstanten - c Polymergewichtskonzentration - d Kugeldurchmesser der Schüttung - D Diffusionskonstante - De Deborahzahl - f Reibungsbeiwert der Porenströmung - F Kraftvektor des Hantelmodells - g Erdbeschleunigung - H Hookesche Federkonstante des Makromoleküls - k Boltzmann-Konstante - k _1,2,3 empirische Konstanten - K Mark-Houwink-Konstante - l ₀ Länge des Monomeren - L Länge des statistischen Fadenelementes - L ₀ Maximallänge des gestreckten Polymermoleküls - L Bezugslänge für den Druckverlust der Porenströmung - m Masse des statistischen Fadenelementes - m ₀ Masse des Monomeren - Molarität - M Molekulargewicht des Polymeren - n Porosität der Kugelschüttung - n ₀ Hantelkonzentration - N Anzahl der statistischen Fadenelemente - p Druckverlust der Porenströmung - P Polymerisationsgrad - R Endpunktabstand des Makromoleküls - R ₀ maximaler Endpunktabstand des gestreckten Moleküls - mittlerer Endpunktabstand des Moleküls - Orientierungsvektor des Hantelmodells - Re Reynoldszahl der Porenströmung - t Zeit - T Temperatur - mittlere Filtergeschwindigkeit der Porenströmung - v Strömungsfeld - Aufweitungsparameter - Bindungswinkel zweier Kohlenstoffatome - Dehnungsrate - Stokesscher Reibungsfaktor - dynamische Viskosität - ^* reduzierte Viskosität - [] Grenzviskositätszahl - Dehnviskosität - ^* reduzierte Dehnviskosität - Widerstandskennzahl der Porenströmung - v kinematische Viskosität - Dichte des Fluids - _H Hookesche Relaxationszeit des EDNE-Hantelmodells - _H,e Hookesche Relaxationszeit des linear elastischen Hantelmodells - _R Relaxationszeit des starren Hantelmodells - _zz , _yy Normalspannungen - Volumenkonzentration - _fl. dimensionsloser Faktor des Strömungsfeldes - ₀ Konstante der Flory-Fox-Gleichung - Verteilungsfunktion des Hantelmodells - _eq. Gleichgewichtsverteilungsfunktion - a aufgeweitet - e effektiv - max maximal - p polymer - s solvent, Lösungsmittel - Theta-Zustand Mit 12 Abbildungen und 2 Tabellen     

Mass transfer effects on flow past a vertical oscillating plate with variable temperature

An exact solution to the flow of a viscous incompressible fluid past an infinite vertical oscillating plate, in the presence of a foreign mass has been derived by the Laplace-transform technique when the plate temperature is linearly varying as time. The velocity profiles are shown on graphs and the numerical values of the skin-friction are listed in a table. It is observed that the skin-friction increases with increasingSc, t orGr but decreases with increasingGm ort, whereSc (the Schmidt number), (frequency),t (time),Gr (the Grashof number) andGm is (the modified Grashof number) andt.

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Einfluß von Stoffübergang auf die Strömung entlang einer senkrechten oszillierenden Platte veränderlicher Temperaturen

Zusammenfassung Mit Hilfe der Laplace-Transformation wird eine exakte Lösung für die Strömung einer zähen, inkompressiblen Flüssigkeit entlang einer unendlich ausgedehnten, senkrechten, oszillierenden Platte gewonnen, wobei die Einwirkung eines Feststoffs Berücksichtigung findet und die Plattentemperatur linear mit der Zeit veränderlich sein soll. Die Geschwindigkeitsprofile sind in Diagrammen dargestellt und die numerischen Werte der Reibungsschubspannung in einer Tabelle. Letztere wächst mit der Schmidt-ZahlSc, der Grashof-ZahlGr und dem Produkt aus Frequenz und Zeitt; sie nimmt ab, wennGm (die modifizierte Grashof-Zahl) undt zunehmen.

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Nomenclature C species concentration in the fluid near the plate - C ^– species concentration in the fluid away from the plate - C _W species concentration at the plate - C _p specific heat at constant pressure - D chemical molecular diffusivity - Gm modified Grashof number - Gr Grashof number - g acceleration due to gravity - K thermal conductivity - P Prandtl number - Sc Schmidt number - T Temperature of the fluid near the plate - T _W temperature of the plate - T temperature of the fluid far away from the plate - t time - u velocity of the fluid in the upward direction - U ₀ amplitude of oscillation - x coordinate axis along the plate in the vertically upward direction - y coordinate axis normal to the plate Greek symbols skin-friction - viscosity - coefficient of volume expansion - ^* coefficient of species expansion - density - frequency     

