一题五解

题目已知a,b为非负数,M=a4＋b4,a＋b=1,求M的最值.这是2006年清华大学自主招生考试中出现的题目.它有两个特征：（1）题目结构精巧,形式简洁清晰,立意新颖;（2）解题入口宽,能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下面笔者从解题方法的角度进行研究、评析.     

一道联赛题的另解

<正>题目(2015年全国初中数学联赛第二试(B)试题)若正数a,b满足ab=1,求M=1/(1+a)+1/(1+2b)的最小值.解因为a,b是正数,所以M=1/(1+a)+1/(1+2b)>0.由已知条件,得方程组{ab=1,M=1/(1+a)+1/(1+2b)     

整体法解题举例

<正>整体法是将问题视为一个完整的整体,把着眼点放在问题的整体结构上,从整体上把握解题的方法.应用整体法解题,能使不少常规思路难以解决的问题找到简便的解法.例1已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3,求(a+1)(b+1)(c+1)的值.解由ab+a+b=3,得(a+1)(b+1)=4.同理可得(b+1)(c+1)=4,(c+1)(a+1)=4.     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

一道习题的启示

题目椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于M、N两点,且OM⊥ON,则必有1/a2+1/b2=2.下面给出一种比较简单的证法.证明不妨设M(r1cosθ.r1sinθ),N(r2cos(θ+π/2),r2sin(θ+π/2)),则由M、N在椭     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

诡辩一则--对数值是存在还是不存在

题目　已知实数 a、b满足 a + b =- 1 0 0 ,ab=1 ,问 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值存在吗 ?若存在求出值来 ,若不存在请说明理由 .解　 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值均存在 .lga2b+ lgb2a =lg( a2b .b2a) =lg( ab)=| lg1 | =0 ,或　 lga2b+ lgb2a =lga2 - lgb + lgb2 - lga=2 lga - lgb + 2 lgb - lga =lga + lgb =lg( ab) =0 .lg( 1a + 1b) =12 lg( 1a + 1b) 2 =12 lg( a + bab ) 2 =12 lg1 0 0 2 =12 × 4 =2 .诡辩揭密由已知条件 a+ b=- 1 0 0 <0 ,ab=1 >0可知 :实数 a、b均为负数 .从而　 a2b<0 ,b2a <0 ,1a + 1b <0 ,所以 lga2b+…     

2004年高考数学模拟训练试题

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 .1.设集合M ={x|x =4k± 1,k∈Z} ,N ={x|x =2k +1,k∈Z} ,其中Z表示整数集 ,则下列各项错误的是 (　　 )(A)M∪ (CZN) =Z .　 (B) (CZM )∩N = .(C)M =N . (D)M∪N =Z .2 .已知a ,b是两个单位向量 ,下列命题中错误的是 (　　 )(A) |a|=|b|.(B)a·b =1.(C)a与b方向相反时 ,a +b =0 .(D)a与b方向相同时 ,a =b .3.设命题 p :3≤ 4 ,q :5 6∈ [6 5 ,+∞ ) ,则三个复合命题 :“p且q” ,“p或q” ,“非 p”中 ,真命题的个数为 (　　 …     

一道高考题的多种解法及推广

<正>笔者探究的问题是2012年湖北高考数学卷(理)第6题,原题如下:设a、b、c、x、y、z是正数,且a²+b2+b²+c2+c²=10,x2=10,x²+y2+y²+z2+z²=40,ax+by+cz=20.则(a+b+c)/(x+y+z)=().(A)1/4(B)1/3(c)1/2(D)3/4解析题目中出现6个未知数,而只有3个等式,因此不能把a、b、c、x、y、z具体的值求出来,只能寻求整体与部分的关系来解题.命题实质是考查柯西不等式的应用.由柯西不等     

由传统题目展开的研究性学习一例

本文以一道传统题目为例 ,给出组织学生进行研究性学习的方法 .已知a,b>0且a+b=1 ,求证 :a+1a b+1b ≥2 54 ,等号当且仅当a=b =12时成立 .我在教学这道题目时 ,没有直接呈现这一传统题型 ,而是分成以下几个层次逐步展开研究性教学 .一、引导学生进行错解剖析 ,培养学生思维的批判性 .　　在教学时首先出示改编的题目 :若a ,b >0 ,且a+b=1 ,求a+1a b+1b 的最小值 .然后请学生求解 ,其中学生常会得出如下解法 :由a ,b>0 ,得a+1a≥ 2 ,b+1b≥ 2 .故a+1a b+1b ≥ 4,于是得a+1a b+1b 的最小值为 4.对这样的解法启发学生探究其真伪性 .学生经过讨…     

