二倍角正弦、宗弦、正切公式的几何解释

注：①由计算△MCB面积得：1/2×1×1×sin（π-2α）=1/2×（cosα＋cosα）×sinα→sin2α=2sinα·cosα．     

用向量方法证明和差化积公式

公式1/2（sinα＋sinβ）=sinα＋β/2 cosα-β/2 1/2（cosα＋cosβ）=cosα＋β/2cosα-β/2     

差角余弦公式

欲求差角余弦，单角交替出现；配上柯柯赛赛，中间加号相连． 说明：差角余弦公式就是cos（α-β）=cosαcosβ＋sinαsinβ.     

有趣的正弦平方差公式

苏教版必修4第99页上有这样一道习题:"求证:sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β".这个公式形式优美,与平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的结构十分相似,体现了数学的形     

用三面角公式求二面角大小

先介绍三面角公式：如图1,设O-ABC为一个三面角,∠AOB＝α,∠AOC＝β,∠BOC＝γ,二面角B-OA—C的大小为θ,则有cosθ=（cosγ-cos αcosβ）/sin αsinβ。     

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A,B,C为单位圆x2＋y2=1上的三个点,且△ABC为正三角形,则可设A,B,C的坐标分别为A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,C（cosγ,sinγ）．若k为整数则有如下结论：     

由三弦定理想到的新定理

由文[1]中的三弦定理是：如图1,已知PA、PB、PC是⊙O的三条珐,记∠APB=a,∠BPC=β,则PB·sin（α＋β）=PC·sinα＋PA·sinβ．     

张角公式的若干应用

张角公式如图1，设点C在线段AB上，AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β，则sin（γ，β）/PC=sinγ/PB＋sinβ/PA。     

一道三角不等式的引申推广

最近笔者得到一个漂亮简洁的三角不等式(引理1),并由此引申、推广出若干个优美的三角不等式,现介绍如下,供参考.引理1设α,β均为锐角,则有1sin2α 1sin2β≥2sin(α β),当且仅当α=β时取等号.证1sin2α 1sin2β≥21sin2αsin2β=1sinαcosβ·cosαsinβ≥2sinαcosβ cosα     

一个三角不等式的几何证明

题目 若a∈［π/4,π/2）,证明：（1＋sinα-cosα）/sinα≥√2.     

斯坦纳定理的又一个证明

<数学通报2005年第3期数学问题解答栏1539题为:"已知:α、β为锐角,且sin2α/sin(2α+β)=sin2β/sin(2β+α).求证:α=β".……     

四面体的一个体积公式--三面角的棱面角公式的一个应用

文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1　在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1…     

多角度证明教材习题

1．教材习题呈现 在人教版《必修4》习题3．1的B组中有一道练习题：如图1，考虑点A（1，0），D（COSα，-sinα），B（cosβ，sinβ）.     

一个三角题设的充分性之辨

题目已知sinα＋sinaβ=sinαsinaβ,求sinα＋β/2的值．     

利用最值范围调节处理两类多元问题

涉及多元的数学问题，有两类可以通过最值范围调节转化后简捷获解．1条件等式处于“最值状态”的相等问题如果多元问题中的条件等式（或其等价形式）处于一端恰好是另一端的最值的极端情形，则可利用取最值的条件沟通已知与所求之间的关系而收化难为易，以简驭繁之功效．这类问题的一个显著特点就是条件等式的个数少于“元”的个数．例1已知cosα＋cosβ－cos（α＋β）＝，求税角α、β的值。解化条件式为知等号成立，于是据二元平均值不等式取等号的条件得1－cosβ＝cosα且sinβ－sinα，注意到α、β为锐角知sinα＝sinβ＝，即例2已知…     

三角“条件求值”问题的一些解法

1　代入法例 1　已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α β) .csc(α -β)值 .解　∵　　　 tgα .ctgβ =5,∴　 sin(α β) csc(α -β) =sin(α β)sin(α -β)=sinαcosβ cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ 1tgαctgβ - 1=5 15- 1=32 .2　配凑法例 2　已知 π2     

一道联考题的多角度思考

题目 （2006年高三第6次全国大联考（湖北专用）第19题）设0〈α〈π，0〈β〈π，α=（cosa，sina），b=（1-cosβ，sinβ），且a&;#183;b=3/2-cosβ。     

两个引理及其推广的再推广

文[1]介绍了有关不等式的两个引理及其推广命题1-4.本文将两个引理及其推广命题再作进一步推广.引理1的推广设α,β均为锐角,n∈N ,则1sinn2α sin1n2β≥sinn(2α β)(1)当且仅当α=β时取等号.证sin1n2α sin1n2β≥2sinn2α1sinn2β=12n-1(sinαcosβ.cosαsinβ)n≥(sinαc     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

等变不等 应用升级

高中数学课本的各种版本都有如下两个优美的三角恒等式:(1)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2;(2)cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2.若从正余弦函数的有界性来分析研究,则可得到如下两个三角不等式: