共查询到20条相似文献,搜索用时 15 毫秒
1.
We extend classical volume formulas for ellipsoids and zonoids to p-sums of segments $${vol}\left( {\sum\limits_{i=1}^m { \oplus_p } [ -x_i ,x_i ]} \right)^{1/n} \sim_{c_p} n^{ - \frac{1}{{p'}}} \left( {\sum\limits_{card(I) = n} {|\det (x_i)_i |^p}} \right)^{\frac{1}{{pn}}}$$ where x1,...,xm are m vectors in $\mathbb{R}^n ,\frac{1}{p} + \frac{1}{{p\prime }} = 1$ . According to the definition of Firey, the Minkowski p-sum of segments is given by $$\sum\limits_{i = 1}^m { \oplus _p [ - x_{i,} x_i ]} = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^m {\alpha _i } x_i \left| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {|\alpha _i |^{p^\prime } } } \right)} \right.^{\frac{1}{{p^\prime }}} \leqslant 1} \right\}.$$ We describe related geometric properties of the Lewis maps associated to classical operator norms. 相似文献
2.
P. Z. Mkrtychyan 《Journal of Mathematical Sciences》1985,28(5):742-750
In a bounded domain of the n -dimensional (n?2) space one considers a class of degenerate quasilinear elliptic equations, whose model is the equation $$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial F}}{{\partial x_i }}} (a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i - 2} u_{x_i } ) = f(x),$$ where x =(x1,..., xr), li?0, mi>1, the function f is summable with some power, the nonnegative continuous function a(u) vanishes at a finite number of points and satisfies \(\frac{{lim}}{{\left| u \right| \to \infty }}a(u) > 0\) . One proves the existence of bounded generalized solutions with a finite integral $$\int\limits_\Omega {\sum\limits_{i = 1}^n {a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i } dx} }$$ of the Dirichlet problem with zero boundary conditions. 相似文献
3.
Václav Tryhuk 《Czechoslovak Mathematical Journal》2000,50(3):519-529
The paper describes the general form of an ordinary differential equation of an order n + 1 (n ≥ 1) which allows a nontrivial global transformation consisting of the change of the independent variable and of a nonvanishing factor. A result given by J. Aczél is generalized. A functional equation of the form $f\left( {s,w_{00} \upsilon _0 ,...,\sum\limits_{j = 0}^n {w_{nj\upsilon _j } } } \right) = \sum\limits_{j = 0}^n {w_{n + 1j\upsilon j} + w_{n + 1n + 1} f\left( {x,\upsilon ,\upsilon _1 ,...,\upsilon _n } \right),}$ where $w_{n + 10} = h\left( {s,x,x_1 ,u,u_1 ,...,u_n } \right),w_{n + 11} = g\left( {s,x,x_1 ,...,x_n ,u,u_1 ,...,u_n } \right){\text{ and }}w_{ij} = a_{ij} \left( {x_i ,...,x_{i - j + 1} ,u,u_1 ,...,u_{i - j} } \right)$ for the given functions a ij is solved on $\mathbb{R},u \ne {\text{0}}$ . 相似文献
4.
S. A. Aldashev 《Ukrainian Mathematical Journal》1991,43(3):379-384
For the linear hyperbolic equations
相似文献
5.
л. Д. кУДРьВцЕВ 《Analysis Mathematica》1992,18(3):223-236
ДОкАжАНО, ЧтО Дль тОгО, ЧтОБы Дльr РАж ДИФФЕРЕНцИРУЕМОИ НА пРОМЕжУткЕ [А, + ∞) ФУНкцИИf сУЩЕстВОВА л тАкОИ МНОгОЧлЕН
6.
7.
F. Móricz 《Analysis Mathematica》1987,13(4):307-319
Пусть {? ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL 2 и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λj(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞. 相似文献
8.
R. K. S. Rathore 《Aequationes Mathematicae》1978,18(1-2):206-217
This note is a study of approximation of classes of functions and asymptotic simultaneous approximation of functions by theM n -operators of Meyer-König and Zeller which are defined by $$(M_n f)(x) = (1 - x)^{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^\infty {f\left( {\frac{k}{{n + k}}} \right)} \left( \begin{array}{l} n + k \\ k \\ \end{array} \right)x^k , n = 1,2,....$$ Among other results it is proved that for 0<α≤1 $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n^{\alpha /2} \mathop {\sup }\limits_{f \in Lip_1 \alpha } \left| {(M_n f)(x) - f(x)} \right| = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{\alpha + 1}}{2}} \right)}}{{\pi ^{1/2} }}\left\{ {2x(1 - x)^2 } \right\}^{\alpha /2} $$ and if for a functionf, the derivativeD m+2 f exist at a pointx∈(0, 1), then $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 2n[D^m (M_n f) - D^m f] = \Omega f,$$ where Ω is the linear differential operator given by $$\Omega = x(1 - x)^2 D^{m + 2} + m(3x - 1)(x - 1)D^{m + 1} + m(m - 1)(3x - 2)D^m + m(m - 1)(m - 2)D^{m - 1} .$$ 相似文献
9.
