Sul contatto fra superficie e coniche. Una caratterizzazione differenziale della superficie romana di Steiner

Sunto Data una superficie analitica Σ dello spazio proiettivo ordinario ed un suo punto O, si considera il cono inviluppo K dei piani passanti per O e secanti la superficie Σ secondo curve per le quali O è sestattico. Si dimostra che le uniche superficie analitiche non rigate per cui K è riducibile in ogni punto sono: la superficie romana diSteiner e la sua duale (superficie cubica diC. Segre), e le superficie che sono inviluppate da una famiglia ∞¹ di quadriche, ciascuna delle quali è osculatrice in tutti i punti di una conica. Si tratta poi l’analoga questione per le superficie rigate.     

Sopra gli scorrimenti proiettivi

Sunto. In questo lavoro diamo senza dimostrazioni (i) alcuni risultati di geometria proiettiva differenziale dovuti alla nozione di scorrimento proiettivo che si deve alBortolotti. Si giunge a questi, dando una nuova caratterizzazione di questa nozione, ciò che permette a determinare tutte le superficie che ammettono scorrimenti proiettivi in sè. Caso particolare di queste sono quelle le cui linee diDarboux di un sistema sono pangeodetiche diFubini e che perciò corrispondono ad un problema diE. Bompiani. Si pone poi sotto una nuova luce risultati recenti diLingenberg sulle superficie che ammettono ∞ ¹ collineazioni in sè. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Sulla geometria proiettiva differenziale di una superficie auolonoma nello spazio ordinario

Sunto. Osservazioni, ragguagli, notizie su precedenti lavori concernenti le superficie anolonome e le quadriche diMoutard per esse; ulteriori sviluppi concernenti gli intorni del3 ^o e del4 ^o ordine di un punto su di una superficie anolonoma.     

Sopra un principio di trasformazione integrale dei problemi differenziali ed alcune sue applicazioni

Sunto Sviluppando ampiamente un'idea diWhittaker, si studiano trasformazioni del tipo che mutano le soluzioni di una equazione differenziale lineareL _tx+λM _tx=0, appartenenti ad una classe lineare (G), opportunamente precisata, in soluzioni di una seconda equazione differenzialeP _uy+λQ _uy=0, appartenenti ad un'altra classe lineare (Γ). Il primo problema si suppone autoaggiunto. Il nucleo K è una soluzione dell'equazione (L _t Q _u −M _t P _u)K=0, di classe (G) come funzione di t, di classe (Γ) come funzione di u. Il procedimento permette di stabilire proprietà integrali in base a sole verifiche qualitative; ne vengono fatte applicazioni alle funzioni diMathieue diBessele ai polinomi diLegendree diHermite. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno.     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

Sull'approssimazione dell'integrale di Lebesgue mediante integrali di Riemann

Sunto. In questa Memoria viene assegnata una legge che ad ogni funzione misurabile fa corrispondere una successione di integrali diRiemann convergente verso il relativo integrale diLebesgue.     

Il corpo convesso di Carathéodory

Sunto Si da una topologizzazione di S_∞ che permette di parlare di corpo convesso diCarathéodory in modo sintetico e tale che l'interno corrisponda alle funzioni positive. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno.     

Sulle superficie integrali di due o più equazioni lineari a derivate parziali del 3o ordine

Sunto Questa Memoria trae occasione da una Nota diE. P. Lane sullo stesso argomento. IlLane crede di rilevare manchevolezze in un lavoro dell'A. del 1919 in cui, a seguito di una teoria generale sulle superficie (le coordinate proiettie omogenee dei cui punti sono) integrali di un sistema di equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee, è trattato come esempio il caso indicato nel titolo. L'A. riprende i risultati di quella Nota per mostrare la completezza della classificazione data nel 1919 e porre in rilievo una classe molto generale di superficie soddisfacenti al problema che è sfuggita alLane. IlBowles, allievo delLane, ha aggiunto qualche ulteriore conseguenza geometrica in parte erronea, mentre i risultati esatti corrispondenti sono esplicitamente enunciati nella Nota dell'A. del 1919.     

