浅谈函数、方程、不等式之间的联系

<正>函数、方程和不等式是初中数学的主要内容,也是中考的必考知识点.新课程标准把此三部分的关系提到了十分明朗化的程度,因此,初中教学应该重视这三部分内容.总的来说,函数主线下的方程、不等式,本质上就是将研究方程、不等式这个局部的问题放在函数的整体性质中把握,将求方程根及研究根之间关系、求不等式解集这些静态的结果放在动态的变化过程中研究.即函数主线下的方程、不等式是整体与局部的关系,方程是函数的"点状态",不等式是函数的"区间状态",函数是"连续状态",函数统领方程和不等式.     

函数观点下的解方程或解不等式问题

<正>我们知道,函数、方程、不等式问题是中学数学代数中非常重要的内容,它们三者彼此之间联系密切、相互渗透,用函数观点来思考方程或不等式问题便成了一种行之有效的思路.本文正是基于这种想法,把平时遇到的看似较难的方程或不等式问题,通过构造函数来处理,结果发现其过程很简单.     

2014年自主招生试题中的不等式问题赏析

不等式是中学数学的重要内容,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具,因而是高中数学竞赛和自主招生考查的重点知识.自主招生中的不等式试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力,其中一些试题的综合性较强,内容涉及到函数、方程、数列、三角、解析几何、向量、复数、线性规划、实际问题等．不等式的概念和性质是进行不等式的变换、证明不等式的依据．在证明不等式时，也要注意均值、柯西不等式、琴生不等式等重要不等式的灵活运用．     

函数与方程思想在三角问题中的应用

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,将问题中的条件转化为数学模型:方程、不等式或方程与不等式的混合组,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.函数与方程犹如亲兄弟,彼此身上存在对方的影子,两者互相转化接轨,形成了函数与方程思想.本文将用函数与方程思想来解决三角函数的证明求值问题.     

一道期末试题的背景揭示与破解研究

以拉格朗日乘数法为背景命制的二元最值问题历来是高考和竞赛考查的热点问题.试题一般是函数、方程与不等式知识的综合应用,难度较大.消参减元转化是解决这类问题的基本原则,初等解法可从方程有解,函数最值(三角代换或导数),不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式),几何直观等途径寻找解题突破口,解法灵动多变,妙趣横生.     

不等式

1　本单元重、难点分析不等式是研究数学问题的重要工具 ,是培养推理论证能力的重要内容 .它渗透在高中数学的各个部分 ,特别是与函数、数列、复数、三角有着密切的联系 .它又是数学思想的载体 ,突出体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等重要思想 ,因此本单元既是教学重点 ,又是高考的热点 .不等式的六个基本性质定理及四个推论是不等式其它性质的基础 ,又是证明不等式和解不等式的依据 ,因此它是本单元的一个重点 .不等式的证明是本单元的主要内容 ,因此证明不等式的常用方法 (比较法、综合法和分析法 )是本单元的第二个重点 …     

2014年自主招生试题中的不等式问题赏析

<正>不等式是中学数学的重要内容,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具,因而是高中数学竞赛和自主招生考查的重点知识.自主招生中的不等式试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力,其中一些试题的综合性较强,内容涉及到函数、方程、数列、三角、解析几何、向     

例谈高中数学恒成立问题的解题策略

恒成立问题几乎是数学高考中必考的知识点,因为它涉及到一次函数、二次函数等函数的图像与性质,渗透了换元、化归、数形结合、函数方程与不等式的关系等数学思想与方法,综合了函数、方程、不等式、数列、导数等诸多知识点.有利于考查同学们的综合能力,具有较高的信度与区分度,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.     

2006年全国各地高考与模拟数学试卷评析——不等式

不等式作为工具知识,渗透在中学数学各个分支中,诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题最终都可归结为不等式的求解或证明.由于不等式知识的工具性,并综合了多种数学思想(等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程),使得不等式极其容易与其他知识点融合交汇,符合考试大纲中“对数学能力的考察要以数学基础知识、数学思想方法为基础”的要求,容易考查学生分析解决问题的综合能力,因而不等式一直是高考命题的…     

构造法解三角题的赏析

三角函数作为高中数学的重要内容之一,因其内涵深刻、题型丰富,加之覆盖面广、方法灵活,它不仅是初、高等数学的重要衔接点,更是考查学生逻辑思维能力和推理运算能力的重要考点．在解决相关的三角函数问题中,若能恰当地构造与之匹配的函数、不等式及方程等,进而利用函数、不等式的性质以及方程的思想求解,将会起到出奇制胜的功效．本文旨在用构造法求解与三角函数相关问题做一肤浅的归纳,与读者共享．     

重方法，求效益：活用函数与方程思想

函数与方程思想是四大数学思想之一,也是高考中的重要考点之一.在解决一些非函数与方程问题时,借助函数或方程的转化,将不等式、数列、三角函数、平面向量、解析几何与立体几何等相关问题转化为对应的函数或方程问题,实现化归与转化,进而利用函数或方程来分析与求解,引领并指导复习备考.     

