Nonlinear vibrations of an elastic disk rotating in a viscous fluid

Summary The von Kármán equations are extended to the dynamic case and to manifest the effects of the viscosity of fluid in which the motion takes place. The hydrodynamic aspect of the problem is analyzed and the flow pattern based on the von Kármán solution derived. The system of two nonlinear coupled differential equations is solved for weakened boundary conditions using the Galerkin procedure. A numerical example given for the mode of two nodal diameters and no nodal circles shows that: (a) the period of linear vibrations, T, is markedly increased by the presence of the viscous fluid; (b) the ratio T ^*/T(T ^* = period of nonlinear vibrations) decreases with an increasing amplitude, increases with an increasing speed of rotation, and increases with conversion to vacuum.

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Nichtlineare Schwingungen einer in einer viskosen Flüssigkeit rotierenden, elastischen Scheibe

Übersicht Die von Kármánschen Gleichungen werden auf den dynamischen Fall erweitert, und der Einfluß der Viskosität der Flüssigkeit, in der die Scheibe rotiert, wird in die Untersuchung einbezogen. Dabei werden sowohl der hydrodynamische als auch der elastodynamische Aspekt des Problems behandelt. Das System von zwei nichtlinearen, gekoppelten Differentialgleichungen wird mit Hilfe des Verfahrens von Galerkin für abgeschwächte Randbedingungen gelöst.Ein numerisches Beispiel für zwei Knotendurchmesser und keine Knotenkreise zeigt: a) die Schwingungsdauer T der linearen Schwingungen wird durch die viskose Flüssigkeit beträchtlich erhöht; b) das Verhältnis T ^*/T (T ^* = Periode der nichtlinearen Schwingungen) nimmt mit wachsender Amplitude ab, wächst mit steigender Drehzahl und wächst beim Übergang zu Vakuum.

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This work was partially supported by the University of Delaware     

Nonlinear analysis of doubly curved symmetrically laminated shallow shells with rectangular planform

Summary A multi-mode solution to the dynamic Marguerre-type nonlinear equations is presented for the nonlinear free vibration of doubly curved, symmetrically laminated, imperfect shallow shells of rectangular planform on a Winkler-Pasternak elastic foundation. The shell edges are assumed to be transversely supported and the variation of rotational stiffness is identical along opposite edges. Generalized double Fourier series with time-dependent coefficients and the method of harmonic balance are used in the solution. The boundary condition for the varying rotational stiffness is fulfilled by replacement of bending moments along the four edges by an equivalent lateral pressure. Based on a single-mode approximation numerical results for the amplitude-frequency response of doubly curved isotropic, orthotropic, cross-ply and angle-ply shallow shells with square planform are presented for various boundary conditions, material properties, curvature ratios, initial imperfections, edge tensions, and moduli of the elastic foundation. Graphical results for postbuckling behavior of an imperfect angle-ply cylindrical panel are also presented as a special case.

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Nichtlineares Verhalten zweifach gekrümmter, symmetrisch geschichteter dünner Schalen mit rechteckigem Grundriß

Übersicht Vorgestellt wird eine Mehrfachwellenform-Lösung der dynamischen Gleichungen vom Marguerre-Typ für die nichtlinearen Eigenschwingungen zweifach gekrümmter dünner Schalen aus symmetrischen Schichtungen, die geometrisch imperfekt sind und über einen rechteckigen Grundriß auf einer elastischen Winkler-Pasternak-Bettung lagern. Angenommen wird eine gelenkige Lagerung der Plattenränder mit einer veränderlichen Drehbehinderung, die auf gegenüberliegenden Rändern gleich ist. Zur Lösung werden verallgemeinerte zweifache Fourier-Reihen mit zeitabhängigen Koeffizienten und die Methode der harmonischen Balance benutzt. Die Randbedingung für die veränderliche Drehbehinderung wird dadurch erfüllt, daß die Randmomente durch einen äquivalenten Vertikaldruck ersetzt werden. Mit der Näherung nur einer Wellenform werden numerische Ergebnisse für die Beziehung zwischen Amplitude und Frequenz angegeben; variiert werden dabei die Randbedingungen, die anfänglichen Imperf ektionen, die Krümmungsverhältnisse, die Bettungszahlen und die Materialkonstanten, wobei die Platte entweder isotrop oder bei recht- und schiefwinkliger Schichtung orthotrop ist. Als Sonderfall wird auch das Nachbeulverhalten einer imperfekten, schiefwinklig geschichteten Zylinderschale graphisch dargestellt.