Condizioni di integrabilità nel campo gravitazionale einsteiniano e moto di una particella di prova

Sunto Si completa una ricerca diInfeld eSchild, nella quale la legge di moto di una particella di prova, rappresentata da una singolarità, viene dedotta dalle equazioni della teoria gravitazionale einsteiniana di puro campo, e risulta una geodetica dello spazio-tempo riemanniano incurvato da altri corpi. Si dimostra precisamente che la legge della geodetica costituisce una condizione di integrabilità non soltanto necessaria, come consegue dalla ricerca precedente, ma anche sufficiente affinchè le equazioni (non tensoriali) che caratterizzano il comportamento di una particella di prova in un riferimento solidale con la particella stessa, siano integrabili in ogni istante, in un intorno della posizione istantanea della particella.     

Metrica hermitiana ellittica in uno spazio proiettivo quaternionale

Riassunto Si definisce e si studia una nozione di distanza nello spazio proiettivo q aternionaleT _n ^Q , la quale si riduce nell'infinitesimo alla meirica riemanniana del modello metrico reale diT _n ^Q assegnato daMartinelli, e subordina le nozioni di distanza diCayley-Klein e diFubini-Study negli spazi proiettivi reale e complessoT _n ^R ,T _n ^C subordinati aT _n ^Q . A M. Enrico Bompiani nel suo giubileo scientifico Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo di ricerca n. 37 del C. N. R.     

A note on the postulation of maximal rank curves

Summary Lets be the lowest degree of a surface containing a maximal rank curveY. We want to compare the dimension of the space of the surfaces of degrees containingY with the dimension of the space of the surfaces of degrees+1. We apply the bound that we find for getting a bound for the third Chern class of a rank-two reflexive sheaf onP _k ³ with seminatural cohomology, thus answering to a conjecture proposed byR. Hartshorne.

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Riassunto Sias il più basso grado di una superficie contenente una curva di rango massimoY. Si vuole confrontare la dimensione dello spazio delle superfici di grados contenentiY con la dimensione dello spazio delle superfici di grados+1. Applichiamo la limitazione trovata per ottenere una limitazione per la terza classe di Chern di un fascio riflessivo di rango 2 suP _k ³ con coomologia seminaturale, rispondendo così ad una congettura posta daR. Hartshorne.

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Résumé Soits le plus petit degré d’une surface contenante une curveY de rang maximum. Nous comparons la dimension de l’espace des surfaces de degrés contenantesY avec la dimension de l’espace des surfaces de degrés+1. Nous appliquons la borne trouvée pour obtenir une borne pour la troisième classe de Chern d’un faisceau réflexif de rang deux surP _k ³ à cohomologie seminaturelle. Ceci répond à une conjecture posée parR. Hartshorne.

     

La risoluzione apiristica delle congruenze cubiche

Sunto. L'A. in una precedente Memoria degli ?Annali ? ha dimostrato che alle congruenze cubiche può assegnarsi la forma normalex ³+ax+a ≡ 0 (mod.p) conp primo, ed ha dato una formula apiristica di risoluzione nel caso che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere quadratico modulop. è ripresa ora la questione e l'A. dimostra che la congruenza proposta può sempre trasformarsi linearmente in un'altra le cui radici non hanno lo stesso carattere quadratico modulop. Nel casop=6h+7, e nell'ipotesi che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere cubico modulop, l'A. trova una nuova formula risolutiva della congruenza. Segue infine l'estensione del procedimento diNewton per la risoluzione approssimata delle equazioni alla risoluzione delle congruenze modulop ⁿ conn>2.     

