“谋定而后动”的解题策略——求解二次函数解析式中系数a的取值范围

<正>世间万物均处于不断变化之中,不变的是规律和本质.二次函数解析式中系数a的正负决定抛物线开口方向,a>0,开口向上;a<0,开口向下;a的绝对值决定抛物线开口大小,|a|越大,抛物线开口越小.求解a的取值范围问题要利用极端、临界的状态为"突破口",使"运动"转化为"确定",从而分散问题的难点使问题获得解决.     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

关于二次函数

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ (ａ≠ 0 )的函数被称为二次函数 .这里的ａ非常重要 ,决定着二次函数的特征 .首先 ,ａ≠ 0 ,也就是说当ａ =0时 ,它就不是二次函数 ,如果你要用二次函数的性质解决问题 ,你就得对ａ≠ 0作出判定或者给出限定 ,也就是分类讨论 .其次 ,ａ的符号决定着函数图象———抛物线的开口方向 ,从而决定着函数的单调性和凸凹性 .其三 ,|ａ|的大小决定着抛物线开口的大小 ,|ａ|越大时 ,抛物线的开口越小 .不论ｂ ,ｃ为何值 ,只要 |ａ|相等 ,所有抛物线都是全等的 .再看ｂ ,ｃ的作用 .ｂ ,ｃ与ａ一起 ,决定抛物线的位置 ,抛物线…     

动态二次图数y=ax2+bx+c顶点运动规律

在研究二次函数y=ax2+bx+c图象时,我们往往强调二次项系数a确定抛物线的开口大小和方向,-b/2a的值确定抛物线的对称轴x=-b/2a的位置,常数项c确定抛物线与y轴的交点(0,c)的位置,而抛物线的顶点(-b/2a,4ac-b2/4a)位置由a,b,c共同确定.     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

怎样学习二次函数的图象

函数的图象在函数这部分内容中占有重要的地位 .在初中学习的几种函数中 ,二次函数的图象是相对比较复杂的 ,图象的特征主要是以下几个方面 :开口方向 ,对称轴的位置 ,顶点坐标 ,与x轴的交点情况 ,与y轴的交点情况等等 ,这些特征与二次函数的系数有着密切的关系 .在二次函数y=ax2 +bx+c(a≠ 0 )中 ,系数a ,b ,c与图象的关系分别是 :①a决定图象的开口方向 .当a >0时 ,图象的开口方向向上 ;当a <0时 ,图象的开口方向向下 .②由对称轴为x=- b2a知 :b与a确定对称轴的位置 .③当x =0时 ,y =c,抛物线与y轴必相交 ,交点为( 0 ,c) ,c也称为抛物线在…     

二次函数的极值

极值指极大值或极小值 ,也称为最大值或最小值 .二次函数一般式y=ax2 +bx +c(a≠ 0 )的极值有极大值或极小值 .当a >0时 ,二次函数的图象开口向上 (如图① ) ,图象上有最低点C ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有极小值 ,即y =4ac-b24a ;当a <0时 ,二次函数的图象开口向下 (如图② ) ,图象上有最高点F ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标为 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有最大值 ,即y =4ac-b24a .二次函数的极值与a ,b ,c的值有关 .极值的大小就是抛物线顶点的纵坐标的值 .若给出二次函数的顶点式 :y=a(x-h) 2 +k,抛物线的顶点…     

多种方法确定二次函数表达式

我们知道,根据已知条件确定二次函数表达式有三种表达式可供选择:(1)一般表达式:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0);(2)顶点表达式:y=a(x-h)2+k,其中顶点为(h,k),a≠0;(3)交点表达式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2是抛物线与x轴两交点横坐标).     

圆锥曲线的一个最值问题

在圆锥曲线的学习中 ,我们遇到了如下的最值问题 :抛物线x2 =2 y上离点A(0 ,a)最近的点恰好是顶点 ,则a的取值范围是 (　　 )(A)a≤ 0 .　　　 (B)a≤ 12 .(C)a≤ 1. (D)a≤ 2 .通过探究 ,同学们得到了如下几种不同的解法 .解法 1　 (二次函数最值法 )设P(x ,y)为抛物线x2 =2 y上的任意一点 ,则 |PA|2 =x2 +(y -a) 2=2 y +(y -a) 2 =y2 - 2 (a - 1) y +a2 =[y - (a -1) ]2 +2a - 1(y≥ 0 ) .当a >1时 ,a - 1>0 ,y =a - 1时 ,|PA|2 min=2a - 1;当a≤ 1时 ,a - 1≤ 0 ,y =0时 ,|PA|2 min=a2 ,此时P点为抛物线的顶点 .　　故当a≤ 1时 ,…     

如何平移二次函数的图像

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移的实质是图像形状大小、开口方向不变,位置发生变化.即系数a不变,顶点移动,所以在平移二次函数图像时一般把二次函数一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x+m)2+k的形式,并抓住常数a、m、k与平移的关系.1.系数a与抛物线的平移无关,在平移过     

用待定系数法求二次函数的解析式

二次函数的图象和性质这一节是初中生感到困难的内容之一,而用待定系数法求其解析式又更复杂一些,通常对一般二次函数有以下三种不同的表达形式: 一般式y=ax~2+bx+c(a≠0) 顶点式y=a(x+k)~2+k (a≠0) 交点式y=a(x-x_1)(x-x_2) (a≠0) 其中抛物线的顶点为(-k,h)x_1,x_2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标,每一种形式     