     

Rechnergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen gewöhnlicher Mehrkörpersysteme

Übersicht Bei der dynamischen Untersuchung von Mehrkörpersystemen, aufgebaut aus starren Körpern, Federn, Dämpfern, Stellmotoren und Lagern, besitzen die algebraisch aufgestellten Bewegungsgleichungen im Vergleich zu den numerischen Formalismen den Vorteil geringerer Rechenzeiten und höherer Genauigkeit. Es wird gezeigt, daß sich auch Bewegungsgleichungen großer Systeme durch Rechnerunterstützung in übersichtlicher Weise algebraisch aufstellen lassen. Dazu wird das d'Alembertsche Prinzip auf die Newton-Eulerschen Gleichungen des betrachteten Mehrkörpersystems angewandt. Die auftretenden, umfangreichen Matrizenoperationen werden mit Hilfe der Indexcodierung algebraisch auf dem Digitalrechner ausgeführt. Als Ergebnis erhält man die Bewegungsgleichungen gewöhnlicher Mehrkörpersysteme in der Form einer nichtlinearen oder linearisierten Vektordifferentialgleichung zweiter Ordnung.

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Summary The dynamical investigation of multibody systems consisting of rigid bodies, springs, dashpots, servomotors and bearings based on algebraic equations of motion results in shorter computation time and higher accuracy compared with investigations based on numerical formalisms. It is shown that the algebraic equations of motion of large systems can be clearly found by computer aid. For this purpose d'Alembert's principle is applied to the Newton-Euler equations of the considered multibody system. The extensive matrix operations are performed algebraically on the digital computer using index coding. Finally the equations of motion of ordinary multibody systems are presented by one nonlinear or linearized vector differential equation of second order.

     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

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Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

Pflüger rod with shear and extensibility

Summary The stability of a thin elastic rod loaded with non-conservative tangentially distributed and axial compressive force is analyzed. The axial compressive force has constant and periodic component. Also it is assumed that the rod axis is extensible and shear stress effects are taken into account. The in-plane vibrations and stability of the rod are analyzed. The critical load is also determined.

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Pflüger Stab mit Schubspannungsinfluß und dehnbarer Achse

Übersicht Es wird die Stabilität eines dünnen Stabes, der durch eine nichtkonservative Tangential-und eine Längskraft beansprucht wird, betrachtet. Die axiale Längskraft besitzt eine Konstante und eine periodische Komponente. Es wird angenommen, daß die Stabachse dehnbar ist; der Schubspannungseinfluß wird berücksichtigt. Es werden die ebenen Schwingungen und das Stabilitätsverhalten untersucht; ebenso wird die kritische Last ermittelt.

     

On the accuracy of the harmonic balance method concerning vibrations of beams with nonlinear supports

Summary A homogeneous beam supported by a nonlinear cubic rotational spring and excited by a prescribed harmonic translational motion was analysed by the harmonic balance method. Harmonic and sub-harmonic solutions were determined as functions of frequency, excitation amplitude and material damping. The results were verified against numerical time integrations of the governing nonlinear differential equations. The numerical method was based on a component mode synthesis technique, using free normal modes and inertia relief attachment modes. It was found that the predictions by the harmonic balance method were in excellent agreement with the numerical solution in a frequency interval covering the three first cantilevered eigenfrequencies of the beam. The only exceptions were two narrow frequency intervals in which the numerical solution showed quasiperiodic oscillations.