On the cross-effects of coupled macroscopic transport equations in porous media

In this paper, the derivation of macroscopic transport equations for this cases of simultaneous heat and water, chemical and water or electrical and water fluxes in porous media is presented. Based on themicro-macro passage using the method of homogenization of periodic structures, it is shown that the resulting macroscopic equations reveal zero-valued cross-coupling effects for the case of heat and water transport as well as chemical and water transport. In the case of electrical and water transport, a nonsymmetrical coupling was found.Notations b mobility - c concentration of a chemical - D rate of deformation tensor - D molecular diffusion coefficient - D _ij ^eff macroscopic (or effective) diffusion tensor - electric field - E ₀ initial electric field - k _ij molecular tensor - j, j ^*, current densities - K _ij macroscopic permeability tensor - l characteristic length of the ERV or the periodic cell - L characteristic macroscopic length - L _ijkl coupled flows coefficients - n _i unit outward vector normal to - p pressure - q _t ,q _t ⁺ , heat fluxes - q _c ,q _c ⁺ , chemical fluxes - s specific entropy or the entropy density - S entropy per unit volume - t time variable - t _ij local tensor - T absolute temperature - v _i velocity - V ₀ initial electric potential - V electric potential - x macroscopic (or slow) space variable - y microscopic (or fast) space variable - _i local vectorial field - _i local vectorial field - electric charge density on the solid surface - , bulk and shear viscosities of the fluid - _ij local tensor - _ij local tensor - _i local vector - _ij molecular conductivity tensor - _ij ^eff effective conductivity tensor - homogenization parameter - fluid density - ₀ ion-conductivity of fluid - _ij dielectric tensor - _i ¹ , _i ² , _i ³ local vectors - ⁴ local scalar - _S solid volume in the periodic cell - _L volume of pores in the periodic cell - boundary between _S and _L - ^s rate of entropy production per unit volume - total volume of the periodic cell - _l volume of pores in the cell On leave from the Politechnika Gdanska; ul. Majakowskiego 11/12, 80-952, Gdask, Poland.     

Messung und Berechnung des örtlichen und mittleren Stoffübergangs an stumpf angeströmten Kreisscheiben bei unterschiedlicher Turbulenz

Zusammenfassung In einer vergleichenden Literaturübersicht zu Umströmung, Druck- bzw. Geschwindigkeitsverteilung sowie Wärme- und Stoffübergang werden bislang vorliegende Angaben zu stumpf angeströmten Kreisscheiben und -Zylindern zusammengefaßt. Wenige und zudem divergierende Ergebnisse zum Wärme- und Stoffübergang machen grundlegende experimentelle und theoretische Untersuchungen notwendig, wie sie in [l, 2] für die Eichung von Stoffübergangsmeßmethoden benötigt werden.Unter Einbeziehung des quer angeströmten Kreiszylinders wird gezeigt, daß genaue Angaben zum Wärme- und Stoffübergang bei zwei- wie dreidimensionalen Staupunktströmungen bislang nur über die Messung möglich sind. Über gemessene Geschwindigkeitsverteilungen berechnete Stoffübergangskoeffizienten werden von der Messung nicht bestätigt. Sie liegen gegenüber dem Experiment zu niedrig.Die Messungen wurden bei Turbulenzintensiten 0,8%Tu6%, Reynolds-Zahlen 2·10³5 und Scheibendurchmessern 9,3mmd73,7mm durchgeführt. Der Einfluß der Turbulenz auf den Stoffübergang im Staupunkt von Kreisscheiben kann nur näherungsweise über den Smith-Kuethe-Parameter Tu · Re/100 erfaßt werden. Differenzen zwischen Theorie nach Smith und Kuethe für Tu· Re<5 und Messung lassen sich über die Stabilitätstheorie erklären. Für eine genauere Erfassung des Stoffübergangs muß den unterschiedlichen Transportvorgängen über Turbulenzballen oder Längswirbeln sowie der Struktur der Turbulenz Rechnung getragen werden.

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Measuring and computation of local and average mass transfer to disks in cross flow at different turbulence intensities

The results of different publications concerning the flow, pressure and velocity distributions as well as the heat and mass transfer of disks and cylinders in cross flow are compared by a literature review. A few diverging results for heat and mass transfer require new experimental and theoretical approaches. The calibration of recently developed techniques for the determination of mass transfer rates as published in [1, 2] make these investigations expecially necessary. Including the cylinder in cross flow the authors show, that up to now exact data of heat and mass transfer for two- or three-dimensional flow at a forward stagnation region can be obtained by direct measuring only.Mass transfer coefficients computed from measured velocity distributions are not confirmed by the experimental results. Compared to the experimental data they are too low. The measurements were accomplished for turbulence intensities 0.8%Tu6%, Reynolds-numbers 2· 10³5 and disk diameters 9.3 mm d 73.7 mm.The influence of the turbulence on the stagnation point mass transfer of disks can be obtained only approximately by the Smith-Kuethe-parameter Tu·Re/100. Differences between theoretical results of Smith and Kuethe and experimental ones for Tu·Re/100<5 may be explained by the stability theory. For a more accurate determination of the mass transfer the different transport mechanisms of the scale of turbulence or the tree-dimensional flow pattern like Taylor-Görtler-vortices as well as the structure of the turbulence itself have to be regarded.