2012年中考专题复习(14)——函数、一次函数、反比例函数

函数是数形结合的重要体现,是每年中考必考的内容,重点考查函数思想和数形结合的思想,学生的阅读理解能力,收集处理信息的能力以及综合应用知识解决实际问题的能力.其中函数的概念、性质、图象类试题,多以填空题、选择题和解答题的形式出现,函数与方程、不等式的关系常以解答题的形式考查,在实际     

例谈高中数学恒成立问题的解题策略

<正>恒成立问题几乎是数学高考中必考的知识点,因为它涉及到一次函数、二次函数等函数的图像与性质,渗透了换元、化归、数形结合、函数方程与不等式的关系等数学思想与方法,综合了函数、方程、不等式、数列、导数等诸多知识点.有利于考查同学们的综合能力,具有较高的信度与区分度,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.     

2002年全国各地高考数学模拟试题新题评析——不等式

不等式是研究数学问题的重要工具 ,是培养推理论证能力的重要内容 ,它渗透在高中数学的各个部分 ,尤其是与函数、数列、复数、三角有着密切的联系 .不等式是数学思想的载体 ,突出体现了等价转化 ,函数与方程 ,分类讨论 ,数形结合等数学思想 .因此 ,在各地模拟试卷及历届高考中 ,不等式都是考查的重点 ,经常在知识网络交汇点进行命题 ,用来考察学生综合掌握知识的程度和灵活运用知识的能力 .通常选择题、填空题各一道 ,解答题 1～ 2道 ,1996年至 2 0 0 2年 7年的高考试卷 (理科 )与不等式有关的试题分值累计均在 5 0分以上 ,2 0 0 2年的理科…     

不等式高考试题分析与教学策略分析

高中数学由众多内容组成,其中不等式是高中数学的重要组成部分.学生对不等式的学习从初中就开始了,掌握了不等式的基本性质和解法,为学生在高中进一步学习不等式知识打下了基础.此外,现实生活中蕴含着丰富的不等式知识,随处可见不等式在生活中的应用.如今,不等式在数学高考中更是占据了重要的位置,同时与函数、方程、三角等高中数学知识联系紧密.分析     

破解不等式恒成立问题的十大策略

含参不等式恒成立问题一直是每年高考和联赛的热点问题,长盛不衰.由于这类问题常常在知识网络交汇点处设置,渗透着函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等重要数学思想,能有效检测学生对数学思想方法的领悟程度和综合、灵活运用知识的能力.因此,各类考试往往将其作为考查学生分析、解决问题能力和创新意识的重要题型.本文结合典例探讨破解不等式恒成立问题的化归策略及运用技巧,供参考.     

用区域图形解题

在解线性规划问题中,由约束条件作出相应平面区域,进而求出目标函数最优解.其中,作出平面区域是重要的一步,由于平面区域是由不等式(组)、方程来表示的,所以它与函数、不等式、方程等有着密切联系.用平面区域来解决有关问题,尤其是含二个变量及可转化为二个变量的问题,会有独特的作用.下面举几个例子.     

一类推广的具有时滞的Pachpatte离散不等式及其应用

不仅把Pachpatte的离散不等式推广成时滞不等式,而且把不等式中的常数项推广成连续的正函数.推广后的不等式不仅包含了更多项,且不要求函数的单调性.利用单调化技巧给出了不等式中未知函数的估计.最后用得到的结果研究时滞差分方程初值问题解的唯一性与有界性.     

例析范围问题的解题策略——从两道绍兴市调测题说起

范围问题是高中数学的一类重要而典型的问题.其主要呈现形式为:求变量或代数式的范围,求函数值域或最值等,涉及函数、不等式、解析几何、导数等重点数学内容和方程思想、函数思想、化归思想、数形结合思想等重要数学思想,能较好地考查学生的数学知识和数学能力,因此,常常出现在各种考试之中.解决范围问题主要策略有:转化为函数值域问题求解、利用基本不等式求解、视作“规划型问题”求解等.笔者拟从两道绍兴市调测题的评析说起,论述高中数学范围问题的解题策略.     

例谈二次函数探索型问题的思维策略

二次函数探索型问题是一类重要问题,常见于各类试卷的压轴题中.它以函数不等式、方程知识为载体,融推理、证明、探索于一体,综合性强,是教与学的难点.而新颁布的普通高中<数学课程标准>指出:"结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系",同时又强调:"通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系".显然,新标准把二次函数摆在了更重要的位置,并突出了三个"二次"之间的联系,对思维能力的要求提高了.因此有必要对这类问题作一些探讨.