Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: Terza Memoria

Sunto è un ulteriore contributo alle proprietà generali di geometria sulle varietà algebriche (dopo quelli apportati dall'Autore con le Memorie del 1909 e del 1951). Qui si tratta delle proprietà delle forme differenziali esterne di1 ^a e di2 ^a specie appartenenti ad una varietà algebrica e si applicano le forme differenziali di1 ^a specie alla ricerca d'una nozione generale, che estenda alle varietà la nozione d'irregolarità d'una superficie. L'A. sbocca così in r −1 irregolarità d'una varietà ∞^r, le quali sono altrettanti invarianti assoluti per trasformazioni birazionali ed hanno stretti legami con le sottovarietà contenute nella data.     

I fondamenti della geometria numerativa

Sunto. Costruzione dei fondamenti della geometria numerativa (computo della costanti, conservazione del numero, calcolo simbolico, principio generalizzato diPlücker-Clebsch) dal punto di vista delle teorie (dovute all' Autore), che hanno fatto progredire e rinnovato tanta parte della moderna geometria algebrica (teoria della base, varietà virtuali, sistemi d'equivalenza, teoria generale delle corrispondenze). Teorema d'esistenza delle caratteristiche delle condizioni pure di data dimensione imposte agli elementi d'una varietà algebrica, anche in presenza di elementi degeneri. Applicazioni (teoria delle caratteristiche inerenti a spazi lineari, risoluzione generale del problema delle caratteristiche per le coniche d'un piano, base e modello minimo della varietà degli elementi lineari del piano) (1). Il mio primo lavoro è stato pubblicato negli ? Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino ? (vol. XXXV, pag. 774) il 27 maggio 1900. Veramente io avevo già fatto stampare fin dal 1898 mentre ero studente presso una tipografia della mia nativa Arezzo, una noticina sull'estensione dei teoremi diPascal e diBrianchon. Non sapevo allora che l'estensione era nota.     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

Funzionali analitici ipergeometrici

Sunto In questa Memoria l'A. introduce il concetto difunzionale analitico ipergeometrico confluente e completo e ne studia le proprietà essenziali. Il lavoro è diviso in tre parti. Nella prima parte dà le definizioni fondamentali di questi operatori e studia un funzionale ipergeometrico che chiama diGauss. Nella seconda parte pone in relazione questi funzionali ipergeometrici con alcune classiche trasformazioni della Analisi Funzionale: operatore diLaplace, integrazione, derivazione, logaritmo funzionale diPincherle, ecc. Nella terza parte dà delle relazioni caratteristiche di questi funzionali e li applica in fine alla rappresentazione di un integrale regolare nell'intorno della origine della equazione differenziale diLamé.     

Sul massimo numero di nodi di una superficie di dato ordine dello spazio ordinario o di una forma di un iperspazio

Sunto L'A. si occupa d'un problema considerato da un secolo a questa parte da molti geometri, senza che tuttavia si fosse pervenuti finora alla soluzione, all'infuori dei particolari valori m=2, 3, 4 dell' ordine. Si tratta del massimo numeŕo di punti doppi conici che può acquistare una superficie d'ordine m dello spazio ordinario, senza acquistare una linea doppia. Occorrono per la ricerca i mezzi più elevati della geometria algebrica e la preparazione di molte interessanti proprietà accessorie delle varietà, per le quali poi si dà un cenno d'estensione del teorema trovato. Entrata in redazione il 12 giugno 1946.     

Algebre Booleane e loro struttura interna analitica (funzionale e matriciale) e geometrica (metrica e topologica)

Sunto In un'algebra booleana finita si presenta il fatto nuovo che molte delle strutture in essa costruibili a partire dai suoi elementi, sono intimamente connesse, si da essere aspetti diversi della stessa cosa. Si rileva che funzioni intere (cioè quelle che si ottengono operando su una variabile booleana con le operazioni booleane) matrici, ideali, filtri (e le formazioni più ampie che sono gli intervalli) e classi di equivalenza, mostrano appunto questo allacciamento. Inoltre, ognuna di queste formazioni dà in sostanza origine ad altre algebre booleane o a queste isomorfe, o di queste qiù ampie. Quindi, in un certo senso, il campo booleano è completo, riproducendosi in sè per quasi tutte le strutture in esso fattibili. Ma vi è di piu. Se nella formulazione del concetto di misura si abbandona l'idea del numero, quale ? misura di estensione ?, riesce possibile stabilire un concetto di ? di stanza booleana ? di due elementi booleani, la quale soddisfi alla fondamentale relazione triangolare e alla condizione di annullarsi quando e solo quando gli elementi coincidono. Potremo perciò parlare di una metrica intrinseca di un'algebra diBoole; e attraverso opportune definizioni si può estendere questa metrica anche ad aggruppamenti di tre o quattro o più elementi. Ma definita che sia questa metrica ? interna ? viene anche definita, oltre la struttura algebrica, e quella di geometria metrica, una struttura topologica interna. Ed è appunto quanto esprimiamo im questo lavoro, ricollegandoci ad altri precedenti (*) A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Un metodo numerico per la determinazione del carico critico nelle strutture lineari

Sunto L'impostazione energetica del problema dell'instabilità dell'equilibrio porta ad un problema variazionale: di determinare cicè una funzione η (configurazione) che renda minimo un rapportoK (carico critico). Tale problema conduce a sua volta ad un'equazione differenziale del 2^o ordine difficilmente risolubile nei casi pratici. Oppure si può ricorrere a due metodi approssimati: il metodo diRitz e il metodo delle successive approssimazioni. Questi metodi, che pure comportano notevoli difficoltà se condotti per via analitica, trovano un'efficace applicazione se le configurazioni η vengono rappresentate numericamente, nel modo illustrato nel testo. L'errore inerente alla rappresentazione numerica, per sua natura discontinua (divisione della struttura in intervalli finiti) viene pressochè eliminato con l'introduzione di un termine correttivo. Nel corso della Nota viene anche illustrata la seconda espressione del carico critico nel caso di aste compresse in sommità, e viene dimostrato perchè tale espressione porti a risultati più approssimati.     

La geometria delle funzioni analitiche di più variabili ed i teoremi di esistenza e di unicità ad esse relativi

Sunto Dopo aver classificato e caratterizzato le varietà algebroidi dello spazio reale a2n dimensioni, rappresentativo din variabili complesse, più importanti dal punto di vista delle trasformazioni pseudoconformi, l'Autore dà i teoremi di unicità e di esistenza concernenti una funzione analitica dellen variabili, della quale sia assegnata la traccia (colle condizioni che occorrono) sopra una varietà algebroide di dimensione qualunque.     

Sulla geometria d'una superficie poco differente da un ellissoide con applicazione al caso della Terra

Sunto Si assumono come punti corrispondenti, sulla superficieS e ‘sull’ ellissoide, due punti situati su una stessa normale diS, ammettendo che l'angolo delle normali alle superficie in due punti corrispondenti sia una piccola quantità della quale si possa trascurare il quadrato. Si confrontano in questa ipotesi gli elementi metrici diS con i corrispondenti ellissoidici, studiando in particolare le trasformate ellissoidiche delle geodetiche diS. Si fa una applicazione della teoria alla determinazione del ? geoide ? per mezzo delle deviazioni della verticale, ponendo questa determinazione su fondamenti più rigorosi.