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Bezeichnungen a Temperaturleitkoeffizient - C_p Beiwert für den statischen Druck - C₂, C₃ Gradient der bezogenen Geschwindigkeit U⁺ am Staupunkt bei ebener, räumlicher Strömung - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - d Durchmesser - Fr=Sh/Re Frössling-Zahl für den Stoffübergang - Fr=Nu/Re Frössling-Zahl für den Wärmeübergang - Le=a/D_A Lewis-Zahl - L Bezugslänge - M Maschenweite von Turbulenzgittern - Nu=·d/ Nußbelt-Zahl - n Exponent der Prandtl-bzw. Schmidt-Zahl - Pr=/a Prandtl-Zahl - p Druck, Partialdruck - p_x statischer Druck an der Stelle x am Rand der Grenzschicht - Re=U · d/ Reynolds-Zahl - r Radius - r(x) radiale Distanz von der Rotationsachse eines Körpers zu einem Oberflächenelement - Sc=/D_A Schmidt-Zahl - Sh= _A ·d/D_A Sherwood-Zahl - T absolute Temperatur - Tu Turbulenzintensität (Turbulenzgrad) in% - U Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - U Hauptströmungsgeschwindigkeit im freien Kanalquerschnitt - U⁺=U/U bezogene Geschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - u Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung, tangential zur Oberfläche - mittlere turbulente Geschwindig-keitsschwankung in x-Richtung - v Strömungsgeschwindigkeit in y-Richtung, normal zur Oberfläche - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - x_G Entfernung vom Turbulenzgitter in Strömungsrichtung - x⁺ bezogene Länge x/r - y Koordinate normal zur Oberfläche - Wärmeübergangskoeffizient - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - dimensionsloses Temperaturgefälle an der Wand - Keilvariable - Wärmeleitkoeffizient - Wirbelweilenlänge (mm) - kinematische Zähigkeit - transformierte bezogene Länge - _A Partialdichte von Ammoniak Indices B mit Korrektur aufgrund der Verengung - m mittel - S bezogen auf die Kreisscheibe - Z bezogen auf den Kreiszylinder Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Josef Ipfelkofer zum 70. Geburtstag am 7. April 1977 gewidmet.     

Singular integral equations in asymmetric thermoelasticity

Integral representations for the displacement vector, rotation vector and the temperature have been constructed by making use of the three basic singular solutions in asymmetric thermoelasticity. The potentials of a single and double layer have been constructed. The solution of the basic boundary value problems has been reduced to the solution of a system of seven singular integral equations by utilizing the theorems proved on the discontinuities of the double layer potentials and P (stress), M (couple-stress) and /n operators of the single layer potentials.

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Zusammenfassung Unter Benutzung der drei Fundamentallösungen der asymmetrischen Thermoelastizitätstheorie werden Integraldarstellungen für den Verschiebungsvektor, den Rotationsvektor und das Temperaturfeld konstruiert. Es werden die Potentiale der Einfach-und Doppelbelegung angegeben. Die Lösung der Randwertprobleme wird zurückgeführt auf die Lösung eines Systems von sieben singulären Integralgleichungen. Dabei werden Theoreme benutzt, die für die Unstetigkeiten der Doppelbelegungspotentiale sowie die P (Spannungs-), M (Momenten-pannungs-) und /n-Operatoren der Einfachbelegungspotentiale nachgewiesen werden.

     

Theoretische Untersuchung der laminaren Zweistoff-grenzschichtströmung längs eines verdunstenden Flüssigkeitsfilms bei nichtadiabater Verdunstung

Zusammenfassung Zur Klärung der physikalischen Vorgänge im Verdampferteil einer Filmverdampfungsbrennkammer wird in Erweiterung der adiabaten Verdunstung der Fall der einseitig benetzten ebenen Platte behandelt, die sowohl im Gleichals auch im Gegenstrom von der heißen Außenluft umströmt wird. Die für beide Strömungsfälle maßgebenden Grenzschichtgleichungen werden simultan unter Berücksichtigung temperatur- und konzentrationsabhängiger Stoffwerte mit einem impliziten Differenzenverfahren gelöst. Dabei ergeben sich für den Gleichstrom ähnliche Lösungen des gekoppelten Gleichungssystems, die mit den ähnlichen, für die adiabate Verdunstung geltenden Lösungen verglichen werden. Die Berechnung der durch den Stoffübergang beeinflußten Grenzschicht parameter zeigt, daß das Modell der Gegenstromanordnung, bei der sich nichtähnliche Profile entlang der Filmoberfl äche einstellen, für einen möglichen Einsatz in einer Filmverdampfungsbrennkammer am besten geeignet ist.

