例析与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题,是有一定的解题规律和技巧可遵循的.在分析、解决时,要特别注意灵活运用转化思想和数形结合的方法,使问题得以巧妙解决.题型一、过圆内某定点的直线被圆截得的弦长的最值问题由平几易知,弦最短过圆心和定点的直线垂直于弦;弦最长弦通过圆心.     

求动圆圆心轨迹的规律性解法

动圆指圆心和半径都在动的圆，在我们常见的有关求动圆圆心的轨迹题中，这儿种条件是经常出现的：1)过定点；2)与定直线相切；3)与定直线相交所得弦长为定值l:4)与定圆相切(包括外切和内切)。     

对一道直线与圆问题的分析及思考

直线和圆的基础知识只是解决问题的基本元素.怎样把这些基本元素紧密结合起来,去解决更深奥的问题,这才是学习数学的根本目的.例如:圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0 上,且在x轴的下方,x轴被圆C截得的弦长为2√5.(1)求圆C的力程.(2)是否存在以斜率为1的直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.     

2023年全国乙卷理科第20题的多解探究、背景溯源及结论推广

<正>定点问题是圆锥曲线的常考点,其中最常见的类型是某条直线过定点,如相交弦过定点、切点弦过定点、某线段中点为定点等类型,解决定点问题的常规思路是采用参数法设而不求,通过一系列的代换、转化和运算求得其定点坐标．下面我们以2023年全国乙卷理科第20题为研究对象,     

一堂数学习题课的意外收获

本人在一堂直线和圆的习题课中,选了一道题是:⊙O′过定点A(0,a)(a>0),在x轴上截得弦长|MN|为2a, (1)求⊙O′的圆心的轨迹方程; (2)设|AM|=m,|AN|=n,求m/n+n/m的最     

与圆有关的最值问题

<正>与圆有关的最值问题大多由动点而产生,找出动点(相应动线)的某个特殊位置,常常能确定最值.2014年各地的中考试题有些将圆的知识与最值问题综合起来考查,我们可以采取"谋定而后动"的策略,通过考察"特殊位置"来解题.1.通过定点与圆心连线与圆的交点求出定点到圆上动点距离之最值     

过圆内点最短的弦

<正>在学习圆的基本知识时,其中一个基本概念就是"弦"——连结圆上任意两点的线段.在圆中最长的弦是直径,没有最短的弦,如果经过圆内固定的一点(不是圆心),必然可以将这个点与圆心相连找到一条直径(最长的弦),那过这个固定的点有没有最短的弦呢?通过实际作图可以发现经过这个点且与直径垂直的弦是最短的弦,下面就来解释一下     

谈谈“垂径定理”的学习

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的...     

已知一条渐近线与一个焦点能唯一确定双曲线吗？

笔者在高考复习中发现江苏省 1 997年普通高等学校单独招生考试数学试题的最后一题 ,即第 2 5题是一道病题 .原题是这样的 :已知圆 C:x2 y2 - 1 0 x =0 ,过原点的直线l被圆 C所截得的弦长为 8,求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐进线的双曲线方程 .根据题意 ,过原点的直线 l被圆 C所截得的弦长为 8,这样的直线 l有两条 y =34x与 y =- 34x,到底以哪一条为渐近线呢 ,还是以这两条为渐近线呢 ?这里原题只说求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐近线的双曲线方程 .依题意 ,渐近线 l的选择可以任取一条 .这里就有这样一个问题 ;以一个点为焦点…     

一道圆与抛物线综合题目的求解与探究

一、题目的求解 题目1 动圆D过定点A（O,2）,圆心D在抛物线x^2=4y上运动,MN为圆D在x轴上截得的弦．当圆心D运动时,记｜AM｜=m,｜AN｜=n,求n/m＋m/n的最大值．     

最长弦与最短弦问题

考查经过圆内一点的最长弦与最短弦,尤其最短弦具有的性质是高中数学中的一类重要问题,在近年来的高考及各类数学考试中该类问题频繁出现.试总结如下:这里先给出一个常用结论:性质1设圆O的半径为R,M为圆内不同于圆心O的一定点,设OM=m(0相似文献   

一道高考压轴题引发的圆锥曲线定点问题探究

圆锥曲线中的定点问题是高考常见考点,本文从一道高考题入手,研究过圆锥曲线上一点作张角为直角所对的弦,证明弦所在直线过定点,得出圆锥曲线定点的一组性质.     

巧用点在曲线内

解析几何中涉及到动直线与二次曲线相交问题 ,若能利用点在曲线内部求解 ,常能使问题化繁为易 ,迎刃而解 .以下举几例说明 .例 1　已知圆Ｃ :ｘ2 + ｙ2 - 2ｘ - 4ｙ - 2 0=0 ,直线ｌ:( 2ｍ + 1 )ｘ + (ｍ + 1 ) ｙ - 7ｍ -4=0 ,求证 :无论ｍ取何实数 ,直线ｌ与圆Ｃ恒相交 .分析 :判断直线与圆的位置关系 ,通常运用判别式或比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 .这样运算量往往很大 ,若能确定动直线所过的定点在圆内 ,就能解 .证明　圆Ｃ :(ｘ - 1 ) 2 + ( ｙ - 2 ) 2 =2 5,易求直线ｌ过定点Ｐ( 3,1 ) ,且 ( 3- 1 ) 2 + ( 1- 2 ) 2 =5<2 5.即…     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质,引起了笔者的注意.文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线,那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢?经证明,答案是肯定的.定理1椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0),过直线mx ny=1上在椭圆外的     

“圆”来如此

<正>在解决直线形问题时,适当添加辅助圆,为圆的丰富性质的使用创造条件,常能使问题获得简解或巧解.下面举例加以说明.一、过共端点的等长线段的另一端点作圆当已知条件中存在共端点的等长线段时,以公共端点为圆心,等长线段为半径作圆,可以沟通圆心角、圆周角、弦、弧等的联系,使问     

抛物线上弦过定点问题的研究

<正>在学习抛物线的过程中,我们经常会看到抛物线与定点同时出现,其实这里边有很多有意思的结论.在这里我们主要讨论抛物线上弦过定点的问题.问题1过抛物线y2=2px的顶点O(O为坐标原点)作两条互相垂直的弦OA、OB,直线AB是否过定点?若过定点,求出此点的坐标?分析直线AB过定点,从直观上来看,     

曲线上一动点到两定点距离之和的最值

运用多种方法,求所给直线、圆、椭圆上一动点到两定点距离之和的最值,以及求椭圆上一动点到一焦点与椭圆内(外)一定点距离之和的最值.     

透过斜率数交点

直线与圆锥曲线的位置关系这一节内容包含直线与圆锥曲线的公共点、曲线截直线所得弦长、弦中点问题,这些内容繁复但可以很好地体现数学思想方法,既是重点又是难点.现对过定点的直线与双曲线的交点情形进行分析.设直线l的方程为y=kx m过定点M(x0,y0),双曲线的方程为xa22-by22=1     

对一道竞赛题的探究与推广

<正>2016年福建省高一数学竞赛15题是:如图1,圆O的圆心在坐标原点,过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A、B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被圆O截得的线段长为■.(1)求圆O的方程;(2)在平面直角坐标系xOy内,是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA|/|PA|=恒成|QB|/|PB|立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.本题(2)问是一道以圆为背景的定点问