Fonctions auxiliaires et fonctionnelles analytiques (I)

Résumé Les progrès récents en théorie des nombres transcendants sont venus principalement du développement de méthodes algébriques (lemmes de zéros, critères d’indépendance algébrique). Un des principaux obstacles pour résoudre les conjectures encore ouvertes semble être la faiblesse des arguments analytiques. Le but de ce travail est de développer systématiquement les constructions auxiliaires qui interviennent généralement dans le premier pas des démonstrations de transcendance. Dans cette premiere partie, nous utilisons le principe des tiroirs (lemme de Thue-Siegel) pour construire des fonctions auxiliaires en une ou plusieurs variables. Dans la seconde, nous présenterons une construction duale, qui produit des fonctionnelles auxiliaires. Des conséquences arithmétiques feront l’objet d’un autre texte.     

Convergence of a class of degenerate Ginzburg-Landau functionals and regularity for a subelliptic harmonic map equation

In this paper, we consider a class of Ginzburg-Landau functionalsE _ε associated with a couple of non-commuting vector fields which yield a “degenerate” energy. We study the asymptotic behavior of the minimizers, showing that it does not depend on the topological degree of the boundary datum; and we prove uniqueness and regularity of the minimizer of the limit problem, in spite of the lack of lifting theorems in the natural function spaces for the limit functional.

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Résumé  Dans cet article, nous considérons une classe de fonctionnellesE _ε du type Ginzburg-Landau associée a un couple de champs de vecteurs définissant une énergie dégénérée. Nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs. Nous démontrons que ce comportement ne dépend pas du degré topologique de la donnée a la frontiere et nous prouvons l’unicité et la régularité du minimiseur du probléme limite, malgré l’absence d’un théorème de lifting dans les espaces de Sobolev naturels pour la même fonctionnelle.

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The authors were supported by University of Bologna, funds for selected research topics, and by GNAMPA of the INDAM, Italy, project “Analysis in metric spaces and subelliptic equations.”     

Nombres D’Euler, approximants de Padé et constante de Catalan

Résumé Au moyen d’une méthode d’approximation de Padé introduite par Prévost dans [13], nous construisons des familles d’approximations rationnelles rapidement convergentes vers la constante de Catalan G. Bien que cela ne suffise pas à prouver l’irrationalité de G, nous montrons le lien inattendu avec la méthode hypergéométrique récemment mise en avant dans l’étude diophantienne des fonction ζ de Riemann et β de Dirichlet, ce qui nous permet de prouver la ≪ conjecture des dénominateurs ≫ de [17].

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Mathematics Subject Classification Primary—11J99, 41A21, 05A40     

Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un groupe de Lie compact commutatif

Résumé Nous montrons dans cet article comment les connaissances acquises sur les espaces fonctionnels de source le classifiant du groupeZ/p ([La2], [DS]) et l’utilisation de MU-résolutions instables permettent d’obtenir des résultats sur les espaces fonctionnels de source le classifiant d’unp-groupe abélien fini ou d’un tore si l’on impose au but d’avoir une cohomologie à coefficientsp-adiques sans torsion. Nous montrons notamment que l’ensemble des classes d’homotopie d’applications du classifiant X d’un tore dans un espace Y simplement connexe dont l’homologie entière est nulle en degré impair et un groupe abélien libre de dimension finie en chaque degré pair, et dont la cohomologie rationnelle est polynomiale, s’identifie à l’ensemble des applications de la K-théorie de Y dans la K-théorie de X qui préservent la structure de λ-anneau. Le premier auteur a bénéficié pendant l’achèvement de ce travail d’une allocation de recherche de l’école Polytechnique.     

Sulle pseudo-probabilita’ associate all’informazione

Sommario Si definiscono pseudo-probabilità quelle funzioni di evento associate alla funzione di informazione quando si postula per l’informazione della unione di due eventi una legge di carattere universale. Si studiano le principali proprietà delle pseudo-probabilità e si dimostra che esse sono caratterizzate da una classe particolare di soluzioni di una equazione funzionale.