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Theoretical investigation on the binary laminar boundary-layer flow along a vaporizing liquid layer at non-adiabatic evaporation

For clarification the physical process in the evaporating part of a film-evaporation combustion-chamber in addition to the adiabatic evaporation the case of a one-sided wet plate in co- and counter-current hot air flow is presented. The boundary-layer equations for both streams are solved simultaneously with an implicit finite-difference method taking into account variable fluid properties. Thereby the similar solutions obtained for the co-current flow are compared with the corresponding similar solutions for the case of the adiabatic evaporation. Contrary to the co-current flow the counter-current flow yields non-similar solutions and the computation of the boundary-layer parameters influenced by the evaporation mass-flow shows, that the model of counter-current flow is best suitable for application in a film-evaporation combustion-chamber.

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Bezeichnungen A_j, B_j Abkürzungen in der allg. Differenzen - C_j gleichung (36) - c Massenkonzentration, bezogen auf Gemischmasse - c_f Dimensionsloser örtlicher Reibungsbeiwert - c_p Spezifische Wärmekapazität - D₁₂ Diffusionskoeffizient - h Enthalpie des Gasgemisches - K₁, K₂ Abkürzungen in der Gl. (5) - K₅, K₆ Abkürzungen in der Gl.(22) - L Plattenlänge - M Molmasse - m₁ Massenstromdichte, verdunstende Masse je Flächen- und Zeiteinheit - m^* Dimensionslose Massenstromdichte, Verdunstungsparameter nach Gl.(32) - m^** Örtliche dimensionslose Massenstromdichte nach Gl. (33) - P_Gr Stellvertretende Größe für die Grenzschicht parameter c_f, St_T und St_m nach Gl. (34) - p Statischer Druck (=Summe der Partialdrücke) - p_1w Sättigungsdruck an der Filmoberfläche - q Wärmestromdichte - r Verdampfungsenthalpie - r _1w ^* Dimensionslose Verdampfungsenthalpie nachGl.(25) - u Geschwindigkeit in x-Richtung - v Geschwindigkeit in y-Richtung - x Längskoordinate - ¯x Längskoordinate für den Gegenstrom s. Bild 14 - x_A Wärmeisolierte Anlaufstrecke s. Bild 14 - x^* Dimensionslose Längskoordinate für das Dreipunkt-Differenzenverfahren x^*=x/_s - y Querkoordinate - y^* Normierte Querkoordinate für das Drei punkt-Differenzenverfahren y^*=y/_s - ₁ Dimensionslose Verdrängungsdicke nach Gl.(27) - ₂ Dimensionslose Impulsverlustdicke nach Gl.(28) - _c Konzentrationsgrenzschichtdicke (y-Wert für =0.99) - _s Strömungsgrenzschichtdicke (y-Wert für u/u=0.99) - _T Temperaturgrenzschichtdicke (y-Wert für = 0.99) - _T Dimensionsloser Wandabstand nach Gl.(37) - Normierte absolute Temperatur (= (T – T_w)/(T _{– T w}) - Wärmeleitfähigkeit - Dynamische Zähigkeit - Kinematische Zähigkeit - Dichte - Schubspannung - Allgemeine abhängige Variable (s. Tabelle 1) Normierte Massenkonzentration (=(c₁–c_1w/(c₁–c_1w)) - Nu Nußelt-Zahl (= L(T/yT/y)_w/(T–T_w)) - Pr Prandtl-Zahl (=c_p/) - Re_x Reynolds-Zahl (=ux/) - Re_L Reynolds-Zahl (=uL/) - Re_s Reynolds-Zahl (= u_s/) - Sc Schmidt-Zahl (=/D₁₂) - St_m Stanton-Zahl des Stoffübergangs nach Gl.(31) - St_T Stanton-Zahl des Wärmeübergangs nach Gl.(30) Indizes 0 Bezogen auf Strömung ohne Stoffübergang - 1 Gas 1 (Benzoldampf) - 2 Gas 2 (Luft) - Ungestörter Anströmzustand der Luft - ad Charakteristische Werte des adiabaten Strömungsfalles - Geg Charakteristische Werte des Gegenstroms - Gl Charakteristische Werte des Gleichstroms - j Diskreter Punkt in y-Richtung - k Diskreter Punkt in x-Richtung - w Werte an der Plattenoberfläche - + Werte an der benetzten Plattenoberseite - – Werte an der trockenen Plattenunterseite Auszug aus der von der Fakultät für Maschinenbau und Elektrotechnik der Technischen Universität Braunschweig zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs genehmigten Dissertation über Theoretische Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtströmung längs einer benetzten, ebenen Platte bei nichtadiabater Verdunstung des Diplom-Ingenieurs Klaus Pientka. Berichterstatter: Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E.h. H. Schlichting und Prof. Dr.-Ing. D. Hummel. - Die Dissertation wurde am 14 Juni 1976 bei der Technischen Universität eingereicht. Die mündliche Prüfung fand am 23. November 1976 statt.     