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Uber die Genauigkeit der Methode der harmonischen Balance für Schwingungen von Balken mit nichtlinearen Einspannungen

Übersicht Ein homogener Balken, der mit einer kubischen Drehsteifigkeit eingespannt und von einer harmonischen vorgegebenen Bewegung angeregt ist, wurde mit der Methode der harmonischen Balance untersucht. Harmonische und subharmonische Lösungen wurden als Funktion der Frequenz, der anregenden Amplitude und der Werkstoffdämpfung berechnet. Die Ergebnisse wurden mit numerischen Zeitintegrationen der nichtlinearen Differentialgleichungen verglichen. Die numerische Methode war auf einer Methode der dynamischen Substrukturtechnik aufgebaut, wobei freie Schwingungsformen mit statischer Kondensation verwendet wurden. Es zeigte sich, daß in einem Frequenzband, welches die drei ersten Eigenfrequenzen eines einseitig eingespannten Balkens überdeckte, die Vorhersagen der harmonischen Balance in sehr guter Übereinstimmung mit der numerischen Lösung waren. Die einzigen Ausnahmen waren zwei kleine Frequenzbänder, in denen die numerische Lösung quasiperiodische Schwingungen zeigte.

     

Elastic-plastic deformation of the rotating solid disk

Summary The plane state of stress in a rotating circular disk of elastic-plastic material with linear strain hardening is studied based on Tresca's yield condition and its associated flow rule. The plastic core consists of two parts with different forms of the yield condition. By specializing the results to perfectly plastic material, the usual statically determinate stress distribution is recovered but, since the plastic strain at the axis becomes infinite, these stresses are not meaningful.

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Die elastisch-plastische deformation der rotierenden vollscheibe

Übersicht Der ebene Spannungszustand in einer rotierenden Kreisscheibe aus elastisch-plastischem Werkstoff mit linearer Verfestigung wird berechnet unter Zugrundelegung der Trescaschen Fließbedingung und der zugehörigen Fließregel. Der plastische Kern setzt sich zusammen aus zwei Teilen, in denen die Mießbedingung verschiedene Formen annimmt. Durch Grenzwertbildung werden die Ergebnisse auf idealplastisches Verhalten spezialisiert; man findet die übliche statisch bestimmte Spannungsverteilung. Da diese aber mit unbeschränkten plastischen Dehnungen an der Scheibenachse verbunden ist, können die Spannungen nicht sinnvoll sein.

     

Untersuchung des anisotropen Kriechverhaltens vorgeschädigter Werkstoffe am austenitischen Stahl X8 CrNiMoNb 16 16

Übersicht Ziel der Untersuchung ist es, den Einfluß von Kriechschädigung und Belastungsvorgeschichte auf das weitere Kriechverhalten nach einer Änderung der Belastungsrichtung zu bestimmen. Die ermittelten Kriechbruchzeiten werden stark von der Änderung der Belastungsrichtung beeinflußt. Dieses Verhalten wird mit einer tensoriell nichtlinearen Theorie erklärt, indem man den Einfluß der Vorschädigung mit einem zweistufigen Tensor darstellt.

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Zur dynamischen Stabilität des schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes

Übersicht Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der Stabilität eines schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes unter einer statischen und unter einer periodischen Druckkraft in Richtung der Erzeugenden. Sie geht von geometrisch nichtlinearen Bewegungsgleichungen aus. Ein einfacher Näherungsansatz für den Verlauf der Verschiebungen führt über das Galerkinsche Verfahren auf die Bewegungsgleichung eines nichtlinearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad. Seine Phasenporträts für verschiedene Größen der statischen Druckkraft veranschaulichen die bekannten Aussagen über die Stabilität der Schale. Die Schwingungen unter der periodischen Druckkraft ergeben sich mit Hilfe der Störungsrechnung. Die Größenordnung der dabei auftretenden nichtlinearen Glieder wird verglichen.

