巧用数形结合解导数中的参数问题

笔者在导数一章的教学中,时常碰到学生问到解参数问题．有时问题解决起来很复杂、很麻烦．数形结合思想是高中数学学习的一种重要思想,也是高中生比较难掌握的一种解题思想．有时利用数形结合可使问题简单明了,本文谈谈利用数形结合思想巧解导数中的参数问题,与读者共同探讨．     

数形结合思想热点应用举例

所谓数形结合思想,简而言之就是代数问题几何化、几何问题代数化,充分利用图形的直观性和代数推理的合理性、严密性研究问题.数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合是历届高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要方面,其方法的关键是根据题设条件和探求目标,联想或构造出一个恰当的图形,利用图形探求解题途径.对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答题要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图像、方程表示的曲线、集合中的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何中的力程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.下面举例说明数形结合思想的热点应用.     

解决导数问题的重要策略——转化思想的应用

函数是高中数学的主干内容,高中数学的函数问题内容多而繁,性质复杂且比较抽象,因而很多同学对函数知识的考查极为畏惧,转化是解决导数问题的重要策略,特别是对于难度比较大的导数问题,更加彰显了转化思想的强大功能,下面谈谈转化思想如何在导数解题中实现难点的突破.一、数与形的转化有些问题中给出的是"形"的条件,而有些问题中给出的是"数"的条件,联想到形与数的密切联系,可以把问题的形与数结合起来考虑,实施转化,从而降低原命题的难度,使得问题得以解决.     

应用数形结合时应注意其等价性

数形结合是中学数学中重要的数学思想方法 ,是一种极富数学特点的信息转换 ,利用数形结合可将代数与几何问题相互迁移 .但是 ,在具体实施数形结合时 ,我们常常是由“形”迁移到“数”,或由“数”迁移到“形”.二者间的迁移 ,多为观察或构造 ,有时并未进行严格的逻辑推理 ,因而就可能会造成数形不等价 ,从而就会造成错觉性的解题失误或片面性的疏漏 .一般来说 ,数形结合的不等价有如下几种情况 :1　数转形时直观不准例 1　如图 1 ,方程 ax =logax (0   

用数形结合研究方程解的问题

利用数形结合思想方法研究方程解的问题,是数形结合中比较常见的题型,也是近几年高考中常考的一种题型.在利用数形结合思想方法研究方程解的问     

数形结合思想在中学数学的应用

数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法,它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.本文从两个方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用.     

含单参数的导函数符号问题

利用导数证明不等式或求参数范围问题是近几年高考的一种热点题型,而解这类问题的真正难点是判断或讨论含单参数导函数的符号问题,本文结合具体实例阐述解这类问题的四种途径,仅供参考．     

不等式问题中数形结合思想的妙用

数形结合是高中数学中重要的思想方法之一,利用数形结合的方法有时可以快速寻找到解题思路,本文就数形结合的方法求解与不等式相关的问题,举例分析.     

数形结合解决含参零点问题——以近两年浙江各地市模拟题为例

导数大题通常作为高考的压轴题,含参的零点(极值点)问题是考试的热点、学生的难点.本研究以一道模考题为例,通过比较,发现直接法和变量分离法分类多且计算复杂,因此可利用半分离数形结合法巧解参数的范围(值).     

二次函数零点分布之数形结合法

<正>引言数形结合,分离参数已成为我们解决二次函数零点问题的一般方法,数形结合在解简单的问题时效果明显,但是遇到讨论复杂问题时往往"黯然失色",同时学生也很想应用此法解题,所以经常出现讨论混乱、重复、遗漏等情况,所以急需规范数形结合方法讨论的一般过程.再者,如果能对在开或闭区间中有零点问题弄清楚,则零点的个数问题也不攻自破.故本文想解决的问题是利用数形结合法时,怎样讨论才可以做到不重不漏.关键词数形结合;函数零点;二次函数.     

