一道高中数学联赛预赛题的探究

<正>例题(2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛第5题)已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为__.这是一道构思精巧,新颖别致,给人带来美的享受的试题,就像一个透明光亮的球体内有一个鲜活的四面体在游动,它的体积随着四面体的位置变化而变化.学生得分很低,据调查做对的同学也多是猜对的,这个问题真的那     

一道联赛预赛题的通法求解

赛题（2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛题第5题）已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为___。     

高考的直觉与直觉思维——基于2010年高考大纲全国卷理12题的思考

2010年高考大纲全国卷理12题:已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四个点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积最大值为     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

（2011年高中数学联赛第六题）在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知：四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

<正>(2011年高中数学联赛第六题)在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知:四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,对直角三角形     

四面体

四面体是最简单的多面体,它具有很多类似于三角形的性质:1.四面体都有外接球和内切球,且R≥3r,其中R为外接球半径,r为内切球半径.2.四面体的体积V=13S全·r,其中S全表示四个面的面积之和,r为内切球半径.3.若四面体的四条高分别为h1,h2,h3,h4,内切球半径为r,则1r=1h1 1h2 1h3 1h     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.1等腰四面体的外接球三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体.设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=24a2 b2 c2.特别地,当a=b=c时,棱长为a的正四面体的外接球半径为R=46a.例1(2003年…     

应用长方体模型解决四面体问题

<正>四面体是常见的空间几何体,以其为载体的试题形式多样,需要我们具备较强的空间想像力.如果我们能将与四面体有关的问题,关联到长(正)方体中,则可以将问题简化.一、侧棱两两垂直的四面体转化长(正)方体例题1在三棱锥A-BCD中AB、AC、AD三条侧棱两两垂直,AB=1,AC=2,AD=3.求三棱锥A-BCD外接球的半径.     

四面体的一种补形方法及其应用

如图1,从长方体中砍下一个角,可以得到直角四面体PABC.反之,对于直角四面体,我们可以将它补成长方体用以解题,这是立体几何中已经司空见惯的一种补形解法.本文介绍对于一般四面体都适用的另一种补形解法.如图2,从平行六面体中砍下四个角,可以得到四面体ABCD.反之,我们可以将四面体补成图2所示的平行六面体来解决一些问题.下举数例,予以说明.图1长方体图2平行六面体例1(2003年全国高中数学联赛题)在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与CD的距离为2,夹角为3π,则四面体ABCD的体积等于()(A)23.(B)21.(C)31.(D)33.图3例1图图4例1图解…     

解等腰四面体的简易方法

等腰四面体就是三对棱分别相等的四面体.竞赛中常会出现关于等腰四面体的问题,通过把等腰四面体补全为立(长)方体,我们就会有“山重水复疑图1无路,柳暗花明又一村”的感觉.例1(2000年全国高中数学联赛题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是.     

关于四面体的两个不等式

本文将给出关于四面体的两个不等式与其证明。定理一若α_i(i=1,2,……,6)、R、r与α_t′(i=1,2,……6)、R′、r′分别表示四面体ABCD与四面体A′B′C′D′的6条棱长和外接球半径、内切球半径,则成立不等式: 144rr′≤sun from i=1 to 6 α_(?)α_(?)′≤16RR′其中左边等号成立的充分必要条件为:两个四面体均为正四面体;右边等号成立的充分必要条件为:两个四面体对应棱长成比例且每一四面体的三对对棱相等。定理二若m_i、h_i(i=1,2,……,6)、R、r与m_i′、h_i′(i=1,2,……,6),R′、r′分别表示四面体ABCD和四面体A′B′C′D′的四条中线、四条高和外接球半径、内切球半径,则成立不等式:     

也谈特殊四面体的性质

本刊文 [1 ]介绍了三条棱两两互相垂直的四面体的三个特殊性质 ,读后颇受启发 .此类四面体又称直角四面体或毕达哥拉斯四面体 ,在立体几何的位置类似直角三角形在平面几何的位置 .本文再介绍一些性质 ,以飨读者 .性质 1　若四面体中两两互相垂直的三条棱长分别为a ,b ,c,则直角四面体外接球半径R =a2 +b2 +c22 .证　以两两互相垂直的三条棱为依托 ,将直角四面体补成长方体 ,显然长方体对角线即外接球的直径 ,故半径R =a2 +b2 +c22 .性质 2　若两两互相垂直的三条棱长分别为a ,b ,c,则直角四面体内切球半径r = abcab +bc+ca +a2 b2 +b2 c2 +…     

R3中四面体的Bonnesen型等周不等式

该文主要研究R3中四面体的Bonnesen型与逆Bonnesen型等周不等式.对于R3中给定的四面体,利用其表面积、体积、内切球半径及外接球半径之间的关系,构造出两个重要的几何不等式,得到了四面体的一些Bonnesen型等周不等式与等周不等式的新的简单证明.更进一步地,通过讨论四面体等周亏格的上界估计,获得了两个用内切...     