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Summary The paper deals with the stability of a cylindrical panel of small curvature loaded by static or periodically variable aixal pressure forces. It starts from the geometrically nonlinear equations of motion. By use of Galerkin's approximation a simple function for the deformations leads to the equation of motion of a nonlinear vibrator with one degree of freedom. The phaseportraits for several values of the static pressure force illustrate the known results concerning the stability of shells. The vibrations produced by periodical pressure forces are calculated by means of the method of small parameters. The magnitudes of the most important nonlinear expressions are compared.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Hochschule München genehmigten Habilitationsschrift; Berichter: Prof. Dr.-Ing. G. Knittel, Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. habil. H. Stefaniak, Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. A. Pflüger.     

The free motion of a sphere in a rotating fluid

Summary The free motion of a sphere in a fluid with solid body rotation is considered. The equations of motion of the sphere are formulated and a theoretical model for the surface force is introduced. From theory it follows that after commencement of the motion the horizontal part of the trajectory of the sphere is a logarithmic spiral. This result is verified by experiment. It was also found experimentally that the drag of the sphere is considerably higher than that of a sphere moving in a non-rotating fluid. The flow around the sphere is asymmetrical thus producing a dynamic lift during the motion. This points to the existence of a Taylor-column moving with the sphere. The results make it possible to compute not only the forces acting on the surface but also the trajectory of the sphere.

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Übersicht Es wird die freie Bewegung einer Kugel in einem starr rotierenden Fluid behandelt. Die Bewegungsgleichungen für die Kugel werden aufgestellt, ein Ansatz für die auf die Kugel wirkende Oberflächenkraft wird eingeführt. Aus der Theorie ergibt sich, daß nach einem Anlaufvorgang der horizontale Anteil der Kugelbahnkurve einer logarithmischen Spirale entspricht. Das wird experimentell bestätigt. Außerdem ergeben die Experimente, daß der Widerstand der Kugel beträchtlich höher ist als er von Kugelbewegungen in nichtrotierenden Fluiden her bekannt ist und daß die Kugel unsymmetrisch umströmt wird und so einen dynamischen Auftrieb erfährt. Dieses deutet darauf hin, daß Taylor-Säulen die Kugelbewegung beeinflussen. Die gemessenen Ergebnisse ermöglichen es, sowohl die Oberflächenkräfte als auch die horizontale Bahnkurve der Kugel zu berechnen.

     

Determination of stability in nonlinear analysis of structures

Summary This paper present a systematic study of the problems of structural nonlinear instability. Emphasis is on the treatment of coincident critical points and the development of available theory making it possible to explore all postbuckling paths. To achieve such an aim, the paper first studies the asymptotic forms of general postbuckling equlibrium equations in the neighbourhood of a critical point. It is found that the asymptotic equations are different from each other for types of different critical points. These different asymptotic equations are derived and the stability is determined numerically.

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Stabilitätsbestimmung in der nichtlinearen Strukturanalyse

Übersicht Der Beitrag zeigt eine systematische Studie zu Problemen der Instabilität nichtlinearer Strukturen. Der Schwerpunkt liegt auf der Behandlung von koinzidenten kritischen Punkten und der Entwicklung einer Theory zur Auffindung aller Nachbeulzweige. Hierzu werden zunächst die asymptotischen Formen der allgemeinen Nachbeul-Gleichgewichtsgleichungen in der Umgebung eines kritischen Punktes untersucht. Es zeigt sich, daß sich die asymptotischen Gleichungen für Typen verschiedener kritischer Punkte voneinander unterscheiden. Diese unterschiedlichen asymptotischen Gleichungen werden hergeleitet und die Stabilität wird numerisch bestimmt.

     

The BIE analysis of the Berger equation

Summary An iterative solution of the nonlinear integro-differential Berger equation by the boundary integral equation method is proposed. The fundamental solution of the linearized Berger equation is used. Both formulations of the problem through the physical and non-physical quantities are given. The proposed method of solution is applied to numerical computation of the finite deflection of a thin circular plate under a concentrated load. An analytical solution of the linearized Berger equation in the case of rotationally symmetrical problem is found.

