一道模拟题的本质探究与结论推广

考题 若正方形的四个顶点均在函数y=-4x3+3x的图像上,则这样的正方形共有_____个. 一、问题本质探究与求解 本题为江苏省淮阴中学月考理科数学模拟14题,为了探究本质并推广到一般,不妨研究其一般形式. 探究1 若正方形的四个顶点均在函数f(x)=mx3+nx(m≠0)的图像上,则这样的正方形共有几个,此时系数m,n需满足什么条件. 由f(x)=mx3+nx得f(-x)=m(-x)3+n(-x)=-(mx3+nx)=-f(x),所以f(x)=mx3+nx是奇函数,关于原点成中心对称,而正方形也是中心对称图形,从而正方形的中心在原点.     

合情推理显身手

近年来“合情推理”题型倍受青睐,符合“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”的理念.现列举几例,以抛砖引玉.例1(2004年河北省中考题)我们知道:由于圆是中心对称图形,所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分(如图1).图1探索下列问题:(1)在图2给出的四个正方形中,各画出一条直线(依次是:水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线),将每个正方形都分割成面积相等的两部分;图2(2)一条竖直方的直线m以及任意的直线n,在由左向右平移的过程中,将正六边…     

我的发现

我们已经学习了全等图形,以及怎样把 一个图形分成几个全等的图形.其实,图形的 分割还有许多种类,不一定就是分割成几个 全等图形,比如下面这道题: (1)将长10cm、宽9cm的长方形分割成 若干个边长为整数厘米的小正方形,怎样能 使分割成的小正方形数目尽量少? 像这类没有给出实际图形的题,如果图 不大,可以直接在纸上画出,如果图较大,无     

例谈中考题中的正方形问题

<正>正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,非常美观,有很多重要的性质,经常出现在中考选择和填空题中,请看下面几例.一、线段长度问题例1(2017天津)如图1,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,     

正方形对角线上点的性质及其应用

众所周知:正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形.如图1,设P为正方形ABCD对角线AC上的任意一点,由轴对称性,则有     

初中平面几何基础培优讲座之十三 正方形问题(上)

<正>在直线形中正方形是一种性质极为丰富的图形,它是轴对称图形,又是中心对称图形.因此很多有趣的竞赛题都以正方形为载体.我们仅选析一些与三角形全等、勾股定理相关的题目,以达到综合运用的功效.     

构造一次方程组 巧求阴影面积

一、解课本题例1(人教版九年义务教材初中几何第三册第180页第9题)如图,已知正方形的边长为a厘米,以各边为直径在正方形内画半圆,则半圆所围成的图形(阴影部分)的面积等于多少平方厘米?分析图中含有形状不同的两类图形,分别设为x和y,由图形特征知2个x和1个y组成一个半圆,而4个x和4个y组成一个正方形.     

两个正方形剪拼成一个大正方形

图1中的两个正方形连成了一体.布鲁斯博士说,只要在上面画两条直线,把这个图形分成四块,就可重新拼成一个正方形而无任何剩余.你能做到吗?     

中考数学新题型专题训练一 创新型填空题

1.如图1，E、F是ABCD对角线BD上的两点·请你添加一个适当的条件:,使四边形AECF是平行四边形·2·要使一个平行四边形为正方形,则需增加的条件是(填上一个正确的结论即可)·3·观察下列图形的排列规律(其中△是三角形,□是正方形,○是圆),□○△□□○△□○△□□○△□……若第一个图形是正方形,则第2008个图形是(填图形名称)·4·现有四个有理数3、4、-6、10,将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算,使其结果等于24·请你写出一个符合条件的算式·5·任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式·6·若一次函…     

2005年天津市高级中等学校招生考试数学试卷

一、选择题:(本大题10小题,每小题3分,共30分)(1)tan45°的值等于()A.21B.22C.23D.1(2)不等式组2xx- 27≥>03x-1,的解集为A.2相似文献   

夜读设计偶记(之二)

“图形的面积”（刊登于1997年第4期上）这一篇教学设计，充分运用割补法思想，把一大类图形的面积问题，最后归结为五个基本图形的面积．整个设计较为新颖流畅，真是匠心独具呵！但我以为：（1）可“归结为五个基本图形的面积”的整个教学过程，宜从简单的情形开始，探索归纳，自然展开就会更妥当一些．比如：正方形内画一个以边为直径的半圆的情形（略）．正方形内画两个以边为直径的半圆的情形：可画出几种不同的图形（两种）；其中又有几个不同的构成图形（四个B、C、D、E）；分别地怎样求它们的面积；又各有什么不同的求法．这些基本…     

正方形有关类推操作问题

<正>正方形有关的类推操作问题在近年来中考中屡见不鲜.这种问题以某一个图形为背景,按相同的操作方式分别进行正方形的构造或放置,要求我们解答所得到的第n个正方形有关量的值问题.解答时,要注意先依次计算前几个正方形对应量的值,再仔细观察、比较,将隐含在其中的规律找出来.现举例介绍如下:     