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Résumé On définit pseudo-probabilité les fonctions d’événement associées à la fonction d’information quand on postule que l’information de deux événements suit une loi à caractère universel. On étudie les principales propriétés des pseudo-probabilités et l’on démontre qu’elles sont caractérisées par une classe particulière de solutions d’une équation fonctionelle.

     

Continuous and random Vapnik-Chervonenkis classes

Nous démontrons que si T est une théorie dépendante, sa randomisée de keisler T ^R l’est aussi. Pour faire cela nous généralisons la notion d’une classe de Vapnik-Chervonenkis à des familles de fonctions à valeurs dans [0, 1] (dyune classe de Vapnik-Chervonenkis continue), et nous caractérisons les familles de fonctions ayant cette propriété par la vitesse de croissance de la largeur moyenne d’une famille de compacts convexes associés.     

Principe local-global pour les zéro-cycles sur certaines fibrations au-dessus d’une courbe: I

Soit X une variété projective lisse sur un corps de nombres, fibrée au-dessus d’une courbe C, à fibres géométriquement intègres. On démontre que, en supposant la finitude de III(Jac(C)), si les fibres au-dessus d’un sous-ensemble hilbertien généralisé satisfont le principe de Hasse (resp. l’approximation faible), alors l’obstruction de Brauer–Manin provenant de la courbe en bas est la seule au principe de Hasse (resp. à l’approximation faible) pour les zéro-cycles de degré 1 sur X. Ceci est appliqué à l’exemple récent de Poonen.     

Invariance de la Γ-dimension pour certaines familles kählériennes de dimension 3

Dans cet article, on étudie les propriétés d’invariance par déformation de la Γ-dimension d’une variété k?hlérienne compacte X, cet invariant birationnel contr?lant la dimension des sous-variétés compactes maximales contenues dans le revêtement universel de X. Pour les surfaces k?hlériennes, cette propriété d’invariance résulte immédiatement d’un théorème de Y.-T. Siu. En utilisant un théorème de structure de F. Campana et Q. Zhang, on montre également l’invariance par déformation de la Γ-dimension pour certaines familles de variétés k?hlériennes compactes de dimension 3.     

Lignes de Niveau et Series de Fourier Absolument Convergentes

Pour une fonction continuef, définie sur un compact de la droite réelle où du cercle, l’on note parC(f) la sous-algèbre auto-adjointe uniformement fermée engendrée parf. L’on construit des fonctionsf telles que les seules fonction dansC(f) qui admettent localement une représentation comme somme d’une série de Fourier absolument convergente sont les constantes. Sur un intervalle une tellef peut être construite monotone ou bien Lipschitzienne 1/2.      

Invariants de classes : exemples de non-annulation en dimension supérieure

The so-called class-invariant homomorphism ψ measures the Galois module structure of torsors—under a finite flat group scheme G—which lie in the image of a coboundary map associated to an isogeny between (Néron models of) abelian varieties with kernel G. When the varieties are elliptic curves with semi-stable reduction and the order of G is coprime to 6, it is known that the homomorphism ψ vanishes on torsion points. In this paper, using Weil restrictions of elliptic curves, we give the construction, for any prime number p > 2, of an abelian variety A of dimension p endowed with an isogeny (with kernel μ _p ) whose coboundary map is surjective. In the case when A has rank zero and the p-part of the Picard group of the base is non-trivial, we obtain examples where ψ does not vanish on torsion points.

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Résumé  Le class-invariant homomorphism permet de mesurer la structure galoisienne des torseurs—sous un schéma en groupes fini et plat G—qui sont dans l’image du cobord associé à une isogénie, de noyau G, entre des (modèles de Néron de) variétés abéliennes. Quand les variétés sont des courbes elliptiques à réduction semi-stable et que l’ordre de G est premier à 6, on sait que cet homomorphisme s’annule sur les points de torsion. Dans cet article, en nous servant de restrictions de Weil de courbes elliptiques, nous construisons, pour tout nombre premier p > 2, une variété abélienne A de dimension p munie d’une isogénie (de noyau μ _p ) dont le cobord est surjectif. Si A est de rang nul, et si la p-partie du groupe de Picard de la base est non triviale, nous obtenons ainsi un exemple où le class-invariant homomorphism ne s’annule pas sur les points de torsion.

