开放型、探究型综合题解题研究

从学生未来人生的需要着眼，学校教育已把培养创新精神，创新意识，创造才能作为提高学生素质的重点．因此，全国各地的中考数学试题中出现了一些新型的题型，如：开放型、探索型，实际应用型类型的题目，引起广大师生的高度重视，并给数学教学增添了新的活力．     

综合题新编

题 2 1　已知数列 {ａｎ}的通项ａｎ 是关于ｘ的不等式ｎ(ｎ -ｘ) >ｎ - 2ｘ (ｎ∈Ｎ)的解集中整数的个数 .1)求ａｎ;2 )设数列 { 1ａ2 ｎ}的前ｎ项和为Ｔｎ,试比较Ｔｎ 与3ｎ2ｎ 1的大小 .解　 1)原不等式等价于ｎ(ｎ -ｘ)≥ 0ｎ - 2ｘ <0 或ｎ(ｎ -ｘ)≥ 0 ,ｎ - 2ｘ≥ 0 ,ｎ(ｎ -ｘ) >(ｎ - 2ｘ) 2 ,解得 0 <ｘ≤ｎ ,∵ｎ∈Ｎ ,∴ａｎ=ｎ .2 )由题意ｎ =1时 ,Ｔ1=1,3ｎ2ｎ 1=1.∴Ｔ1=3ｎ2ｎ 1,ｎ =2时 ,Ｔ2 =1 12 2 =54 ,而 3ｎ2ｎ 1=65 ,∴Ｔ2 >3ｎ2ｎ 1.ｎ =3时 ,Ｔ3 =1 12 2 132 =4 936 ,3ｎ2ｎ 1=97,∴Ｔｎ>3ｎ2ｎ …     

一类复数综合题的解题策略

有关复平面上的图形和轨迹问题 ,即如何根据复数ｚ所满足的条件来确定其对应点集的图形、轨迹及其特征的综合题 .这类综合题对于训练学生分析问题和解决问题的能力十分有益 ,因而在会考和高考中时常出现 .由于复数ｚ =ｘ ｙｉ(ｘ ,ｙ∈Ｒ)与复平面内的点 (ｘ ,ｙ)构成一一对应 ,因此 ,复数与平面图形的方程或点的轨迹就有必然的联系 ,更由于复数的乘除与旋转有联系 ,就有更多的综合问题出现 .不过 ,其实质还是复数运算的几何意义引伸出来的问题 .认清这类综合题的内在联系 ,为求解这类综合题形成一般的解题策略是 :一设二识三求 ,即根据给…     

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题 4 9　 设数列 {ａｎ}为等差数列 ,且ａｎ<ａｎ + 1,前 6项的平方和为 70 ,立方和为0 .1 )求 {ａｎ}的通项ａｎ;2 )在平面直角坐标系内 ,直线ｌｎ 的斜率为ａｎ,且与曲线 ｙ =ｘ2 相切 ,与 ｙ轴交于Ｂｎ,记ｂｎ=|Ｂｎ + 1Ｂｎ| ,求ｂｎ;3)对于 2 )中数列 {ｂｎ},求证 :ｓｉｎｂ1+ｓｉｎｂ2 +… +ｓｉｎｂｎ <32 .解　 1 )依题意 ,有 :ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ24+ａ25 +ａ26=70 ,ａ3 1+ａ3 2 +ａ3 3 +ａ3 4+ａ3 5 +ａ3 6=0 .∵ {ａｎ}为等差数列 ,∴ａ1+ａ6=ａ2 +ａ5 =ａ3 +ａ4.若ａ1+ａ6>0 ,得到 :ａ3 1+ａ3 6=(ａ1+ａ6) (ａ21+ａ1ａ6+ａ26)>0…     

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题 8　设函数ｆ(ｘ) =2ｘ -ｘ2 - 1 (ｘ≥ 1 ) ,试解答下列问题 :1 )解不等式ｆ(ｘ) ≥ 2 ;2 )求出使ｆ(ｘ) 在Ｉ上是递增函数的最大的区间Ｉ ;3 )求出最大的实数ａ ,使得ｆ(ｘ) ≥ａ·ｘ恒成立 .解　 1 )把 ｆ(ｘ) ≥ 2写为 2 (ｘ - 1 )≥(ｘ - 1 ) (ｘ 1 ) ,显然ｘ =1是该不等式的一个解 ;当ｘ >1时 ,两边可约去ｘ - 1得 :2·ｘ - 1≥ｘ 1 ,即 4(ｘ - 1 )≥ｘ 1 ,解得ｘ≥53 ,因此原不等式的解为 :ｘ =1或ｘ≥53 .2 ) [方法 1 ]　 (导数法 ,供学习过简单微积分课程的高中老师和高中同学参考 ) :求导数得ｆ′(ｘ) =2 -12 ·2ｘｘ2 - 1 =…     

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题 5　如图 1 ,四面体ＡＢＣＤ中 ,△ＡＢＣ与△ＤＢＣ都是边长为 4的正三角形 .1 )求证 :ＢＣ⊥ＡＤ ;2 )若点Ｄ到平面ＡＢＣ的距离不小于 3,求二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角的取值范围 ;3)求四面体ＡＢＣＤ的体积的最大值和最小值 .解　 1 )取ＢＣ的中点Ｏ ,连结ＡＯ ,ＤＯ ,∵△ＡＢＣ ,△ＢＣＤ都是边长为 4的正三角形 ,∴ＡＯ⊥ＢＣ ,ＤＯ⊥ＢＣ ,且ＡＯ∩ＤＯ =Ｏ .∴ＢＣ⊥平面ＡＯＤ .又∵ＡＤ 平面ＡＯＤ ,∴ＢＣ⊥ＡＤ .2 )由 1 )的证明过程可知 ,∠ＡＯＤ为二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角 ,记为θ,则θ∈ ( 0 ,π) .过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＯ交…     

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题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

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题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

探究知识网络交汇点 精选纵横联系综合题

知识网络交汇点主要是指在数学的不同分支或不同课题中起支撑作用的、在各部分知识相互联系中起联结作用的知识 .纵观近几年的高考题 ,已由以知识立意转变为以能力立意 ,注重考查知识的迁移、知识的应用 ,注重学科的内在联系和知识的综合 .多数题目尤其是解答题 ,将中学数学中的重要知识相互交融 ,试题设计在知识网络的交汇点上 .因此在高中数学教学尤其是在高三数学复习中 ,一方面要从整体上把握高中数学知识 ,另一方面要特别注意强化知识的纵横联系 .随着复习的深入 ,很有必要设计一些在知识网络交汇点上的综合题目 ,培养学生综合运用知识…     

高三复习代数训练题（二）

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　等差数列 {ａｎ}中 ,已知ａ1∶ａ3 ∶ａ5=1∶3∶5 ,且Ｓ5=4 5 ,则ａ4 等于 (　　 )(Ａ) 12 .　 (Ｂ) 6 35 .　 (Ｃ) 18011.　 (Ｄ) 4.2　若复数ｚ1=1- 3ｉ与ｚ2 =3-ｉ的辐角主值分别为α ,β ,那么α β的值是 (　　 )(Ａ) π2 .　 (Ｂ) 3π2 .　 (Ｃ) 5π2 .　 (Ｄ) 7π2 .3　把正方形的四个顶点 ,四边中点以及中心都用线段连接起来 ,则以这 9个点中的 3个点为顶点的三角形的个数是 (　　 )(Ａ) 5 4 .　 (Ｂ) 76 .　 (Ｃ) 81.　…     

初中数学竞赛常用解题方法（代数）

自1985年我国举办全国性的初中数学竞赛以来,各地竞赛规模日益增大,参加人数越来越多,数学竞赛已成为广大青少年所喜爱的活动,它对于丰富他们的课外活动内容,增长中学生的数学知识,培养他们的数学思维能力,提高竞赛水平等都起了不可估量的作用。纵观国内外历年初中数学竞赛题目,虽然解无定法,技巧性较强,但通过仔细分析、综合研究后,还是可以找到一些常用的解题方法,现举出12种方法例     

函数综合题的常见题型及解题策略

函数是高中阶段的重要知识内容,也是高考要重点考察的知识点．函数所涉及的定义概念、数学思想方法很多,所涉及的问题很广,综合应用性很强;解决问题时对学生有较高的综合能力要求,是学生在学习复习过程中的难点。函数的解题过程往往包含了数形结合,分类讨论,函数、方程、不等式的相互转化等常用的思想方法．     

中考函数与圆综合题例析

函数与圆分别是初中代数与几何的重点内容 ,近年来各地中考试题中频频出现函数与圆相结合的综合题 ,以考查学生运用“方程思想”、“数形结合思想”及“分类思想”等基本思想和方法 ,综合运用函数与几何知识解决问题的能力 .这类题涉及到的知识、方法较多 ,综合性较强 ,解法较灵活 ,本文仅就 2 0 0 3年部分省市中考题中的函数与圆综合题例析如下 :例 1、(广西壮族自治区 )如图 ,以A( 0 ,3 )为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O ,与 y轴相交于点B ,弦BD的延长线交x轴负半轴于点E ,且∠BEO =60°,AD的延长线交x轴于点C ,( 1 )分别求点E、C的…     

数学思想在中考数学数与代数部分解题中的应用研究

数与代数部分是中考数学的重要组成部分,主要涵盖了数与式、方程与不等式和函数三个板块,是学生在初中数学学习中必须掌握的重点知识,在中考数学中占据了一半的分值.数学思想作为数学解题的重要思想,在解决数与代数问题时,有重要的作用.     

实数复习研究

亲爱的同学：你们已经完成了初中教材内容的学习，对数学有了进一步的认识．数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使你变得更聪明．下面让我们一起进入初中数学复习．相信你的聪明才智必定能在复习中得到进一步的展现．     

几何图形在代数解题中的应用

代数研究的对象主要是“数”，几何研究的对象主要是“形”．然而两者却有着非常密切的关系．有时，一个代数问题它甚至可能是由一个几何问题演变而来的，如果我们能通过想象，把抽象的代数问题模拟成具体的、直观的几何问题，那么我们便可以根据图形的性质来解决它．本文即是从几个侧面谈谈几何图形在解代数题中的应用．