Über den Einfluß von Querkrümmung und Dichte bei inhomogenen turbulenten Freistrahlen

Zusammenfassung Zur Berechnung turbulenter Strömungen wird das k--Modell im Ansatz für die turbulente Scheinzähigkeit erweitert, so daß es den Querkrümmungs- und Dichteeinfluß auf den turbulenten Transportaustausch erfaßt. Die dabei zu bestimmenden Konstanten werden derart festgelegt, daß die bestmögliche Übereinstimmung zwischen Berechnung und Messung erzielt wird. Die numerische Integration der Grenzschichtgleichungen erfolgt unter Verwendung einer Transformation mit dem Differenzenverfahren vom Hermiteschen Typ. Das erweiterte Modell wird auf rotationssymmetrische Freistrahlen veränderlicher Dichte angewendet und zeigt Übereinstimmung zwischen Rechnung und Experiment.

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On the influence of transvers-curvature and density in inhomogeneous turbulent free jets

The prediction of turbulent flows based on the k- model is extended to include the influence of transverse-curvature and density on the turbulent transport mechanisms. The empirical constants involved are adjusted such that the best agreement between predictions and experimental results is obtained. Using a transformation the boundary layer equations are solved numerically by means of a finite difference method of Hermitian type. The extended model is applied to predict the axisymmetric jet with variable density. The results of the calculations are in agreement with measurements.

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Bezeichnungen Wirbelabsorptionskoeffizient - c_i Massenkonzentration der Komponente i - c_D, c_L, c, c₁, c₂ Konstanten des Turbulenzmodells - d Düsendurchmesser - E bezogene Dissipationsrate - f bezogene Stromfunktion - f Korrekturfunktion für die turbulente Scheinzähigkeit - j turbulenter Diffusionsstrom - k Turbulenzenergie - k_i Schrittweite in -Richtung - K dimensionslose Turbulenzenergie - L turbulentes Längenmaß - M_i Molmasse der Komponente i - p Druck - allgemeine Gaskonstante - r Querkoordinate - r_0,5 Halbwertsbreite der Geschwindigkeit - r_0,5c Halbwertsbreite der Konzentration - T Temperatur - u Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung - v Geschwindigkeitskomponente in r-Richtung - x Längskoordinate - y allgemeine Funktion - Y_i diskreter Wert der Funktion y - Relaxationsfaktor für Iteration - turbulente Dissipationsrate - transformierte r-Koordinate - kinematische Zähigkeit - Exponent - transformierte x-Koordinate - Dichte - _k, Konstanten des Turbulenzmodells - Schubspannung - allgemeine Variable - Stromfunktion - Turbulente Transportgröße Indizes 0 Strahlanfang - m auf der Achse - r mit Berücksichtigung der Krümmung - t turbulent - mit Berücksichtigung der Dichte - im Unendlichen - Schwankungswert oder Ableitung einer Funktion - – Mittelwert Herrn Professor Dr.-Ing. R. Günther zum 70. Geburtstag gewidmet     

On the measurement of normal stress differences in steady shear flow

Summary Compared to the similar pressure-distribution cone-and-plate apparatus of Adams and Lodge (4), the new apparatus' improvements include: temperature control of the cone (as well as the plate); increased stiffening of the frame; four (not three) pressuremeasuring holes in the cone/plate region; inclusion of a pressure-measuring hole on the axis under the cone truncation; exclusive use of a vertical free liquid boundary at the cone rim (without a sea of liquid). Temperature control of the rotating cone and of the fixed plate leads to acceptable temperature uniformity in the test liquid for working temperatures within 10°C or 20°C of ambient; the corresponding interval is about 1°C if the cone temperature control is abandoned. Pressure gradients measured using a Newtonian liquid agree with those calculated using Walters' eq. (3). For a viscoelastic liquid, after subtracting inertial contributions, pressure distributions measured at a given shear rate in the cone/plate region do not change when the gap angle is changed from 2° to 3°, showing that the effects of secondary flow are negligible. Values ofN ₃ =N ₁ + 2N ₂ obtained from the gradients of these distributions are believed to be in error by not more than ±1 Pa, in favorable cases. The present most useful ranges are: 10 to 5000 Pa forN ₃; 0.1 to 200 sec^–1 for shear rate; up to 5 Pa s for viscosity; and 5 to 40°C for temperature. As an application, it is shown that adding 0.1% of a high molecular weight polyisobutylene to a 2% polyisobutylene solution doublesN ₃ and has no detectable effect on the viscosity measured at low shear rates with a Ferranti-Shirley viscometer.

