对一道赛题的探讨

2012年浙江省高中数学竞赛预赛第19题为如下的一个解析几何问题：设P为椭圆x^2/25＋y^2/16=1长轴上的一个动点,过P点引斜率为k的直线交椭圆于A、B两点.若｜PA｜2＋｜PB｜2的值仅依赖于k而与P无关,求k的值.     

直线参数方程的应用

试题（2012年浙江省高中数学竞赛试卷第19题）设P为椭圆x2/25＋y2/16=1长轴上一个动点，过P点斜率为k直线交椭圆于A，B两点．若｜PA｜2＋｜PB｜2的值仅依赖于k而与P无关，求k的值．     

一道浙江竞赛题的研究

题目 设P为椭圆x^2/25＋y^2/16=1长轴上一个动点，过点P斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．若｜PA｜^2＋｜PB｜^2的值仅仅依赖于k而与P无关，求k的值．     

一道高考试题的类比探究与题源探究

1原题呈现试题如图1,过坐标原点的直线交椭圆x2/4+y2/2=1于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.求证:对任意k＞0,均有PA⊥PB(2011年高考江苏卷理科第18题的第三小题).     

平几性质给力“圆”题展现风采——几道椭圆问题的“圆”理揭示

1。问题与困惑 引例 已知点P（1,2/3）,为椭圆4/x2＋3/y2=1上一点,过点P作直线PA,PB交椭圆于A,B两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,则直线AB的斜率是否为定值,若是,求出该定值,不是,请说明理由。     

2013年高考江西卷理科第20题的推广

2013年高考江西卷理科第20题为：如图1,椭圆C：x2/a2＋经过y2/b2=1（a〉b〉0）点P（1,3）,离心率1e=,直线l的方程为x=4.22（1）求椭圆C的方程;（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问：是否存在常数λ,使得k1＋k2=λk3？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.将该题推广可得：     

综合题新编选登

题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

过定点且与线段相交的直线斜率问题

求过定点且与定段相交的直线斜率问题 ,是高中数学教学的一个难点 ,本文将就这类问题归纳总结 ,以达到化难为易的目的 .实例 :已知直线l过定点P(x0 ,y0 ) ,且与定线段AB相交 ,其中A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,求直线l的斜率k的取值范围 ?先考虑直线PA、PB斜率均存在的情况 .设PA、PB的斜率分别为k1 ,k2 不妨设k1 相似文献   

2011年高考江苏卷第18题的推广与探源

真题再现 如图1,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆x2/4+y2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.     

圆锥曲线顶点定值子弦的性质

1顶点定值子弦的含义设点P是某圆锥曲线的一个顶点,PA,PB是该曲线过顶点P的两条弦,当直线PA,PB的斜率的积为定值λ时,称线段AB为该曲线顶点P的关于定值λ的斜率等积子弦;当直线PA,PB的斜率     

对一道高考题的思考

题目：（2011年江苏18）如图1,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆x^2/4＋y^2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作-T轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．     

椭圆的长点与长线

<正>命题已知A、B分别为椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右顶点,点M (m,0)(异于椭圆中心和长轴的端点),直线l:x=a~2/m.(1)若过点M的直线交椭圆于C、D两点,直线AC与直线BD交于点P,则点P在定直线l上;(2)若点P直线l上,直线PA、PB分别交椭圆于点C、D,则直线CD过定点M.     

椭圆竞赛题的解法赏析与推广

<正>题目(2018年全国高中数学联赛江苏复赛)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆M:x²、6+y2、6+y²、3=1,过点P(2,2)作直线l_1,l_2与椭圆M分别交于A,B和C,D,且直线l_1,l_2的斜率互为相反数.(1)证明:PA·PB=PC·PD;(2)记直线AC,BD的斜率分别为k_1,k_2,     

构造图形求一类函数的最值问题

对于形如y=√x2+b1x+c1±√x2+b2x+c2的函数,可以联想直角坐标系内两点间距离公式,利用三角形三边长的关系来求最小(大)值.例如,为求函数y=√x2-2x+2+√x2-12x+40的最小值,先配方成y=√(x-1)2+(0-1)2+√(x-6)2+ (0-2)2,再设定点A(1,1),B(6,2),A'(1,-1)及x轴上动点P(x,0),那么y=|PA+|PB|;因为|PA|+| PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,所以当点P恰和A'B与x轴交点Q重合时,|PA|+|PB|最小等于|A'B|,即x=8/3时y取最小值√34(如图1所示);而当x→∞时y→+∞,所以y没有最大值.     

2011年高考江苏卷18题的解法探析与推广

2011年高考江苏卷第18题为：考题如图1，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x^2/4＋y^2/2=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作z轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．     

转换法求|PA|+|PB|最小值

<正>解析几何中有一类求|PA|+|PB|最小值问题,用距离公式直接求解比较复杂,本文介绍两种常见转换方法.经过转换后,再利用"两点间线段最短"或"点到直线垂线段最短"来解决问题.一、动点过直线,对称转换例1动点P在直线l:y=2x-5上,点A(1,2),点B(2,4),求|PA|+|PB|最小值.解B关于直线l的对称点B′(6,2),     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

综合题新编选登

题191已知椭圆x24 34y2=1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点,满足PA·PB=0,2|PA|=|PB|.1)求点P的坐标;2)若椭圆上存在两点C,D(异于A,B)且(PC|PC|) PD|PD|)·OA=0,问是否存在实数λ使得AB=λCD,说明理由.解1)如图1,由题意知△OPA是以P为直角顶点的等腰三角形,设P(x,y)则x24 34y     

椭圆与双曲线的两个统一性质

由于椭圆与双曲线具有统一的定义,所以二者具有很多统一的性质,本文给出这两种曲线的两个统一性质.定理1已知椭圆x2a2 y2b2=1的左,右顶点分别为A1,A2,已知直线l:x=t(|t|≠a,t≠0),P为l上一动点(P不在椭圆上),直线PA1与椭圆交于另一点M,直线PA2与椭圆交于另一点N,则MN与x轴交于定点.证直线PA2,PA1的斜率分别为k1,k2.联立b2x2 a2y2-a2b2=0,y=k1(x-a),(b2 a2k12)x2-2a3k12x a4k12-a2b2=0.解得xN=a(a2k12-b2)a2k12 b2,yN=-2ab2k1a2k12 b2(1)联立b2x2 a2y2-a2b2=0,y=k2(x a),解得xM=-a(a2k22-b2)a2k22 b2,yM=2ab2k2a2k22 b2(2)直线MN的…     

对一道高考试题的探究

一、题目 （2011年江苏高考卷第18题）如图1,在平面直角坐标系．rOy中,M、N分别是椭圆x^2/4＋y^2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k．