名校基础知识自测

一、选择题1.在整式 -3y2 ,bc,2 +x ,2ab25 ,0 ,-y ,6x2-2x + 1中 ,是单项式的个数为 (　　 ) .(A) 3　 (B) 4　 (C) 5　 (D) 62 .单项式 -13a2 b7的系数和次数分别是(　　 ) .(A) -13 ,2　　　　　 (B) -13 ,3(C) -137,2 (D) -137,33 .-(a2 -b3+c4 )去括号后为 (　　 ) .(A) -a2 -b3+c4 　　 (B) -a2 +b3+c4(C) -a2 -b3-c4 　　 (D) -a2 +b3-c44.将整式 2a -(a -a2 )去括号 ,合并同类项后 ,得到的正确结果是 (　　 ) .(A)a -a2 (B)a +a2(C) 2 -a2 (D) 2 +a25 .若a <0 ,ab <0 ,计算 |b -a + 1| -|a -b-5 |的结果为 (　　 ) .(A) 4(B…     

Existence of multiple solutions for a fractional p-Laplacian system with concave-convex term

In this article, we study the existence of multiple solutions for the following system driven by a nonlocal integro-differential operator with zero Dirichlet boundary conditions{(-?)_p~su = a(x)|u|~(q-2) u +2α/α + βc(x)|u|~(α-2) u|v|~β, in ?,(-?)_p~sv = b(x)|v|~(q-2) v +2β/α + βc(x)|u|α|v|~(β-2) v, in ?,u = v = 0, in Rn\?,(0.1) where Ω is a smooth bounded domain in Rn, n ps with s ∈(0,1) fixed, a(x), b(x), c(x) ≥ 0 and a(x),b(x),c(x) ∈L∞(Ω), 1 q p and α,β 1 satisfy pα + βp*,p* =np/n-ps.By Nehari manifold and fibering maps with proper conditions, we obtain the multiplicity of solutions to problem(0.1).?????     

单位球上不同Bergman空间之间小Hankel算子的本性模

本文利用指标φ的Berezin变换给出了小Hankel算子hφ:Ap(B)→Aq(B)(1 p∞,1q∞,p q)的本性模估计C1lim sup|a|→1-|Vφ(a)|∥hφ∥e,Ap(B)→Aq(B)C2lim sup|a|→1-|Vφ(a)|,∫其中Vφ(a)=∫B{k2(1+1/p-1/q)(w,a)1}/K1+1/p-1/q(a,a)φ(w)dν(w),C1和C2是常数.作为应用,本文给出了此类算子有界当且仅当supa∈B|Vφ(a)|∞,而此类算子是紧的当且仅当lim sup|a|→1-|Vφ(a)|=0.     

二次函数极值公式的一个应用

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),经过配方整理后得: y=a(x+b/2a)~2+(4ac-b~2)/4a 这个公式叫二次函数的极值公式。把这个公式稍加变形得: y=a〔(x+(b/2a))~2+(4ac~2-b~2)/4a~2〕=a〔(x+(b/2a))~2-(b~2-4ac)/4a~2〕。这个变形后的公式,不仅可以求二次函数的极大值或极小值,而且还可以用来求抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)在x轴上所截得的线段的长度。定理:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x_1,0)、B(x_2,0),(x_1≠x_2)则抛物线在x轴上所截得的线段长为:     

等比定理的前提不可疏忽

众所周知等比定理是这样的:a/b=c/d=…=m/n,若b+d+…+n≠0(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b。其中条件b+d+…+n≠0极为重要。在b+d+…+n=0时就不能使用上述的等比定理。例如:已知a/b=b/c=c/d=d/a,求(a+b+c+d)/(a+b+c-d)的值。如果盲目套用等比定理,将得到其值为2:     

再谈“两相交直线所成角的平分线方程”

本刊 2 0 0 3年第 8期中 ,金亮同学的结论是 :当两相交直线的斜率之积为± 1时 ,两直线方程相加减即得两直线所成角的平分线方程 .我经研究后发现 ,该结论的表达不准确 ,这从金亮同学的证明中可以看出 ,应改为 :两相交直线ax +by +c1 =0与bx±ay +c2 =0 ( |a|≠ |b| ,a≠ 0 ,b≠ 0 )的方程相加减即得两直线所成角的平方线方程 .因为a2 +b2 =b2 + (±a) 2 ,本人可将此结论推广如下 .推广　当两相交直线l1 ∶a1 x +b1 y +c1 =0 ,l2 ∶a2 x +b2 y +c2 =0 (a1 b2 ≠a2 b1 ) ,满足a21 +b21 =a22 +b22 时 ,两直线方程相加减可得 .证明设 (x ,y)为…     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

课外练习

初一年级1.已知a +b =1a+ 1b≠ 0 ,试求出 (ab) 2 0 0 3 的值 .( )2 .设A△B =AB +A +B ,如 2△ 3 =2× 3 + 2+ 3 =11.(1)求 [(1△ 9)△ 9]△ 9;(2 )求 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9)3 .观察下列图形 :根据①、②、③图的规律 ,图④中三角形的个数是多少 ?初二年级1.已知a,b ,c为整数 ,且满足a2 +b2 +c2 =1,a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b) =-3 ,求a+b +c的值2 .如图 ,八个点处各写一个数字 ,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数 ,则代数式a +b +c +d -12 (e + f +g +h)a +b +c +d -13 (e + f +g +h)的值…