     

Nuovi risultati nella teoria diametrale delle superficie algebriche

Riassunto Nella presente Nota metto in rilievo anzitutto una corrispondenza [1, (n−1)²] che sussiste fra i piani diametrali di una superficie algebrica di ordinen e le corrispondenti direzioni coniugate e ne deduco la proprietà che i piani diametrali si dispongono a gruppi di (n−1)² piani paralleli. Ciò posto, procedo alla ricerca dei piani diametrali autoconiugati e mutuamente coniugati della superficie in riferimento al comportamento della stessa superficie con il piano all’infinito ponendo particolare riguardo alle superficie di ordinen (pari) aventi in comune con il piano all’infinito una conica contatan/2 volte (quadriche generalizzate).

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Résumé Dans cette Note j’établis avant tout, une correspondance [1, (n−1)²] qui existe pour les plans diamétraux d’une surface algébrique générale d’ordren et les correspondantes directions conjuguées et j’en déduis la propriété que les plans diamétraux de la surface se disposent en groupes de (n−1)² plans parallèles. Cela posé, je proiede à la recherche des plaus diamétraux autoconjugués et mutuellement conjugués de la surface à l’égard de la nature de la courbe d’intersection de la surface avec le plan à l’infini, considerant particulièrment les surfaces d’ordren (pair) qui recontrent le plan à l’infini suivant une conique comptéen/2 fois (quadriques généralisées).

     

Una condizione di ergodicità per l’energia cinetica

Riassunto Si considera un sistema dinamico ooonomo ad un solo grado di libertà. Si semplifica la condizione di ergodicità di una variabile aleatoria e di tutte le funzioni di essa, data in un lavoro precedente da, B. Forte; questa nuova forma della condizione di ergodicità viene poi usata per stabilire a quale condizione necessaria e sufficiente deve soddisfare il potenziale della sollecitazione agente sul sistema perchè l’energia cinetica e tutte le funzioni di essa siano ergodiche.

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Résumé On considère un système dynamique à un degré de liberté. On simplifie la condition d’ergodicité d’une variable aléatoire et de toutes ses fonctions, donnée dans un travail précédent par B. Forte; ensuite on emploie cette nouvelle forme de la condition d’ergodicité pour établir à quelle condition nécessaire et suffisante doit satisfaire le potentielU du système pour que l’énergie cinétique et toutes ses fonctions soient ergodiques.

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Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Sur les équations d’Halphen et les actions de SL<Subscript>2</Subscript>(C)

Résumé On étudie les aspects locaux et globaux des actions holomorphes de SL₂(C) sur les variétés complexes de dimension trois, à partir de l’étude des algèbres de Lie de champs de vecteurs qui engendrent une action uniforme. On décrit géométriquement et dynamiquement une famille de telles algèbres étudiée par Halphen vers la fin du XIXème siècle. On donne des formes normales pour les actions de SL₂(C) au voisinage des orbites unidimensionnelles. On étudie ensuite les compactifications équivariantes des espaces homogènes de SL₂(C). On prouve que si Γ⊂SL₂(C) est un sous-groupe discret non-élémentaire alors Γ\SL₂(C) admet une compactification équivariante (comme variété complexe) si et seulement si Γ est géométriquement fini et n’a pas d’éléments paraboliques. On démontre que toutes les compactifications équivariantes sont biméromorphiquement équivalentes. De plus, si Γ n’a pas de torsion, Γ\SL₂(C) admet une compactification minimale, obtenue comme quotient d’un ouvert de l’unique compactification biéquivariante de SL₂(C).     

Diviseurs Des Nombres Ellipséphiques

Les propriétés multiplicatives des nombres ellipséphiques peuvent être obtenues à l’aide des moments de la série génératrice de cette suite. Nous donnons des estimations précises pour les grands moments par deux méthodes distinctes: l’une combinatoire fournit un résultat précis dans le cas réputé le plus difficile des nombres n’utilisant que les 0 et les 1; la seconde purement analytique fournit un résultat sans condition sur les chiffres.

