机械求积法及其外推算法求解Helmholtz非线性边界积分方程

当Helmholtz微分方程转化为非线性边界积分方程后,可以利用机械求积法求得近似解,此方法具有较高的收敛精度阶O(h3)和较低的计算复杂度.构造机械求积法时,一个非线性方程系统通过离散非线性积分方程得到.此外,每个矩阵元素的值都不需要计算任何奇异积分.根据渐近紧理论和Stepleman定理,整个系统的稳定性和收敛性得到了证明.利用h3-Richardson外推算法,收敛精度阶可以提高到O(h5).为了求解非线性方程组,利用Ostrowski不动点定理研究了Newton的解的收敛性.几个算例从数值上说明了本算法的有效性.     

平面双调和问题的第一类边界积分方程的高精度求积方法与外推

借助位势理论,平面双调和方程的Dirichlet问题被转化为第一类边界积分方程组,本文使用新型的反常积分的求积公式构造出解造解此类边界积分方程的机械求积方法,证明了该方法具有O（h^3)阶精度和误差的h^3幂渐近展开,故借助Richardson外推还能提高精度阶。     

二次有限元解的渐近展开与外推

在Poisson方程的求解域Ω存在一致的三角剖分,并且相邻两初始单元构成平行四边形的假设下,证明了若Poisson方程的解u属于H6(Ω),那么二次有限元的误差有h4的渐近展开.基于误差的渐近展开,可以利用h4-Richardson外推进一步提高数值解的精度阶,并且能够得到一个后验误差估计.最后,一个数值算例验证了理论分析.     

基于不光滑边界的变系数抛物型方程的高精度紧格式

本文讨论基于不光滑边界的变系数抛物型方程求解的高精度紧格式.首先构造一般变系数抛物型方程的高精度紧格式,并在理论上证明格式具有空间方向四阶精度.然后针对非光滑边界条件,引入局部网格加密技巧在奇异点附近进行不均匀的网格加密.数值实验以期权定价中Black-Scholes偏微分方程的求解为例,验证高精度紧格式用于光滑边界条件的微分方程离散可以达到四阶精度.对于处理非光滑边界条件,网格局部加密技巧能有效的提高数值解精度,使得高精度紧格式用于定价欧式期权可以接近四阶精度.     

具有幂函数反应项的分数阶多孔介质方程解的爆破性

本文研究了一类具有幂函数反应项的分数阶多孔介质方程Dirichlet边值问题解的爆破性.首先,由于分数阶Laplace算子的非局部性,利用Caffareli-Silvestre扩展方法将非局部的原问题等价地转化为具有动力边界条件的局部椭圆型方程定解问题.然后,在此基础上,通过凹函数法得到局部解的爆破性;最后,利用全局解的一致有界性,得到方程全局解的长时间渐近性态.     

三维区域上Qrot1元的渐近展开及外推

本文研究了正方体区域上Qrot1非协调元渐近展开式.利用林群、吕涛等提出的有限元误差渐近展开法,获得了正方体区域上Qrot1非协调元特征值的误差渐近展开式.理论分析和数值实验结果表明三维Qrot1非协渊元特征值外推公式是有效的,可以把特征值的精度从二阶提高到四阶.     

二维土壤溶质输运方程基于POD方法的降阶CN有限元外推算法

首先给出二维土壤溶质输运方程时间二阶精度的Crank-Nicolson(CN)时间半离散化格式和时间二阶精度的全离散化CN有限元格式及其误差分析.然后利用特征投影分解(proper orthogonal decomposition,简记为POD)方法对二维土壤溶质输运方程的经典CN有限元格式做降阶处理,建立一种具有足够高精度、自由度很少的降阶CN有限元外推格式,并给出这种降阶CN有限元解的误差估计和外推算法的实现.最后用数值例子说明数值结果与理论结果是相吻合的.     

非饱和土壤水流方程基于特征投影分解方法的降阶CN有限元外推模型

利用Crank-Nicolson有限元方法和特征投影分解方法去建立二维非饱和土壤水流方程的一种维数很低,精度足够高的降阶CN有限元外推模型,并给出这种降阶CN有限元外推模型的降阶近似解误差估计和算法实现.最后用数值例子说明数值结果与理论结果相吻合,并阐明这种降阶CN有限元外推模型的优越性.     

二维土壤溶质输运方程基于POD方法的降阶CN有限体积元外推算法

利用Crank-Nicolson(CN)有限体积元方法和特征投影分解方法建立二维土壤溶质输运方程的一种维数很低、精度足够高的降阶CN有限体积元外推算法,并给出这种外推算法的降阶CN有限体积元解的误差估计和算法的实现.最后用数值例子说明数值结果与理论结果相吻合,并阐明这种降阶CN有限体积元外推算法的优越性.     

关于热传导方程半离散差分格式的一个注记

本文研究了热传导方程初边值问题的半离散化差分格式直接解算法.分别从Dirichlet和Neumann边界条件出发,直接由空间差分格式导出与时间相关的一阶常微分方程组,随后通过正/余弦变换获得了原方程的半解析解,并给出了相关收敛性分析.并对中心差分格式和紧差分格式的精度差异,通过矩阵特征值理论给出了相关原因分析.另外,对于二维热传导方程初边值问题,应用矩阵张量积运算,该直接解算法可直接演变成二重正(余)弦变换.该方法由于不涉及时间上的离散,从而具有较好的计算效率.