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Anwendung der Randintegralgleichungsmethode auf die Gleichung von Berger

Übersicht Bine iterative Lösung der nichtlinearen integrodifferentialen Gleichungen von Berger mittels der Methode der Integralgleichungen wird vorgelegt. Die fundamentale Lösung der linearisierten Gleichungen von Berger wird angewendet. Zwei alternative Formulierungen des Problems mit physikalischen und nichtphysikalischen Größen sind angeführt. Die vorgelegte Lösungsmethode wird zur numerischen Berechnung der Durchbiegung einer mittels Einzellast belasteten, dünnen Kreisplatte angewendet. Fur den Fall eines rotationssymmetrischen Problems wurde eine analytische Lösung der linearisierten Bergerschen Gleichungen gefunden.

     

Coupling of bending and torsional vibration of a cracked Timoshenko shaft

Summary A transverse surface crack is known to add to the shaft a local flexibility due to the stress-strain singularity in the vicinity of the crack tip. This flexibility can be represented by way of a 6 × 6 matrix describing the local flexibility in a short shaft element which includes the crack. This matrix has off-diagonal terms which cause coupling of motion along the directions which are indicated by the off-diagonal terms. Not all motions are coupled, however. To study the coupling of torsion and shear, a 3 × 3 flexibility matrix is used which includes the appropriate terms. Due to the shear terms of the Timoshenko beam equation of the shaft, bending vibration is finally coupled to torsional vibration. This effect is the subject of this investigation, which is of particular importance in turbomachinery operation. The equations of motion of a Timoshenko beam shaft with three degrees of freedom are derived. The free vibration of the shaft and the influence of the crack on the vibrational behaviour of the shaft is studied. The relation of the eigenvalues of the system, to the crack depth and the slenderness ratio of the shaft is derived. Moreover forced vibration analysis of the cracked shaft is performed. The significant influence of the bending vibration on the torsional vibration spectrum, and vice-versa, is demonstrated. It is believed that this effect can be very useful for rotor crack identification in service, which is of importance to turbomachinery.

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Kopplung zwischen Biege- und Torsionsschwingungen einer Welle Tom Timoshenko-Balkentyp mit Riß

Übersicht Bekanntlich verringert ein von der Oberfläche in den Querschnitt reichender Riß infolge der Spannungs- und Verzerrungssingularität an der Rißspitze örtlich die Steifigkeit einer Welle. Dies kann mit Hilfe einer 6 × 6-Nachgiebigkeitsmatrix für ein kurzes Wellenstück, das den Riß enthält, beschrieben werden. Die Matrix enthält Elemente außerhalb der Diagonalen, wodurch eine Kopplung der Bewegungen in die Richtungen erfolgt, welche das Element anzeigt. Nicht alle Bewegungen sind dabei verknüpft. Zur Untersuchung der Kopplung von Torsion und Querschub wird eine 3 × 3-Nachgiebigkeitsmatrix benutzt, die die betreffenden Elemente enthält. Infolge der Querkraft-Terme in der Timoshenko-Balkengleichung werden letztendlich Biegef- und Torsionsschwingungen gekoppelt. Dieser Effekt ist Gegenstand der Untersuchung. Die Bewegungsgleichungen eines Timoshenko-Balkens mit 3 Freiheitsgraden werden hergeleitet. Die freien Schwingungen der Welle und der Einfluß des Risses auf das Schwingungsverhalten werden untersucht. Die Beziehungen zwischen Eigenformen, Rißtiefe und Schlankheitsgrad der Welle werden hergeleitet. Darüber hinaus werden erzwungene Schwingungen der angerissenen Welle untersucht. Der deutliche Einfluß der Biegeschwingung auf das Spektrum der Torsionsschwingung und umgekehrt wird aufgezeigt. Dieser Effekt ist bei Turbomaschinen bedeutsam, da er für die Identifizierung von Rotorrissen beim Betrieb nützlich sein müßte.