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L’enseignement des mathématiques dans les pays francophones d’Afrique et de l’Ocean Indien

Le problème de l’enseignement des mathématiques dans les pays francophones d’Afrique et de l’Océan Indien et ses perspectives pour le XXIe siècle, nécessite, au préalable, que l’on procède à un bref tour d’horizon sur les objectifs de l’enseignement de cette discipline à l’époque coloniale et sur les expériences qui ont été conduites depuis les indépendances. C’est à la lumière du diagnostic qui sera réalisé sur ces deux étapes antérieures qu’il sera possible de prèciser, en fonction du développement économique, social, culturel voire politique, les objectifs auxquels doit répondre l’enseignement des mathématiques et de définir les perspectives et les méthodes d’enseignement les plus adaptées au contexte spécifique de cette partie de l’espace francophone     

Fermetures i-generatrices – application aux fonctions booleennes permutantes

On introduit dans cet article la notion de fermeture i-génératrice. Les fermetures i-génératrices d'une fonction booléenne admettent pour sous fonctions les fermetures indépendantes de cette fonction. Elles constituent un outil particuliérement bien adaptéà ia résolution de certains problèmes d'algèbre de Boole. On donne par exemple quelques applications à l'étude et à la caractérisation des fonctions booléennes permutantes.     

Sur les immeubles triangulaires et leurs automorphismes

Résumé  Les travaux de J. Tits ont conduit à la classification complète des immeubles euclidiens de dimension supérieure ou égale à 3. L’ensemble de ces immeubles à isomorphisme près est dénombrable et paramétré par les corps locaux qui leur correspondent. Dans cet article nous nous intéressons aux immeubles triangulaires, qui sont euclidiens de dimension 2 et pour lesquelles une paramétrisation analogue est impossible. Nous construisons une lamination Λ sur un espace topologique localement compact séparé, dont l’espace des feuilles est l’ensemble des immeubles triangulaires à isomorphisme près. On considère ainsi les immeubles triangulaires comme points d’un espace dont Λ est une désingularisation naturelle. Nous établissons des résultats de chirurgie sur les immeubles triangulaires à données locales fixées. Ils entra?nent par exemple que Λ est topologiquement transitive. Nous montrons qu’un immeuble triangulaire générique au sens de Baire a un groupe d’automorphismes trivial et qu’il contient toutes les géométries locales possibles. L’espace des immeubles triangulaires à isomorphisme près est un nouvel exemple d’espace non commutatif. Le second auteur a été en partie financé par JSPS.     

Déformations des cônes de vecteurs primitifs

Résumé  Pour un groupe réductif connexe complexe G, on classifie les modules simples dont le c?ne des vecteurs primitifs admet une déformation G-invariante non triviale. On relie cette classification à celle (due à Akhiezer) des variétés projectives lisses dont les orbites sous l’action d’un groupe algébrique affine connexe sont un diviseur et son complémentaire. Notre principal outil est le schéma de Hilbert invariant d’Alexeev et Brion; on en détermine les premiers exemples. On détermine aussi les déformations infinitésimales (non nécessairement G-invariantes) des c?nes des vecteurs primitifs; elles sont triviales pour presque tous les modules simples.

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Ce travail a été partiellement soutenu par le réseau Liegrits MRTN-CT 2003-505078.     

Calcul Fonctionnel Holomorphe en Dimension Infinie dans une Algebre de Banach Quotient

L. Waelbroeck a montré dans [10] que le calcul fonctionnel holomorphe de plusieurs variables dans une algèbre de BanachA se généralisait à une algèbre de Banach quotientA|α (i.e:α un idéal de Banach deA tel que l’injectionα→A soit continue) et que c’est dans ce cadre qu’il est naturel et a de nombreuses applications. Dans [13], [1] et [4] les auteurs ont construit des calculs fonctionnels holomorphes en dimension infinie dans une algèbre de Banach. Nous étendons ici leurs calculs au cas d’une algèbre de Banach quotient ainsi que le théorème d’Arens-Calderon.