关于Kahan定理的一个注记

设A∈C~(n×n),B∈C~(k×k)均为Hermite矩阵,它们的特征值分别为{λ_j}_(j=1)~n和{μ_j}_(j=1)~k(k≤n);Q∈~(n×k)为列满秩矩阵.令 (1) 则存在A的k个特征值λ_(j_2),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得 (2) 其中σ_k为Q的最小奇异值,||·||_2表示矩阵的谱范数.这是著名的Kahan定理·1996年曹志浩等在[2]中将(2)加强为 (3) 这是Kahan的猜想.在本文中,我们讨论将Kahan定理中“B为k阶Hermite矩阵”改为B为k阶(任意)方阵后,特征值的扰动估计,有以下结果. 定理 设A∈C~(n×n)为Hermite矩阵,其特征值为{λ_j}_(j=1)~n,B∈C~(k×k)的特征值为{μ_j}_(j=1)~k,而Q∈C~(n×k)为列满秩矩阵.则存在A的k个特征值λ_(j_1),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得     

关于矩阵不等式的一点注记

本文对 [1 ],[2 ]中的不等式作了推广 ,改进了 Ostrowsk-Taussky不等式 ,得到一个统一的不等式 .     

关于矩阵不等式的一点注记

本对[1],[2]中的不等式作了推广,改进了Ostrowsk-Taussky不等式,得到一个统一的不等式。     

正规矩阵的若干性质

众所周知,Hermite矩阵有许多较好的性质,其中多数性质对一般矩阵是不成立的。然而,对一类常见的特殊矩阵—正规矩阵,却有着类似的性质。本文就来对此进行一些研究。     

关于一个矩阵迹的不等式的注记

本文修正了［２］中的一个矩阵迹的不等式的一些错误，证明了ｔｒ［（Ａａ一Ｂａ）（Ａ一β一Ｂβ）］＜０当且仅当αβ＞０且Ａ≠Ｂ，ｔｒ［（Ａａ－Ｂａ）（Ａ－β－Ｂ－β）］＞０当且仅当αβ＜０且Ａ≠Ｂ，这里Ａ，Ｂ是ｎ×ｎ的Ｈｅｒｍｉｔｅ正定矩阵．     

矩阵特征值、特征向量的确定

首先对由 A的特征值、特征向量求 A- 1 ,AT,A* ( A的伴随矩阵 )、P- 1 AP以及 A的多项式φ( A)的特征值和特征向量的结论作了个归纳 ;对相反的情形 ,我们给出了部分已有的结果 ,并通过四道例题着重讨论了如何由 φ( A)的特征值来求 A的特征值 .     

关于对称块轮换矩阵的注记

本文研究了对称块轮换矩阵和对称块轮换矩阵束的特征值和广义特征值问题。导出了它们的特征分解。当对称块轮换矩阵的每个块本身也是轮换矩阵时,本文的结果校正了[2]中的错误。     

关于两个矩阵乘积的特征值与奇异值的最佳估计

用A表示复矩阵A的共轭转置矩阵。用λ_i(A)表示n阶复矩阵A的特征值,i=1,…,n对于n阶Hermite矩阵A,在没有特别指出的情况下,本文均约定A的n个(实)特征值按降     

关于矩阵多项式特征值界的注记

本文讨论矩阵多项式特征值定域问题.首先对Higham和Tisseur[Linear Algebra Appl.,358(2003),5-22]得到的结果给出较详细的比较.然后利用分块矩阵谱半径的估计给出了获取特征值界的一种新办法.利用这种新办法,不但可以简明地得出很多已有的界,且对椭圆及双曲矩阵多项式得出了特征值的新的界.     

关于Toeplitz矩阵的某些注记

In this paper,we study real symmetric Toeplitz matrices commutable with tridi-agonal matrices, present more detailed results than those in [1], and extend them to non-symmetric Toeplitz matrices. Also, complex Toeplitz matrices, especially the corresponding matrices of lower order, are discussed.     

矩阵对策的两个注记

设(x*,y*)是以A=[aij]m×n为赢得矩阵G的对策解,则当局中人1,2各自独立地使用其最优策略x*=(x*1,x*2,…,xmn),y*=(y*1,y*2,…,y*n)时,局中人1的赢得期望为对策值v*=x*Ay*T.若局中人双方使用使得方差D(x*,y*)=∑∑(aij-v*)2x*iy*j达最小的对策解(x*,y*),则其赢得靠近v*的概率达到最大.以O记使方差达到最小的对策解的集合.若O满足(x(1),y(1)),(x(2),y(2))∈O蕴涵(x(1),y(2)),(x(2),y(1))∈O,则说O是可换的.本文首先证明了若矩阵对策G有纯解,则O是可换的.然后证明了如果限定局中人1在其混合扩充策略集的一个非空紧凸子集X中选取策略,那么存在X的一个非空紧子集O(X),它是有限个非空互不相交紧凸集之并,使得只要局中人1使用O(X)中的策略,那么在最坏的情况下可以取得最好的赢得.     

关于矩阵奇异值p-范数的讨论的注记

指出近期矩阵奇异值p-范数的讨论中一些值得商榷的问题．应用已有的半正定Hermitian矩阵特征值和迹的性质，我们研究了相关问题．     

Square-root Householder subspace tracking

A class of singular value decomposition (SVD)-type subspace trackers based on the overdetermined row-Householder principle is introduced. These algorithms are maximally fast with a dominant operations count of 3Nr multiplications per time update. They can be regarded as square-root forms of previously introduced conventional fast subspace trackers and offer interesting features such as perfectly orthonormal basis estimates, lowest dynamic range requirements, and highest numerical robustness and stability. Several variants of the method are proposed and studied experimentally.     

Real matrix homotopies based on Householder reflections

Anexplicithomotopyisconstructedbetweentheidentitymatrixandanarbitraryrealmatrixwithpositivedeterminant.Theconstructionrequiresnoeigenvalueinformationandyieldsasmoothparameterizationforwhichthematrixdeterminantremainspositiveandvariesas a monotonic or unimodal function of the parameter. The key idea of the construction is that a simple formula smoothly transforms any product of two Householder reflections to the identity.     

关于矩阵的行最简形以及两个正交矩阵之和的几个注记

本文证明了每个ｍ×ｎ矩阵Ａ的行最简形矩阵必唯一．本文还给出了两个正交矩阵之和仍是正交矩阵的两个充分必要条件．     

Augmented Block Householder Arnoldi Method

Computing the eigenvalues and eigenvectors of a large sparse nonsymmetric matrix arises in many applications and can be a very computationally challenging problem. In this paper we propose the Augmented Block Householder Arnoldi (ABHA) method that combines the advantages of a block routine with an augmented Krylov routine. A public domain MATLAB code ahbeigs has been developed and numerical experiments indicate that the code is competitive with other publicly available codes.