     

Hall effects on the oscillatory MHD flow through porous medium in a rotating fluid

Taking Hall currents into account the unsteady magnetohydrodynamical flow through a porous medium bounded by an infinite vertical limiting surface in a rotating frame of reference is theoretically investigated when a strong magnetic field is imposed in a plane which makes an angle a with the normal to the plate. The influence of Hall currents on the velocity and temperature distribution are shown graphically for various values of .

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Hall-Effekte in oszillierender magnetohydrodynamischer Strömung durch ein poröses Medium in einer rotierenden Flüssigkeit

Zusammenfassung Bei der Betrachtung von Hallströmen wird die unstetige magnetohydrodynamische Strömung durch ein poröses Medium, begrenzt durch eine unendlich lange senkrechte Fläche in einem rotierenden Rahmen, für den Fall theoretisch untersucht, daß ein starkes magnetisches Feld in einer Ebene, die den Winkel a mit der normalen auf die Fläche einschließt, angelegt wird. Der Einfluß der Hallströme auf die Geschwindigkeit und die Temperaturverteilung wird für verschiedene Werte von graphisch dargestellt. Wärme- und Stofflibertragung 23 (1988)

     

Instability of the vibrations of a rotating thin disk due to an additional support

Summary Vibrations of a rotating thin disk, such as a floppy disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed with due consideration of the centrifugal force. A solution of the equation of motion is described in the form of a series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions, and a characteristic equation is introduced by the existence condition of the coefficients. The relation between natural frequencies and angular velocity, and regions of instability of free vibrations are shown.

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Schwingungsinstabilität rotierender dünner Scheiben mit zusätzlicher Stützung

Übersicht Die Schwingungen von rotierenden dünnen Schieben, die am Innenrand fest eingespannt sind, aber an einer Stelle des freien Außenrandes elastisch gestützt sind, werden unter Berücksichtigung der Flickraft analysiert. Hier wird eine Lösung der Bewegungsgleichung durch eine Reihe mit den orthogonalen Eigenformen einer gleichgelagerten nicht rotierenden Scheibe beschrieben, und es wird aus der Existenzbedingung der Koeffizienten eine charakteristische Gleichung eingeführt. Die Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen und der Drehzahl sowie die Instabilitätsbereiche der freien Schwingungen werden dargestellt.

     

Nonlocal interaction of a dislocation with a crack

Summary Based on the classical stress analysis, the stress field of a screw dislocation near a semi-infinite crack is investigated by a conformal mapping method. The classical image force on the dislocation due to the crack is presented by the obtained classical image stress. To eliminate the singularity of the stress field at the crack tip, the nonlocal elasticity theory is adopted. A maximum of the image stress is found near the crack tip and the nonlocal image force is then acquired by the obtained nonlocal stress field. Both the stress and the image force show much difference from the classical ones and seem to be more reasonable physically.

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Nichtlokale Wechselwirkung zwischen einer Versetzung und einem Riß

Übersicht Basierend auf der klassischen Spannungsanalyse einer Schraubenversetzung neben einem halb-unendlichen Riß mittels einer konformen Abbildung wird die klassische Bildkraft auf die Schraubenversetzung als Folge des Risses vorgestellt. Um die Spannungssingularitäten neben der Rißspitze zu beseitigen, wird die nichtlokale Elastizitätstheorie herangezogen, mittels ihrer wird das Maximum der Spannung neben dem Riß gefunden und die nichtlokale Bildkraft ermittelt. Die Spannungen und die Bildkraft der nichtlokalen Elastizitätstheorie zeigen große Unterschiede gegenüber der klassischen Analyse und sind physikalisch vernünftiger.

