关于15×15的巧算的拓展

<正>《中学生数学》2013年8月(下)刊登了题为"关于15×15的巧算"的文章,文中给出了末位是5的正整数自身相乘的巧算方法:A5×A5=100A(A+1)+25(其中A是一个正整数).下面将这一巧算方法进行拓展,供同学们赏析.     

个位数与完全平方数

一、个位数正整数幂的个位数与其底数的个位有周期关系,下面我们先介绍其周期性及一些相关的性质. 性质1 和的个位数是诸加项个位数字之和的个位数字. 性质2 积的个位数是诸因数个位数字之积的个位数字. 定理1 对任一自然数,其任意正整数次幂的末三位数保持不变的充要条件是该数的末三位数是000,001。376,625之一. 定理2 由所给自然数m的末位数判定mn的末三位数取000,001,376,625的规律如下表:     

数字、数字和及算术和

(一)数字和及算术和 在十进位制的数中,有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字。由这十个数字可以写出任意一个正整数。 在正整数中,一个数的数字和就是这个数的各位数字相加所得的结果。比如47283的数字和为4 7     

加拿大1991年数学奥林匹克试题及解答

1 试题1.1 证明方程x~2+y~5=z~3有无穷多个整数解x,y,z,其中 xyz≠0。1.2 设n是固定的正整数,求出满足下述性质的所有正整数的和:在二进位制的数字表示中,正好是由2n个数字组成,其中有n个1以及n     

一道竞赛题的两种解法

本文介绍2005年全国高中数学联赛江西赛区预赛试题第15题的两种解法，供读者欣赏． 2005年全国高中数学联赛江西赛区面赛第15题为： 试求最小的正整数n，使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和为7的倍数．     

世界数学奥林匹克竞赛试题选

1 (俄罗斯1999年数学奥林匹克竞赛)是否存在19个不同的正整数使得它们的和是1999而且每个数的数字之和是相等的?     

一个数谜问题的破解技巧

<正>如图1,十个小圆圈摆成一个正三角形,每个小圆圈内都有"春暖花开"之中的一个汉字,请找到四个正整数分别填入图中的十个位置,使十个正整数的平方和恰为2019.这是一个饶有趣味的数字谜,表面看,4个未知数只给一个数字关系2019,有些迷茫,无从下手.注意到隐蔽的条件,四个正整数的个数分     

关于"渐升数"的有关问题

题目　渐升数 (如 346 89)是指在正整数中每个数字都比其左边的数字大的正整数 .已知共有 12 6个五位“渐升数”,若把这些数按从小到大的顺序排列 ,则第 10 0个五位渐升数为　　 .要求解这个题目 ,必须解决好以下几个方面问题 .第一 ,理解“渐升数”这个概念 .如五位渐升数 346 89,是指从 1、2、3、4、5、6、7、8、9这 9个数字中 ,取出 3、4、6、8、9这五个数字 ,组成一个五位正整数 ,并使得其中每个右边的数字都比其左边的数字大 ,即 346 89为五位渐升数 .再如 5 6 789是最大的五位渐升数 ,12 345是最小的五位渐升数 ,4 5 6 789是最大的六…     

两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

一种特殊的正整方幂数

试写出一个n(n≥2为正整数)位数,它等于该数的n位数字之和的n次方.这样的数存在吗?如果存在,它有多少?我们仔细分析,从关键词下手.某数的n次方是一个n位数,此其一;n位数字之和的n次方,恰好是这个n位数,此其二.一个正整数的n次方是一个n位数,首先这个数必须是一个个位位数;又2~n,3~n(n≥2的正整数)不可能如此.因此,我们只考虑正整数K,且3相似文献   

数学问题解答

１９９８年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１５６求（１９９８１９９８）１９９８的末位四个数字．解：∵２５００＝（２１０）５０＝１０２４５０＝（１０２４２）２５≡８５７６２５≡（８５７６２）１２×８５７６≡７７７６１２×８５７６≡（７７７６２...     

数表问题解法的反思

题目 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是____.     

一道高一复赛题的启示与猜想

例1（2013年北京市高一数学复赛第三大题第二小题）记a=12＋22＋…＋20132,证明：a可写成2012个不同的正整数的平方和（参见“中等数学”2014·2第19页）     

一道数学竞赛题的探究

2009年全国高中数学联赛一试第一项填空第7小题：一个由若干数字组成的数表，从第二行起每行中的每个数都等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，     

由“n~5-n”所想到的

3~(100)是几位数?它的末位数字是多少?末两位数字又是多少? 对于3~(100)是几位数,通过对数运算易知,它是一个48位数。至于它的末位数字,十位数字是多少,推到更一般n~k(n,k∈N)的个位数字是多少,十位数字又是多少,那就稍微困难一些,本文就来探讨这个问题。为此,我们先来证明: 定理1 n~5-n能被10整除。(n∈N) 证明:∵n~5-n=n(n~4-1)=n(n+1)(n-1)(n~2+1)     

智慧窗

1汉字换数(1)欢庆五一劳动节在下面的等式中,德才兼备四个字所代表的四个数的个位数字分别为4、5、6、7,劳动光荣四个字所代表的四个数的个位数字分别为3、4、5、6,请选择恰当的正整数把它们替换下     

一道2013年全国初中联赛题的两种另解

<正>中学生数学(初中版)2013年5月刊登了《2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案》一文,其中第4个选择题系一道不定方程题,并给出了参考答案.笔者读后,想出另外两种解法,故写此文和大家分享如下:题目(2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试第4题)不定方程3x²+7xy-2x-5y-17=0的全部正整数解(x,y)的组数     

从一则游戏趣谈正整数的一种分类

引言 我们先来做个数学数字游戏,游戏规则：令一个整数等于前一个正整数的各位上数字平方的和,任给你一个正整数,譬如2,你很快得出下一个数是4;如果让你继续游戏8次呢？数4按这个游戏规则进行8次后,仍是4,过程见图1;如果让你继续游戏9次、10次、…、100次…呢？你也不难算出结果吧．换个数又会怎么样？     

奇偶性分析的应用(待续)

简单的奇偶性分析,常是求解各种问题的一个强有力的而且具有广泛应用的手段。下面分几个方面讨论。一.末位数问题在本节的讨论中,约定各字母都是自然数不再声明。设a∈N,记a的末位数为G(a),显然,G(a)是一个定义在N上的函数,关于G(a)有以下简单性质: 1)和的末位数等于各加项末位数之和的末位数即G(a+b)=G〔G(a)+G(b)〕 2)积的末位数等于各因子末位数之积的末位     

连续正整数按塔形排列趣题赏析

把从1开始的连续正整数按照塔形排列即是上小(数字个数少)、下大(数字个数按照某种规律逐渐增多)规律摆放,探究第若干个数字对应的有序数对,即是第几行,第几列(m,n)的形式,此类问题常见于部分省市的中考试题,以及各类数学竞赛试题,下面列举几