突破参数不等式问题的策略

<正>高考中导数大题往往以含参数的不等式恒成立、有解等形式出现,最终走向求解参数取值范围问题.而其问题核心往往是函数、方程、不等式之间的相互转化^[1],而解决以上问题通常有三种策略,即:"带参讨论"、"参变分离"、"数形结合",这三种策略在解决含参问题中又各自有着不同的优势.本文仅从两道高考试题的三种不同解法出发,阐述总结了"三策     

利用数形结合过程中的易误警示——作图不准致误

数形结合思想是中学数学重要的思想方法之一，可以通过“以形助数”、“以数赋形”使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，体现了转化的思想、化归的思想，有助于把握数学问题的本质．但是，在利用数形结合思想过程中，如果作图不准确或数与形不吻合，则会导致致命的错误．这学期我们已经进入高三的总复习，近阶段主要复习的是函数及导数的内容，     

浅谈2011年高考题中出现的数形结合

数形结合思想是一种很重要的数学思想.数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面,把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数’”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来.在使用的过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识,因此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系;在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系.特别是集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点,就要用数形结合形象化,高考在选择题、填空题侧重考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证的严密性,突出形到数的转化.下面谈谈数形结合思想在2011年高考中的体现.     

借助几何直观,处理解三角形问题

回归解三角形问题的平面几何本质;借助平面几何图形的直观分析;利用数形结合思想来处理一些相关的解三角形问题,是处理解三角形问题的一个很好的技巧方法.本文基于解三角形中平面几何图形直观的几类常见类型,结合实例加以剖析,总结解题归纳与技巧,以期引领并指导数学教学与解题研究.     

运用数形思想 巧解数学问题

数形结合思想能把抽象的知识、数量关系与直观的图形以及位置关系结合起来,通过"由形化数"或"由数化形",进行"数形转换",可以将复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到巧解数学问题的目的.下面,笔者结合自己教学实践经验,谈几点对运用数形结合思想,巧解     

从一幅“三基图”谈角平分线和平行线

数形结合思想是解决数学问题时常用的方法,通常是将数和形有效结合起来,有时也将数量关系和图形性质结合起来,从而达到相互转化、降低解题难度和将问题具体化的目的.根据角平分线、平行线知识的结合命制的初中数学问题,基本上能利用数形结合思想分析和解决.这类问题在中考中出现的概率非常高,且是以课本上的“三基图”为基础的变式.下面对此类问题的考查方式和解决方法进行分析和说明,以期帮助学生进行更系统的复习.     

换一个角度来处理一元二次方程整数解问题

问题一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a、b、c至少有一个含有参数),求当参数为何整数时,关于x的方程有整数解.此类问题,常规思路是:求出满足△=b2-4ac是一个完全平方数时参数的值,再代入求根公式,使x满足整数;或者利用韦达定理来解.这种解法有时带来很麻烦的计算,甚至有时陷入困境.本文试图从另一个角度来谈这一类问题的解法.其思想方法是转化为不定方程的整数解,这样能体现出抓住问题的本质,使其更快、更简便、更准确地解决问题.下面将介绍几种常用的处理这一类问题的具体方法.     

在“函数零点”教学中发展学生的数形结合思想

数形结合思想是把抽象的数学语言和直观的图形结合起来,通过数与形之间的对应与转化来解决问题的一种思想,包含以数解形与以形助数两个方面.运用数形结合思想解题,可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,既有数的严谨,又具形的直观,是优化解题的重要途径之一,也是一种基本的数学思想方法.     

用数形结合思想解高考题

数形结合就是根据数与形之间的对应关系,通过抽象思维与形象思维的结合来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想从"数""形"两个方面对数学问题进行分析,既注重"数"的严谨性,又充分发挥"形"的直观性."以形助数,以数解形",使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的,正如华罗庚教授所说:"数缺形时少直观,形少数时难入微,二者结合百般好,隔离分家万事休".数形结合思想是高中数学中非常重要的数学思想,也是高考的热点和重点内容.     

数形结合解题的几个常见误区

数与形是初等数学的两大研究对象,数形结合是高中阶段一种很重要的数学思想方法．形是数的翅膀,数是形的灵魂,正可谓“数缺形时少直观,形少数时难人微”．恰当的应用数形结合可以使问题得以高质高效的解决。但同时数形结合也是柄解题的双刃剑．学生往往在数与形转换过程中,稍有不慎,就会步人数形结合解题的误区．