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Zusammenfassung Im Vergleich zu dem ähnlichen Kegel-Platte-Gerät von Adams und Lodge (4) zur Messung der Druckverteilung wurden an dem neuen Gerät die folgenden Verbesserungen vorgenommen: Temperaturregelung an Kegel und Platte, Versteifung des Rahmens, vier (anstatt drei) Druckmeßlöcher im Kegel-Platte-Bereich, ein zusätzliches Druckmeßloch auf der Achse unter der Kegelstumpf-Deckfläche, ausschließliche Verwendung einer vertikalen freien Grenzfläche der Flüssigkeit am Kegelrand (ohne umgebenden Flüssigkeitssee). Die Temperaturregelung des rotierenden Kegels und der festen Platte führt zu einer ausreichenden Temperaturgleichförmigkeit in der Testflüssigkeit für Betriebstemperaturen, die höchstens um 10–20°C von der Umgebungstemperatur abweichen. Dieses Intervall beträgt dagegen nur etwa 1°C, wenn auf die Temperaturregelung am Kegel verzichtet wird. Für newtonsche Flüssigkeiten entsprechen die gemessenen Druckgradienten den mittels der Gleichung von Walters (3) berechneten. Für viskoelastische Flüssigkeiten zeigen sich bei der Änderung des Spaltwinkels von 2° auf 3° nach Abzug der Trägheitsbeiträge keine Änderungen der bei einer bestimmten Schergeschwindigkeit gemessenen Druckverteilung. Dies zeigt, daß Sekundärströmungseffekte vernachlässigbar sind. Es darf angenommen werden, daß die Werte vonN ₃ =N ₁ + 2N ₂, die man aus den Gradienten dieser Verteilungen erhält, unter günstigen Umständen mit einem Fehler von nicht mehr als ±1 Pa behaftet sind. Gegenwärtig liegen die günstigsten Bereiche bei 10 bis 5000 Pa fürN ₃, 0,1 bis 200 s^–1 für die Schergeschwindigkeit, unterhalb von 5 Pa s für die Viskosität und 5 bis 40°C für die Temperatur. Als Anwendung wird gezeigt, daß ein Zusatz von 0,1% hochmolekularen Polyisobutylens zu einer 2%igen Polyisobutylenlösung den Wert vonN ₃ verdoppelt, aber keinen erkennbaren Einfluß auf die (bei geringen Schergeschwindigkeiten mit einem Ferranti-Shirley-Viskosimeter gemessen) Viskosität hat.

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udsf unidirectional shear flow - TCP truncated-cone and plate - N ₁,N ₂ 1st and 2nd normal stress differences in udsf - N ₃ N ₁ + 2N ₂ - : = A is defined by the equationA := B - P ^* hole pressurePw – Pm; Pw, Pm = pressures measured by flush transducer and by hole-mounted transducer - t time - , strain rate, shear rate - (P,t) covariant body metric tensor at particleP and timet - ⁱ , _i covariant and contravariant udsf body base vectors (i = 1, 2, 3) - ^–1 inverse of - R, plate radius, cone/plate gap angle - r ₀,h ₀ radius and height of cone truncation - r,, spherical polar coordinates; cone axis = 0; plate surface = /2 - physical components of stress; for a tensile component - cone angular velocity - p on the plate = /2 - ,T, density, absolute temperature, viscosity - P 0.15 ²(r ² –R ²) (inertial contribution) [2.7] - P _ve contribution [2.8] from flow perturbations of viscoelastic origin - r _i i = 1,2,3,4; values ofr at centers of holes in cone/plate region - P _i () pressure change recorded by transducerTi when cone angular velocity goes from zero to - 1/2 {P _i ()+ P _i (–)} (average for 2 senses of rotation) - rim pressure, from least-squares line through four points - Re Reynolds' number:R ²/ - (P,t)/t With 11 figures and 2 tables     

Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Reibungsschicht an axial angeströmten rotierenden Drehkörpern

Zusammenfassung Als Abschluß eines umfangreichen Programmes zur Berechnung der Strömung an angeblasenen rotierenden Rotationskörpern wird der bisher noch fehlende Fall turbulenter Strömung behandelt.Für die Berechnung der Impulsverlustaicken sowie des Drehmomentes konnten einfache Quadraturformeln erhalten werden, die für den laminaren Fall ebenfalls eine recht brauchbare Näherung darstellen. In den Formeln kommen nur die Verteilung des Körperhalbmessers und des Körperhalbmessers und die Geschwindigkeitsverteilung um den Körper vor. Es wird eine Abschätzung zur Bestimmung der Lage des Ablösungspunktes infolge der Drehbewegung des Körpers angegeben.Das Verfahren wurde erprobt an den Beispielen der rotierenden Scheibe, der Kugel, der Rotationsellipsoide und des räumlichen Halbkörpers. In allen Fällen wurde der Momentenbeiwert bei laminarer und turbulenter Strömung berechnet. Allgemein kann man zeigen, daß sich das Drehmoment bei konstant gehaltener Anströmungsgeschwindigkeit linear mit der Umfangsgeschwindigkeit ändert.Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Teil einer von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig angenommenen Habilitationsschrift mit dem Titel Die Strömung um rotierende Drehkörper bei axialer Anströmung dar. (Berichter Prof. Dr. H. Schlichting, Mitberichter Prof. Dr. H. Blenk.) Der erste Teil mit dem Titel Die turbulente Strömung an einer angeblasenen rotierenden Scheibe wird in der Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik erscheinen.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Institut für Strömungsmechanik der T. H. Braunschweig ausgeführt.     

