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同学们在解方程或不等式组时,经常会遇到"无解"这样的问题,现将有关类型归纳如下,供同学们学习时参考.一、一元一次方程的无解例1关于x的方程a(2x+1)=12x+3b,问:当a、b为何值时,(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程没有解.分析对于一元一次方程ax=b,(1)当a≠0时,方程有唯一解;(2)当a=0,b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,b≠0时,方程没有解.将已知方程化为ax=b的形式,逆向应用 相似文献
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不等式经常与函数导数结合在一起,作为高考的压轴题出现.而有几类不等式成立问题极易混淆,需引起同学们的注意,现举例如下:一、找准自变量,解决不等式恒成立问题例1已知不式mx2-2x-m+1≤0,设此不等式对于满足2≤x≤3恒成立,求m的取值范围. 相似文献
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学生上完选修4-5《不等式选讲》第二讲"柯西不等式"不久,一个学生拿着一道题来问我,原题如下:题目:设x+y+z=19,求函数 相似文献
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大家知道:形如|x 2| |3x-5|≥4x 3或|x 2| |3x-5|≤4x 3的不等式,一般采用对x分区间去绝对值的方法来求解,因此较为麻烦.下面将给出这类问题的一种快速解法,为此,我们先给出这类不等式的两个同解定理。 相似文献
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问题1:已知x,y,z是正数且x+y+z=1,求证:(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.文[1]利用均值不等式给出问题1一个简单初等证明,为便于学生的理解与掌握,文[2]给出该不等式的一个加强形式: 相似文献
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用次数分析法求解有关不等式的竞赛题 总被引:1,自引:0,他引:1
容易看到 ,绝大多数有关不等式的公式有着一种齐次化的倾向 ,如平均值不等式 ,柯西不等式 ,排序不等式等等 .这就暗示我们 ,对于一些有关不等式的问题 ,可以从式子中字母的次数上寻求解题的突破口 ,尤其是齐次化的解题策略 .下面以几个有关不等式的竞赛题为例 ,加以说明 .例 1 设 x,y,z是正实数 ,且 xyz=1 .证明 :x3( 1 + y) ( 1 + z) + y3( 1 + x) ( 1 + z) +z3( 1 + x) ( 1 + y) ≥ 34 ( 1 )分析 要使不等式 ( 1 )成立 ,只需证 x4+ x3 + y4+ y3 + z4+ z3 ≥ 34( 1 + x) ( 1 + y) ( 1 + z) ,即证 4( x4+ x3 + y4+ y3 + z4+ z3 ) ≥ 6… 相似文献
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题目 (人教A版教科书“不等式选讲”P10-9)已知x、y∈R,求证:x2+y2/2≥(x+y/2)2.
学生会用配方法或均值不等式证明此题,教师可因势利导地启发学生把此不等式推广为以下形式,即x12+x22+…+xn2/n≥(x2+x2+…+xn/n)2,记作(※)式,其中取“=”的充要条件是x1=x2=…=xn,这里x1、x2、…、xn∈R,且n-1∈N+.
笔者运用辐射式范例教学法,设计出关于上述平方均值不等式(※)的典型证法和发散应用的教学框架. 相似文献
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三个同学对2006年上海高考理科第12题:"关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围"提出各自的解题思路.…… 相似文献
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1问题的提出在选修4-5《不等式选讲》的模块测试中,有这样一道题:已知不等式|3x-a|>x-1对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.学生的答卷中有下面两种解答:解答1由绝对值不等式的等价形式|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)可知:原不等式等价于3x-a>x-1或3x-a<1-x,即a<2x+1或a>4x-1.已知不等式|3x-a|>x-1对x∈[0,2]恒成立等价于a<2x+1或a>4x-1对x∈[0,2]恒成立,即a<2x+1对x∈[0,2]恒成立或a>4x-1对x∈[0,2]恒成立.则 相似文献
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文[1]提出了数学问题1863:
设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值.
文[2]给出了一个需要较高技巧的证明.笔者将利用平均值不等式,给出一种十分简洁的证法.
证明:猜想x=y=1时,1/x3+2/y3取最小值3. 相似文献
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最近,笔者有幸听了我区两位青年教师同课异构的研究课,授课内容是"证明不等式的基本方法"的第一课时"比较法",所用教材为人教A版《不等式选讲》.教材中共有三道例题,其中以实际问题形式出现的例2,可以抽象成如下不等式问题: 相似文献
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文[1]安振平老师提出了二十六个优美不等式,其中第十九个不等式如下:问题1:若a、b、c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a---2)(3/b---2)(3/c---2)≤1.实际上,早在文[2]中安振平老师就给出了以上不等式(例12),并利用二元均值不等式给出了证明,但需要对字母的正负性加以讨论.笔者最近研究了以上不等式,发现了一个简单且不需要讨论的换元证法,现整理如下 相似文献
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高中《代数》下册给出的二元均值不等式是 :如果 a、b∈ R,那么 a2 +b2≥ 2 ab 1当且仅当 a =b时取“=”号 .此不等式可变形为 :定理 如果 a∈ R,b∈ R+,那么 a2b ≥ 2 a - b. 2当且仅当 a =b时取“=”号 .下面谈谈对不等式 2的思考 .变式 1 不等式 2的特征是左边是商式 ,右边是差式 ,即不等式从左到右的“缩小”过程是一个“裂项”的过程 ,在此我们不妨把不等式 2叫做裂项不等式 .如果结合数列中裂项—叠加求和的方法 ,那么可以编拟许多不等式的题目 .在不等式 2中 ,若分别用 xi 代 a,xi+1代 b,i = 1,2 ,… ,n.其中 xn+1=x1,则有x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn - x1,相加可得 x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这样得到 :题 1 如果 x1,x2 ,… ,xn都是正数 ,那么x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这是一道 1... 相似文献
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<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n). 相似文献