     

Effects of Hall current and wall temperature oscillation on convective flow in a rotating fluid through porous medium

The combined effects of Hall current and plate temperature oscillation on the hydromagnetic free convective flow through a porous medium bounded by an infinite vertical limiting surface in a rotating fluid are discussed. The suction velocity perpendicular to the limiting surface is constant and the temperature of the limiting surface fluctuates with time about a non-zero constant mean. The expressions for the velocity and temperature fields are derived, and the effects of various parameters on the velocity and shear-stress are determined.

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Einflüsse von Hallstrom und Wandtemperaturschwingungen auf die Konvektionsströmung in einem rotierenden Fluid durch ein poröses Medium

Zusammenfassung Hier werden alle Einflüsse von Hallstrom und Plattentemperaturschwingungen auf eine hydromagnetische freie Konvektionsströmung durch ein poröses Medium analysiert. Das Medium wird von einer unendlichen, vertikalen Begrenzungsoberfläche in einem rotierenden Fluid eingeschränkt. Die Ansauggeschwindigkeit senkrecht zur Begrenzungsoberfläche bleibt konstant. Die Temperatur der Begrenzungsoberfläche schwankt mit der Zeit um einen konstanten, von Null verschiedenen Wert. Aussagen über die Geschwindigkeit und die Temperaturfelder werden hieraus abgeleitet und die Geschwindigkeit und Scherbeanspruchung bestimmt.

     

Nonlinear sway-buckling of an eccentrically loaded frame of two timoshenko-bars

Summary A variational method for investigating the nonlinear lateral stability is applied to a rectangular, geometrically perfect, two-bar frame which is loaded eccentrically to the center line of one of the bars. The frame loses its stability through a limit point. The individual, and primarily the coupling effects on the nonlinear sway-buckling load are fully assessed for a variety of parameters such as transverse shear deformation, cross-sectional shape, loading eccentricity, slenderness ratio and moment of inertia ratio of the two bars. The conclusions presented herein give a better insight into the actual response of the frame.

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Übersicht In dieser Arbeit wird ein Variationsverfahren für die Untersuchung der nichtlinearen Stabilität eines rechteckigen, geometrisch perfekten, Zwei-Stab-Rahmens vorgestellt, der exzentrisch bezüglich eines der Stäbe belastet ist. Der Rahmen verliert Scine Stabilität bei einer Grenzlast. Der Einfluß einzelner, vor allem aber die Wirkung von kombiniert auftretenden Parametern — wie Querkraftbiegung, Querschnittsform, Lastexzentrizität, Schlankheitsgrad und Trägheitsmoment der Stäbe — auf die nichtlineare Knicklast werden untersucht. Die in dieser Arbeit mitgeteilten Ergebnisse lassen das wirkliche Verhalten des Rahmens gut erkennen.

     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

Zur numerischen Behandlung von Randwertproblemen einer geometrisch nichtlinearen Flächentragwerkstheorie

Übersicht Es wird ein numerisches Lösungsverfahren zur Integration von Systemen nichtlinearer, partieller Differentialgleichungen für eine Theorie geometrisch nichtlinearer, schubelastischer Flächentragwerke vorgestellt. Der Algorithmus ist in die Gruppe der inkrementellen und iterativen Verfahren einzuordnen. Zur Diskretisierung wird ein Mehrstellenverfahren verwendet. Die wichtige Frage der Überwindung von Singularitäten wird umfassend beantwortet. Schließlich kann die Leistungsfähigkeit der Methode bei der numerischen Behandlung von Aufgaben aus der Stabilitätstheorie und der nichtlinearen Spannungstheorie demonstriert werden.

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Summary A numerical method is presented for the purpose of integrating a system of simultaneous non-linear partial differential equations describing a geometrically nonlinear shell theory including shear deformation. The algorithm can be classified as an incremental and iterative procedure. The discretization is based on the Hermitean method. Particular attention is given to those techniques allowing to pass an extremum point of a load-displacement-curve. Finally the efficiency of the presented method is demonstrated by solving problems of the nonlinear theory of elastic stability.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. Th. Lehmann zur Vollendung seines 60. Lebensjahres gewidmet