Sull'equazione di T. Uno ed R. Yokomi

Sunto Si riprende la dimostrazione del teorema di unicità della soluzione periodica dell'equazione diT. Uno edR. Yokomi data in una Memoria precedente per correggere un'inesattezza di calcolo ivi contenuta; si dà poi una seconda dimostrazione di detto teorema basata su di un metodo diverso.     

Applicazione del metodo di Lighthill per la costruzione di flussi transonici retti dall’equazione di Tomotika e Tamada

Sunto L’A. indica come il metodo diLighthill per la costruzione di flussi transonici attorno ad ostacoli cilindrici in corrente uniforme all’infinito subsonica si possa applicare quando si faccia uso dell’equazione diTomotika eTamada per definire il flusso; questo metodo è molto utile quando è prescritta la forma dell’ostacolo, e quando la prora di questo è qualsiasi e la poppa non é a cuspide, casi in cui il procedimento ordinariamente seguito cade in difetto. Viene prima ottenuta una nuova espressione di un integrale particolare dell’ equazione diTomotika eTamada, e sono studiate le proprietà che l’integrale stesso presenta: fra l’altro è mostrato come questo possa esprimersi per mezzo di una serie assolutamente convergente comoda per le applicazioni numeriche, perchè ogni termine di essa contiene solo funzioni di cui esistono estese tabelle. Per questa ragione i risultati che qui si ottengono conservano il vantaggio della maggiore semplicità rispetto a quelli deducibili considerando come equazione del flusso quella diChaplygin. è mostrata infine l’applicazione del procedimento esposto alla deduzione del campo transonico attorno ad un ostacolo ? quasi circolare ?. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Geometria degli spazi a connessione affine

Sunto Analisi critica e ricostruzione per via puramente geometrica delle nozioni di spazio affine osculatore, di spazio affine integrale, di coordinate normali in una varietà a connessione affine. Determinazione di una connessione (a curvatura e torsione nulla) determinata da un punto della varietà e dalla connessione assegnata; conseguente costruzione geometrica deitensori normali e delleestensioni olonome diVeblen eThomas e di quelle anolonome diBortolotti.     

Distribuzione di mantisse e serie di potenze non prolungabili

Sunto Si prende in esame un criterio sufficiente diJ. Gergen eD. V. Widder, atto a garantire la non-prolungabilità di una serie di potenze fuori della circonferenza di convergenza, e se ne fornisce una generalizzazione, stabilendo due nuovi criteri sufficienti: ci si vale di un teorema diH. Weyl sulla distribuzione delle mantisse e di un teorema diE. Fabry - G. Pólya sulle serie di potenze non prolungabili.     

Sull'esistenza di punti uniti nelle trasformazioni univoche e continue del cerchio

Sunto. In una recente Memoria(1),G. Scorza Dragoni ha dato criteri per l'esistenza di punti uniti in trasformazioni topologiche del cerchio e, per alcuni di questi criteri, ha accennato(2), indicando la linea direttiva della dimostrazione, ad una possible estensione al caso di trasformazioni univoche e continue, che subordinino una trasformazione topologica fra il contorno del cerchio e la sua immagine. In questa Nota sviluppo in tutti i dettagli le deduzioni relative al V) criterio(3) della citata Memoria diScorza Dragoni.     

Sulla rappresentazione asintotica delle funzioni di Bessel di uguale ordine ed argomento

Sunto Partendo da una rappresentazione integrale delle funzioni diHankel H _v ⁽¹⁾ (v) e H _v ⁽²⁾ (v) e facendo uso della teoria delle serie inviluppanti diJ. G. van der Corput si perviene ad uno sviluppo asintotico delle funzioni diBessel J_v(v) e Y_v(v) e si valuta il termine complementare di tale sviluppo.

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Summary From an integral rapresentation of theHankel functions H _v ⁽¹⁾ (v) and H _v ⁽²⁾ (v) and by usingvan der Corput's theory of enveloping series we obtain an asymptotic expansion forBessel functions J_v(v) and Y_v(v). An upper bound for the error term is also obtained.