一位名师一道题

问题 :实数a ,b,c满足 (a +c) (a+b+c) <0 .求证 :(b -c) 2 >4a(a +b+c) .分析与解　要证的式子与二次方程的判别式形式相似 .故可构造辅助函数y=ax2 + (b-c)x + (a+b +c) .当a≠ 0时 ,二次函数过点P1( 0 ,a+b+c)及P2 ( -1 ,2 (a+c) ) .显见 ,y1y2 =2 (a+b +c) (a +c) <0 (已知条件 ) .即P1、P2 中有一点在x轴上方 ,另一点在x轴下方 .为此二次函数的图像与x轴相交 .所以　Δ =(b -c) 2 -4a(a +b +c) >0 .即得　 (b-c) 2 >4a(a+b+c) .当a=0时 ,由已知条件得c(b+c) <0 ,即b≠c,(b -c) 2 >0 ,结论也成立 .原命题得证 .构造二次函数来解题是一…     

一个代数恒等式的应用

人教版初中《代数》第二册课本中两个重要的公式 (a +b) 2 =a2 + 2ab +b2 ,(a -b) 2 =a2 -2ab +b2 ,通常是直接应用于解题 .如果将两公式相减 ,将得到一个新的有用的代数恒等式 :ab=14 [(a +b) 2 -(a -b) 2 ] ○ ,此代数恒等式简单易记 ,操作简便 .解题中若能灵活、恰当地运用此恒等式 ,将会使一类数学问题的解题思路清晰明朗、过程简洁凑效 .本文以竞赛题为例说明它的应用 .1用于分解因式例 1分解因式 :(ab -1) 2 + (a +b -2 )(a +b -2ab) . (96天津数学竞赛题 )解　原式 =(ab -1) 2 + (a+b -2 +a +b-2ab2 ) 2-[a +b-2 -(a +b-2ab)2 ] 2=(…     

巧用方程思想 妙解求值问题

<正>本刊2017年1月下"思路与方法"栏目《整体法解题举例》着眼于问题的整体结构来解决问题,对我很有启发.下面,谈谈我对文中的例1自己的发现和看法.题目已知正整数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3,求解将已知条件改写为方程组形式     

对一道世锦赛试题的拓广

题目 设a,6,c∈R+,a+b+c＝1,则M＝√3a+1+√3b+1+√3c+1 的整数部分 ∈是( ). 参考答案是这样求M的下界值的: 因为x∈(0,1)时,有x＞xn(n∈N且n≥2),所以√3x+1＞√x2+2x+1＝x+1. 即√3a+1+√3b+1+√3c+1＞a+b+c+3＝4.     

一个分式不等式最佳系数的否定及修正

<中学数学教学>2007年第4期解题擂台(86)提出如下分式不等式: 　　设a,b,c都是正数,且a+6+c=1,求证: 　　1/a+1/b+1/c≥25/1+48abc. (1)……     

让解题思路来得更自然一些——一道高中数学联赛试题引起的思考

1999年全国高中数学联赛的第五大题为:给定正整数n和正数M,对于满足条件　　　　　a21+a2n+1≤M(1)的所有等差数列a1,a2,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.这是一个关于数列、不等式和极值等知识的综合性题,着重考查学生综合应用知识的能力.下面是命题组提供的解答:解法1(配方法)　设公差为d,an+1=a,则　　S=an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)a+n(n+1)2d,故有　　　a+nd2=Sn+1.于是　M≥a21+a2n+1=(a-nd)2+a2=410(a+nd2)2+110(4a-3nd)2≥410(Sn+1)2.(2)因此　|S|≤102(n+1)M,且当a=310M,d=4101nM时,S=(n+1)[310M+n24101nM]=(n+1)510M=102(n+1)M,且由于此时4a=3nd,故a21+a2n+1=410(Sn+1)2=410.104M=M.所以　S的最大值为102(n+1)M.显然,解法1不失为一种“优美”的解答,它所用到的凑配技巧确实构思精巧,解法独特,充分体现了(凑)配方技术的魅力和解题技巧性的高明.可以说,将(1)式凑配为(...     

新题征展(124)第5题的进一步思考

题目 设a,b,c为正实数,1≤a,b,c≤2,求(a+b+c)(a/1+b/1+c/1)的最大值. 答案 当且仅当a=b=c=1时,所求最大值为27. 进一步思考     

对一道高考圆锥曲线问题的探究

题目:设椭圆C: x2/a2+y2/b2=1(a》b》0)过点M(√2,1),且左焦点为F1(-√2,0)     

剖析一道习题解法错误

在我们平时教学中,学生做错练习题是常见的,但主动寻找错误原因的同学还很不多。在解题过程中,对错误解法进行分析,找出病因,对巩固基础知识,提高解题能力是非常必要的。下面仅就一道习题几种常见错误解法进行剖析,并提出正确的解法,供参考。题目设x、y为正变数,a、b为正常数,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值。错解一∵a、b、x,y为正数,∴a/x及b/y均为正数,∴a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)),而a/x+b/y=1.∴(ab/xy)~(1/2)≤1/2.∴(xy/ab)~(1/2)≥2∴xy~(1/2)≥2((ab)~(1/2)),又∵x+y≥2((xy)~(1/2))∴x+y≥4((ab)~(1/2)),∴x+y的最小值为4(ab)~(1/2)     

再诡辩--算术平方根也可以是负数

读本刊文[1]题目: 已知a+b=-5, ab=1,求(a/b)~(1/2)+(b/a)~(1/2)的值. 有下列解法. 解法1