A. A. Žensykbaev 《Analysis Mathematica》1981,7(4):303-318
Найдены методы восст ановления интеграла по информации $$I\left( f \right) = \left\{ {f^{(j)} \left( {x_i } \right)\left( {j = 0, ..., \gamma _i - 1; i = 1, ..., n; 1 \leqq \gamma _i \leqq r; \gamma _i + ... + \gamma _n \leqq N} \right.} \right\},$$ оптимальные на класс ахW p r ,r=1,2,...; 1≦p≦∞. Это позволило, в частност и, получить наилучшие для классаW p r квадратурные форму лы вида $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right)$$ И $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = af\left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 0}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + bf\left( 1 \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right).$$ 相似文献
10.
П. В. Задерей 《Analysis Mathematica》1989,15(3):245-262
Assume that the coefficients of the series $$\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i = 1}^m \sin k_i x_i $$ satisfy the following conditions: a) ak → 0 for k1 + k2 + ...+km →∞, b) \(\delta _{B,G}^M (a) = \mathop {\mathop \sum \limits_{k_i = 1}^\infty }\limits_{i \in B} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_j = 2}^\infty }\limits_{j \in G} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_v = 0}^\infty }\limits_{v \in M\backslash (B \cup G)} \mathop \Pi \limits_{i \in B} \frac{1}{{k_i }}|\mathop \sum \limits_{I_j = 1}^{[k_j /2]} (\nabla _{l_G }^G (\Delta _1^{M\backslash B} a_k ))\mathop \Pi \limits_{j \in G} l_j^{ - 1} |< \infty ,\) for ∨B?M, ∨G?M,B∩G, where M={1,2, ...,m}, $$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta _1^j a_k = a_k - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_{j + 1} } ,\Delta _1^B a_k = \Delta _1^{B\backslash \{ j\} } (\Delta _1^j a_k ), \hfill \\ \Delta _{l_j }^j a_k = a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j - l_j } - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j + l_j } ,\nabla _{l_G }^G a_k = \nabla _{l_{G\backslash \{ j\} } }^{G\backslash \{ j\} } (\nabla _{l_j }^j a_k ). \hfill \\ \end{gathered} $$ Then for all n∈Nm the following asymptotic equation is valid: $$\mathop \smallint \limits_{{\rm T}_{\pi /(2n + 1)}^m } |\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i \in M} \sin k_i x_i |dx = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left| {a_k } \right|\mathop \Pi \limits_{i \in M} k^{ - 1} + O(\mathop {\mathop \sum \limits_{B,{\mathbf{ }}G \subset M} }\limits_{B \ne M} \delta _{B,G}^M (a)).$$ Here \(T_{\pi /(2n + 1)}^m = \left\{ {x = (x1,x2,...,xm):\pi /(2n + 1) \leqq xi \leqq \pi ;i = \overline {1,m} } \right\}\) . In the one-dimensional case such an equation was proved by S. A. Teljakovskii. 相似文献
11.
We consider integral functionals in which the density has growth p i with respect to ${\frac{\partial u}{\partial x_i}}$ , like in $$\int\limits_{\Omega}\left( \left| \frac{\partial u}{\partial x_1}(x) \right|^{p_1} + \left|\frac{\partial u}{\partial x_2}(x)\right|^{p_2} + \cdots + \left|\frac{\partial u}{\partial x_n}(x) \right|^{p_n} \right) dx.$$ We show that higher integrability of the boundary datum forces minimizer to be more integrable. 相似文献
12.
Using the Multivariate Decomposition Method (MDM), we develop an efficient algorithm for approximating the ∞-variate integral $$\mathcal{I}_{\infty}(f) = \lim\limits_{d\rightarrow \infty} \int\limits_{\mathcal{R}_{+}^{d}}f(x_{1},\ldots,x_{d},0,0,\ldots)\cdot \exp\left(-\sum\limits_{j=1}^{d} x_{j}\right) \mathrm{d} \mathbf{x} $$ for a class of functions f that are once differentiable with respect to each variable. MDM requires efficient algorithms for d-variate versions of the problem. Such algorithms are provided by Smolyak’s construction which is based on efficient algorithms for the univariate integration $$ I \left(f\right) = \int_{0}^{\infty} f\left(x\right)^{-x} \mathrm{d} \mathbf{x}. $$ Detailed analysis and development of (nearly) optimal quadratures for I(f) is the main contribution of the current paper. 相似文献
13.
