2009年湖南理科卷第15题解法探究

2009年湖南理科卷第15题为： 将正△ABC分割成n^2（n≥2，n∈N^＊）个全等的小正三角形（图1、图2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅸ)

例题讲解65．设O是凸多边形A1A2…An内部的一点，已知O与凸多边形的任意两个顶点构成等腰三角形，求证:O对到凸多边形每个顶点的距离均相等．证明只要证明O到任意两个相邻顶点的距离都相等，不妨考察顶点A1、A2，我们证明OA1＝OA2，注意在等腰三角形中若有一角为钝角或直角，则央这角的两边是等腰三角形的两腰．由已知，△OA1A2是等腰三角形，若A1OA2≥90°，则有OA1＝OA2；若△A1OA2＜90°，我们过O点作l1OA1，l2OA2，则l1、l2相交于O且将平面划分为四部分（图1）．若在③中有凸多边形的顶点Ak，则易知A1OAk、A2OAk均不小…     

高二年级期末复习自测题

选择题： 1．已知集合S={a,b,c）中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是（ ） （A）锐角三角形． （B）直角三角形． （C）钝角三角形． （D）等腰三角形．     

新解几道中考压轴题

<正>例1(陕西省2012年25题)如图,正三角形ABC的边长为3+3～(1/2).(1)如图1①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;     

第二届全国中学生数学冬令营竞赛试题

第一天 (1987年1月13日8:00——12:30) 一.设n为自然数,求证方程z~n+1-z~n-1=0 有模为1的复根的充分必要条件是n+2可被6整除。二.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分,过各分点作平行于其它两边的直线,将这个三角形分成小三角形,各小三角形的顶点都称为结点,在每一结点上放置了一个实数,已知①A,B,C三点放置的数分别为a,b,c; ②在每个由有公共边的两个最小三角形组成的菱形之中,两组相对顶点上放置的数之和相等。     

Whc134的解决

文［１］中提出的第１３４个问题是：当ｋ取某个大于１的值时,是否存在某类三角形,使　ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３△＋ｋ［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］（１）仍成立？ｋ取任何正值都有相应的三角形使不等式成立吗？事实上,当ｋ≥３时,由ａ２＋ｂ２＋ｃ２≤４３△＋３［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］知除正三角形外,不存在任何别的三角形使（１）式成立;图１当１＜ｋ＜３时,除正三角形外,还存在等腰三角形和不等边三角形使（１）式成立．下面我们证明这个结论．证明　对任意△ＡＢＣ,以它的一条中线ＡＤ…     

一个结论的商榷

本刊2007年第23期刊载了纪保存老师的《正三角形向量特征的推广》一文,其结论3是：在n边形A1A2……An（n≥3）中,设A1A2=a1,A2A3=a2,……AnA1=an,则n边形A1A2…An是正n边形的充要条件是所有首尾相连的两个向量的数量积都相等,     

关于棱柱的一个猜想的证明

文[1]给出了一个关于棱柱的猜想： 任意棱柱A1A2…An-2-A1′A2′…An-2′（n≥5）内一点P，P分该棱柱体积棱锥化定比为F（P）=（m1，m2，m3，…，mn），分过P且平行于底面的截面的面积三角形化定比为f（P）=（λ1，λ2，λ3，…，λn-2）则m1＋m2=1/3，mi=2/3λi-2（i≥3，i∈N＋）．     

对一类几何问题的初探和猜想

定义1在凸2n 1边形（n是自然数）中，如果一个顶点和一条边在它们两旁所夹的边数相等，我们就把这个顶点和这边的中点的连线段叫做这个2n＋1边形的中对残；在凸2n边形（n是不小于2的自然数）中，如果有两条边在它们两旁所夹的边数相等，我们就把这两边的中点的连线段叫做这个2n边形的中对线．定义2在凸2n边形中，如果它的一条对角线的两旁的边数相等，那么我们就把这条对角线叫做主对角线．显然，在三角形中，中线与中对线是同一概念．同样，梯形的中位线也是如此．我们知道，二角形的中线平分这个三角形的面积，这些中线不仅共点，而且所共…     

旋转与四点共圆

<正>贵刊2017年8月下,刊发了《例谈旋转角的确定及其在解题中的应用》,我读后收获良多,进一步思考:由旋转角相等带来等角的条件证明四点共圆,借助圆可便捷地导角,更灵活地解几何综合题.现与同学们分享如下.1旋转共顶点相似三角形与等角在初二学习全等三角形时,我们遇到这样的题目:共顶点的等边三角形可证得全等三角形(如图1);将条件弱化,共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形(即相似的两个等腰三角形),仍可得全等三角形(如图2);将条件再一般化,共顶点的相似三角形,仍可得相似三角形(如图3).至此,三个图可化归为图3.在初三学习旋转后,从动态角度看,     

关于Erdos-Jacobson-Lehel 问题的门槛

设σ(k,n）表示最小的正整数m，使得对于每个n项正可图序列，当其项和至少为m时，有一个实现含k 1个顶点的团作为其子图。Erdos等人猜想：σ(k,n）＝（k-1)(2n-k) 2.Li等人证明了这个猜想对于k≥5，n≥（^k2））＋3是对的，并且提出如下问题：确定最小的整数N（k），使得这个猜想对于n≥N(k）成立。他们同时指出：当k≥5时，[5k-1/2]≤N(k）≤（^k2) 3.Mubayi猜想：当k≥5时，N(k）＝[5k-1/2]。在本文中，我们证明了N（8）＝20，即Mubayi猜想对于k=8是成立的。     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０１６两个相似的不等边三角形的各边均为整数，且其中一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边均为１９９６，求其相似比的可能值及所有可能的相似三角形的对数．解设最长边为１９９６的三角形的最短边...     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点     

一个命题的应用

读了贵刊82年第4期中《三复数组成正三角形的充要条件教学探讨》一文很受启发,王先俊同志采用循序渐进的编排方法,对命题“z_1,z_2,z_3组成一等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式z_1~2+z_2~2+z_3~2=z_2z_3+z_3z_1+z_1z_2”作了多种证明,考虑到该命题很有实用价值,我想在王文的基础上再补充讲授运用该命题来方便地解决一类涉及正三角形顶点的计算,证明和求轨迹等问题,以提高学生对此命题的认识。例1.已知一个正三角形的两个顶点分别是A=1,B=2十i,求表示第三个顶点C的复数。解:据命题性质有     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

初中平面几何基础培优讲座之十 正三角形综合练习(下)

<正>例12(1991年北京市中学生数学竞赛初二年级复赛试题四)如图11,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作ー个60°的角,角的两边分别交AB于M,交AC于N.连接MN,形成一个三角形AMN.求证,△AMN的周长等于2.证明因为∠ABC=∠ACB=60°,∠CBD=∠BCD=30°.     

两个有趣的几何发现

本文介绍笔者最近发现的两个有趣的几何结论. 定理1 若凸m边形内有互不相同且任意三点都不共线的n(n∈N*)个点,把这n个点再加上m边形的m个顶点共m+n个点作为顶点,连线组成互不重叠的小三角形,则一共可以组成的小三角形的个数为f(m,n)＝m+2n-2.     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…