Einfluß von Anströmprofil und Turbulenzintensität auf die Umströmung längsangeströmter Platten endlicher Dicke

Zusammenfassung An längsangeströmten dicken Platten löst sich die Strömung im Bereich des Anströmprofils ab und legt sich nach einer gewissen Entfernung wieder an die Platte an. Dies führt gegenüber der dünnen Platte zu signifikanten Veränderungen von Umströmung, Wärmeübergang und Druckverlust.Die Aussagen zur Umströmung werden aus örtlichen Stoffübergangsmessungen (Sc=0,616) mit Hilfe einer remissionsfotometrischen Stoffübergangsmeßmethode auf der Basis von Absorption, chemischer Reaktion und gekoppelter Farbreaktion gewonnen. Als wesentliche Einflußgrößen auf Umströmung und zugeordneten Stoffübergang sind das Anströmprofil, die Anström-Reynolds-Zahl Re_sB sowie insbesondere die Turbulenzintensität Tu zu nennen. Die Untersuchungen erstrecken sich auf Platten mit Dicken 0,8 mms91, 3 mm mit stumpfem, halbrundem und keilförmigen Anströmprofilen sowie auf längsüberströmte Kreiszylinder mit stumpfem, halbkugelförmigem und kegelförmigen Anströmprofilen. Die mit der Plattendicke s gebildete Re_sB -Zahl wurde in weiten Grenzen 10² < Re_sB < 2 · 10⁵, die Turbulenzintensität zwischen 0,8 Tu 6% variiert.Die Ergebnisse zeigen, daß sich die Umströmung dicker Platten generell in drei Hauptströmungsformen Plattengrenzschicht, Ablöseblase und Querwirbelablösung untergliedern läßt. Der Übergang von einer Strömungsform zur anderen wird durch kritische Re_sB -Zahlen erfaßt und die Abhängigkeit vom Anströmprofil über einen Profilfaktor beschrieben. Bei Ablöseblasen konnten erstmals an Platten Längswirbel nachgewiesen werden mit ihren charakteristischen Auswirkungen auf Umströmung und Stoffübergang.Dicke Platten mit Strömungsablösung lassen sich in drei Abschnitte unterteilen: 1. Profilbereich, 2 Bereich abgelöster Strömung, 3. Plattengrenzschicht ab Wiederanlegen der Strömung. Im Hinblick auf eine Berechnung des örtlichen Stoffübergangs wird die Lage des Stoffübergangsmaximums beim Wiederanlegen der Strömung — als Trennlinie der beiden letzten Plattenabschnitte — unter Einbeziehung der wesentlichen Parameter Anströmprofil, Re_sB-Zahl und Turbulenzintensität erfaßt und als Berechnungsgleichung angegeben.

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The influence of nose section and turbulence intensity on the flow around thick plates in parallel flow

The flow parallel to thick plates separates in the nose section and reattaches on the flat plate after a certain distance. Compared with the thin flat plate the flow separation with reattachement causes significant changes of flow, heat transfer and pressure drop.The informations about the flow are recieved from measurements of local mass transfer coefficients (Sc=0,616), which are fotometrically determined by light-remission. The fundamentals of the measuring technique are based on absorbed ammonia and subsequent chemical reaction with immediate color reaction. The main parameters of flow and related mass transfer are the nose of the plate, the Reynolds-number Re_sB and especially the turbulence intensity Tu. The measurements were accomplished with plates of a thickness 0.8 mm s 91.3 mm of truncated, hemicylindrical and wedge-shaped noses and with cylinders in parallel flow of truncated, hemispherical and conical noses. The Re_sB -number with the plate thickness as characteristic length was varied in a wide range between 10² < Re_sB < 2 · 10⁵, the turbulence intensity Tu between 0,8% Tu 6%.The measured results indicate, that the flow around thick plates may generally be subdivided into three main forms of the flow: boundary layer of flat plate, separation bubble and vortex shedding with reattachement. The critical Reynolds-numbers for the transition of one form to another were determined as a function of the different shapes of noses. For the first time longitudinal vortices can be observed for separation bubbles with significant influence on the flow and on the mass transfer.Thick plates with flow separation and reattachement may be subdivided into three sections: 1. the nose section, 2. the section of separated flow, 3. the section of boundary layer of flat plate downstream of reattachement. For the computation of local mass transfer rates, the position of the maximum mass transfer at the point of reattachement — the dividing line of the 2nd and 3rd section — are determined as a function of the main parameters plate nose, Re_sB -number and turbulence intensity.

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Bezeichnungen d Zylinderdurchmesser - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - K_P Koeffizient in Gl. (7) - K_Tu Koeffizient in Gl. (6) - Re_dB=U_B · d/ Reynolds-Zahl - Re_sB=U_B · s/ Reynolds-@#@ Zahl - Re_skrit1=U_B · s/ Reynolds für den Übergang von Plattengrenzschicht zu Strömungsablösung - Re_skrit2=U_B · s/ Reynolds-Zahl für den Übergang von Ablöseblase zu Querwirbelablösung - Re_xkrit=U_B · x_krit/ Reynolds-Zahl für den Übergang von laminarer zu turbulenter Plattengrenzschicht - s Plattendicke einschließlich Trägerfolie - Sh_s=_A · s/D_A Sherwood-Zahl - Tu Turbulenzintensität in % - U_B Hauptstromgeschwindigkeit im verengten Kanalquerschnitt - U Hauptstromgeschwindigkeit im freien Kanal querschnitt - mittlere turbulente Geschwindigkeitsschwankung in x-Richtung - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - X_P Profillänge des Anströmprofils - x Koordinate in x-Richtung ab Profilende (Plattenbeginn) - x_max' Entfernung von Plattenbeginn bis zum Wiederanlegen der Strömung nach Strömungsablösung (Stoffübergangs-maximum) - x_min Entfernung von Plattenbeginn bis zur Stelle minimalen Stoffübergangs - x^* Koordinate in x-Richtung ab Wiederanlegen der Strömung nach Strömungsablösung - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - _Am mittlerer Stoffübergangskoeffizient - kinematische Zähigkeit Unter dem Titel Einfluß des Anströmprofils auf die Umströmung von Platten endlicher Dicke gekürzt vorgetragen auf der Sitzung des GVC-Fachausschusses Wärme- und Stoffübertragung am 5./6. April 1976 in Schliersee.Herrn Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E.h. Peter Grassmann zum 70. Geburtstag am 13. August 1977.     

Über die Konvergenz eines Iterationsverfahrens der ebenen Elastizitätstheorie

Zusammenfassung und Ausblick Für ein von kubo und Seika I aufgestelltes Iterationsverfahren zur Bestimmung von Spannungen in periodisch nichthomogenen unendlichen Scheiben wurde die Konvergenz nachgewiesen für den Fall, daß die Airysche Spannungsfunktion periodisch ist. kubo und Seika geben an, daß sich dieses Verfahren auch auf Randwertprobleme erweitern läßt. Dies ist ohne Zweifel der Fall für starre Einschlüsse. Zwar ist dann das Kriterium (16) nicht mehr erfüllt; der Konvergenzbeweis läßt sich jedoch mit Hilfe der Überlegungen von II § 4 auch auf diesen Fall ausdehnen. Dagegen wachsen in Löchern und über alle Grenzen, so daß dort F() in (9) seinen Sinn verliert. Für diesen Fall gibt es jedoch ein Iterationsverfahren, dessen Prinzip von Hetényi und Neas für Randwertprobleme angegeben wurde. Es läßt sich auch auf Nichthomogenitätsprobleme erweitern (II, § 3.5); bei diesem Verfahren der sukzessiven Belastung spielen dann die Verschiebungen eine ähnliche Rolle wie die Airysche Spannungsfunktion beim Verfahren von kubo und Seika. Auch Kombinationen beider Verfahren sind denkbar; doch sind für diesen Fall noch einige Einzelheiten zu klären (II, § 1.4, § 3.7–8).     

Dielectric properties of the composite system polyurethane — sodium chloride

Summary The dielectric properties of the composite system polyurethane-sodium chloride have been measured at frequencies between 10^–4 Hz and 3 · 10⁵ Hz in the temperature range from –150 °C up to +90 dgC. Three dielectric loss mechanisms have been found; they are indicated by ₁, ₂ and. The activation energy of the ₁-transition is 35 kcal/mole, that of the-transition 6.7 kcal/mole. The ₂-loss peak was only observed at frequencies of 10³ Hz and higher, forming one broad peak with the ₁-loss peak at lower frequencies. In the composite materials, the- and ₂-loss peaks measured at fixed frequencies were found at the same temperature. The ₂-loss peak, however, was shifted to a lower temperature, due to the sodium chloride filler. Comparison of experimental data of and tan with theoretical predictions concerning the dielectric properties of composite systems showed only partial agreement. The difference mainly consisted in. the temperature shift in the tan-peak of the ₁-transition.

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Zusammenfassung Die dielektrischen Eigenschaften des Verbundssystems Kochsalz-Polyurethankautschuk wurden im Frequenzgebiet zwischen 10^–4 Hz und 3.10⁵ Hz und im Temperaturbereich von –150 °C bis +90 °C gemessen. Es wurden drei dielektrische Verlustmaxima gefunden, die mit ₁, ₂ und angedeutet werden. Die Aktivierungsenergie des ₁-Überganges beträgt 35 kcal/Mol, die des-Überganges 6.7 kcal/Mol. Das ₂-Maximum konnte nur bei Frequenzen höher als 10³Hz vom ₁-Maximum gesondert erfaßt werden. Die Lage der ₂- und-Maxima war vom Füllgrad unabhängig. Das ₁-Maximum verschiebt sich mit steigendem Füllgrad zu niedrigeren Temperaturen. Die gemessenen Werte von und tan stimmen nur teilweise mit den Aussagen einer Theorie der dielektrischen Eigenschaften von Mischkörpern überein.