The modified Bernstein-Durrmeyer operators discussed in this paper are given byM_nf≡M_n(f,x)=(n+2)P_(n,k)∫_0~1p_n+1.k(t)f(t)dt,whereWe will show,for 0<α<1 and 1≤p≤∞ 相似文献
14.
In this paper, we prove that the maximal operatorsatisfiesis homogeneous of degree 0, has vanishing moment up to order M and satisfies Lq-Dini condition for some 相似文献
15.
V. Totik 《Analysis Mathematica》1979,5(4):287-299
Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$ 相似文献
16.
Let f be a complex-valued multiplicative function, letp denote a prime and let π(x) be the number of primes not exceeding x. Further put $$m_p (f): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\pi (x)}}\sum\limits_{p \leqslant x} {f(p + 1)} {\text{, }}M(f): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\sum\limits_{n \leqslant x} {f(n)}$$ and suppose that $$\mathop {\lim \sup }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\sum\limits_{n \leqslant x} {\left| {f\left( n \right)} \right|^2 } < \infty ,\sum\limits_{p \leqslant x} {\left| {f\left( n \right)} \right|^2 } \ll x\left( {\ln x} \right)^{ - \varrho } ,$$ with some \varrho > 0. For such functions we prove: If there is a Dirichlet character χ_d such that the mean-value M(f χ_d) exists and is different from zero,then the mean-value m_p(f) exists. If the mean-value M(f) exists, then the same is true for the mean-valuem_p(f) . 相似文献
17.
18.
Fixed Points and Stability for Quadratic Mappings in β–Normed Left Banach Modules on Banach Algebras
The goal of the present paper is to investigate some new stability results by applying the alternative fixed point of generalized quadratic functional equation $$\begin{array}{ll}f\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ix_i\right)+{\sum\limits_{i=1}^{n-1}}{\sum\limits_{j=i+1}^{n}}\left[f(a_ix_i+a_jx_j)+2f(a_ix_i-a_jx_j)\right]\\ \qquad \quad = (3n-2){\sum\limits_{i=1}^{n}}a^2_{i}f(x_{i})\end{array}$$ in β–Banach modules on Banach algebras, where ${a_{1},\dots,a_{n}\in \mathbb{Z}{\setminus}\{0\}}$ and some ${\ell\in\{1 , 2 ,\dots, n-1\},}$ a ? ?≠ ±1 and a n ?=?1, where n is a positive integer greater or at least equal to two. 相似文献
19.
M. H. Шеремета 《Analysis Mathematica》1991,17(1):47-54
Пусть Λ=(λn) — возрастаю щая к+∞ последователь ность неотрицательных чис ел, λ0=0, а S+(Λ) — класс абсолют но сходящихся в С рядо в Дирихле вида $$F\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\},$$ где a0=1 и ak>0 (k∈N). Положим $$\begin{gathered} S_n \left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\}, \hfill \\ \sigma _n \left( F \right) = \max \left\{ {\frac{1}{{S_n \left( x \right)}} - \frac{1}{{F\left( x \right)}}:x \in R} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} $$ Доказано, что для того, чтобы для любой функц ии F∈S+(Λ) выполнялось равенст во $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\ln n}}\ln \frac{1}{{\sigma _n \left( F \right)}} = + \infty ,$$ необходимо и достато чно, чтобы $$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{{n\lambda _n }}< + \infty .$$ Аналогичные результ ы получены для различ ных подклассов классаS + (Λ), определяемых условиями на убывани е коэффициентова n. 相似文献
20.
Yu Gang 《Monatshefte für Mathematik》1994,118(1-2):145-152
Let Q(x) denote the number of 4-full numbers not exceeding x. It is well known that $$Q(x) = \sum\limits_{j = 4}^7 {r_j x^{1/j} + R(x)}$$ where $$r_j = \mathop {res}\limits_{s = 1/j} (F(s)/s), F(s) = \mathop \prod \limits_P \left( {1 + \frac{{p^{ - 4s} }}{{1 - p^{ - s} }}} \right)$$ and R(x) is the remainder. This paper proves that $$R(x) \ll x^{3626/35461 + \varepsilon }$$ where ε is any positive number. 相似文献
|