两个高考题的别解思考

问题1(2010全国卷12题)已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为A.2√3/3 B.4√3/3 C.2√3 D.8√3/3问题2(2009全国卷10题)已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在面α,β内,P到β的距离为√3,Q到α的距离为2√3,则P,Q两点的距离的最小值为A.√2 B.2 C.2√3 D.4这两个立体几何问题,都是求最值,学生的得分很低,做对的学生也多是猜对的,那么这两个问题真的就那么难吗?究竟是哪里出了问题?难在什么地方?为什么这么多学生都不会做?     

对一道质检试题的思考

1.真题呈现2020年福建省高三毕业班质量检查测试文科第12题(即选择题压轴题)得分率较低,原题如下:题1已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=3,AA1=4.过点A且与直线CD平行的平面α将长方体分成两部分,现同时将两个球分别放入这两部分几何体内,则在平面α变化的过程中,这两个球的半径之和的最大值为().     

四面体的一个体积公式及其两个推论

四面体——这种最简单的几何体,其体积的计算公式有各种不同的形式。通常的的几何教材中,采用V=1/3sh,即将四面体的体积等于底面积与高的积的三分之一。本文借助这个公式,导出四面体的另一个体积公式,并推出两个推论,以及它们的应用。一,四面体的体积公式     

四面体内接四面体的一个结论

笔者在文 [1]中给出了棱在面上的内接四面体体积与原四面体体积之间一个关系 ,本文给出顶点在面上的一个非常优美的结论 .定理　四面体A BCD中 ,E ,F ,G ,H分别在棱AB ,BC ,CD ,DA上 ,且 AEEB=λ1,BFFC=λ2 ,CGGD=λ3,DHHA=λ4 .又BH∩DE =I ,BG∩DF =L ,AG∩CH=J ,AF∩CE =K .则内接四面体ILKJ的体积VILKJ= 1+λ1λ2 λ3λ4 +λ21λ22 λ23λ24 (1+λ1+λ1λ2 ) (1+λ2 +λ2 λ3) (1+λ3+λ3λ4 ) (1+λ4 +λ4 λ1) VABCD.图 1　四面体分析　如图 1,要求出内接四面体ILKJ的体积与原四面体体积的关系 ,只需计算…     

四面体体积的一个不等式

四面体体积的一个不等式孔令恩（山东枣庄三十中２７７１００）《数学通报》１９８４，１２载文（见［１］），提到杨路先生早些时候研究的不等式“，其中Ｐ为四面体的六棱之积，Ｒ为外接球半径，Ｖ是体积，”本文将给出此不等式的一个下限．定理设四面体的体积为Ｖ，外接...     

新题征展(54)

A　题组新编1 .反比例函数 y =kx( k >0 )的图象是双曲线 ,则其渐近线方程是 ;对称轴方程是 ,顶点坐标是 ;离心率是;焦点坐标是 ;准线方程是.2 .( 1 )在三棱锥 V -ABC中 ,VA⊥底面 ABC,∠ ABC =90°若 VA =1 ,AB =2 ,BC =3,则三棱锥外接球的半径为.( 2 )棱长为 2的正四面体外接球的体积为 ;( 3)在正三棱锥 S- ABC中 ,M,N分别为棱 SC,BC的中点 ,并且 AM⊥ MN ,若 SA= 2 3,则正三棱锥 S - ABC的外接球的表面积为 .B　藏题新掘3.在平面直角坐标系中 ,x轴负半轴上有5个点 ,y轴正半轴上有 3个点 ,将 x轴上的 5个点与 y轴上的 3个…     

触“类(比)”旁通 从“会”到“透”

(2012上海高考理-14)如图1,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 分析:观察题中的AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,类比椭圆定义,易知BC线段是“椭球”面上与焦点连线所在的轴垂直的动线段,当BC线段位于“椭球”短轴所在的截面圆时,体积最大. 解:由已知,B、C在分别是以A、D为焦点,长轴长为2a的两个椭圆上(如图2),过点B作BM上AD,垂足为M,连接MC,由AD⊥BC,AD⊥MB,知AD上平面BMC,进而AD上MC,设BM=x,由椭圆的对称性知BM=CM=x,此时,四面体ABCD的体积V=1/3S△MBC·AD=1/3×1/2×2×√x2-1×2c=2c√a2-c2-1/3(0＜x≤／a2-c2).