三角形的广义内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的三边上 ,称正方形是该三角形的内接正方形 .根据“抽屉原则”,内接正方形的四个顶点必有两个在三角形的同一边上 ,此时 ,称正方形是该三角形的该边上的内接正方形[1] .笔者对文 [1 ]作了研究 ,并给出定义 :如果一个正方形的两个顶点在三角形的同一边所在直线上 (顶点可能在延长线上 ) ,其余两个顶点分别在另两条边上 ,称正方形是该三角形的 (该边上的 )广义内接正方形 .容易看到 :任何三角形的每边上都有广义内接正方形 ;如果正方形的顶点都不在边的延长线上 ,此时 ,广义内接正方形就是内接正方形 …     

巧用中心对称分割图形

<正>设计型问题是近几年各地中考试题中出现的一种新颖而又具开放性的题型,也是近年中考数学中热点问题之一,本文拟对中心对称有关的两类设计问题给予初浅评析,以飨读者.一、分割成全等图形例1如图1,是4×4小正方块的巧克力糖.请用学过的知识,把它分成形状、     

三次函数图象对称性的探讨

1 .问题的提出一次函数 ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的有关性质早已被大家熟知 ,它的图象是一条直线 ,此图象既是中心对称图形又是轴对称图形 .图形上任意一点都是它的中心对称点 ,平面上与此直线垂直的任意一条直线都是它的对称轴 .而二次函数 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的图象是一条抛物线 ,图象关于直线ｘ =-ｂ2ａ对称 ,因此 ,二次函数图象是轴对称图形 ,但它不是中心对称图形 .这里 ,我们自然会想到三次函数 ｙ =ａｘ3+ｂｘ2 +ｃｘ +ｄ(ａ≠ 0 )的图形是否具有对称性 ,如果有的话 ,图形究竟是成中心对称还是成轴对称 ?2 .考察几个特殊情形…     

关于图形中方块问题的再探究

1方块问题的猜想 文[1]从对图1所示的3×3方格图形中所含正方形和长方形个数及图2所示的3×3×3方块图形中所含正方体和长方体个数的教学探究中发现一种和谐的规律,提出如下两个猜想：     

“旋转变换法”解几何题

中心对称和中心对称图形是把图形绕中心旋转180°.有时,根据解题需要,我们将某一图形(或图形的一部分)绕某定点旋转一个定角(不一定是180°),使某些元素(线段或角)相对集中,以利于问题的求解,这种方法称为“旋转变换”法,被旋转的元素(角、线段)旋转前后     

探究图形旋转在解题中的应用

<正>初中数学课本中有关全等图形的变换有三种:平移、翻折和旋转.而旋转图形因为能够形成中心对称图形,故存在一种对称美,在生活中有着广泛运用,如表达鱼水之欢的中国民间剪纸(如图1)以及表达阴阳合一的太极图(如图2),都巧妙运用了图形的旋转进行设计.     

例说几何图形的分割与拼接

1　提出问题2 0 0 3年 2月武汉市高三调研考试数学卷第 2 2题为 :如图 1甲、乙是边长为 4a的两块正方形钢板 ,现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱 ,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥 ,使它们的全面积都等于一个正方形的面积 (不计焊缝的面积 ) .1)将你的裁剪方法用虚线标在图中 ,并作简要说明 .2 )试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小 ,并证明你的结论 .甲图　　　　　　　乙图图 1　正方形这是一道与 2 0 0 2年全国高考数学试题 (文史卷 )第 2 2题类似的几何图形的分割与拼接题 ,这道探索性题限制条件不多 ,存在着多种设计方案 ,有利于充…     

长方形,长方体被分割的正块数

文 [1]中利用递推法给出了正方形、正方体被分割的块数的计算公式 .本文将此推广到长方形与长方体 ,并给出一种较为简单的求法 .问题 1　长方形的长为ｎ ,宽为ｍ(ｍ ,ｎ∈ｎ ,且ｍ≤ｎ) ,过长的ｎ等分点 ,宽的ｍ等分点分别作边的平行线 ,求这些直线 (连同长方形四边 )所构成的正方形的个数 .图 1　问题 1图解　如图 1.设长方形ＡＢＣＤ中长ＡＢ =ｎ ,宽ＡＤ =ｍ ,分割后构成的所有边长为ｒ(1≤ｒ≤ｍ ,ｒ∈Ｎ)的正方形个数为ａｒ.在边ＡＢ上 ,由Ａ ,Ｂ及ＡＢ的ｎ等分点共ｎ 1个点所构成的长为ｒ的线段有ｎ -ｒ 1条 ,即在与ＡＤ平行连同Ａ…