第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

一、(满分20分)一片枫叶紧紧地嵌在一个矩形框内部,即矩形的各边上都有枫叶边缘上的点,如右图.假设这个矩形框的每一条边都可以伸缩,令枫叶不动,矩形框转动,依靠框的伸缩始终保持这片枫叶紧紧地嵌在它的内部,而框始终是矩形.请说明,存在一个转动位置,这时的这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形的内部.解设转动前的矩形的长和宽的长度分别为a     

一种避开大转动奇异点的角速度数值积分方法

采用三参数描述有限转动会不可避免地遇到奇异性问题,这给由角速度积分求解转动参数带来了数值困难.系统地研究了采用转动矢量描述空间大转动的奇异性问题,在此基础上提出了一种避开转动矢量奇异点的数值积分方法.利用方向相同、模相差2π的两个转动矢量对应同一有限转动这一性质,在数值积分过程中将靠近奇异点的转动矢量切换到与之对应但远离奇异点的数值稳定区,从而避开了转动矢量奇异性给角速度数值积分带来的困难.数值算例表明所提方法简单、稳定、有效.     

关于椭圆内接平行四边形的几个定理

一、问题的提出关于椭圆内接平行四边形的问题,我们都有一个感性认识,即平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心.例如在任意椭圆内接矩形问题,一般都默认内接矩形的对称中心即为椭圆的对称中心,且各边平行于椭圆的对称轴.固然以上处理方式在某种程度特定环境下有可取之处,但倘若不加分析,总以显然(其实不显然)成立来加以处理,这就有悖于数学的严谨性、严肃性和科学性,从而使我们的数学陷入误区.这是一个发人深思的问题,因而我们必须从理性的高度来破解这一问题,让我们的学生不但会知其然,而且会知其所然.二、椭圆内接平行四边形的几个定理…     

矩形域上的插值曲面及其协调性方程

在CAGD中,曲面片的光滑拼接是一个重要问题,而在多片(三片以上)曲面的光滑拼接过程中,将不可避免的要遇到光滑拼接条件的协调性(又称相容性)问题,[4]中系统地讨论了单形上超限多项式插值及相容性问题,本文主要讨论矩形域上多项式曲面片光滑拼接的协调性方程,并在此基础上讨论了矩形域上插值曲面的构造问题.     

n阶奇异矩形的分类与性质

<正>1.引言近几年来,各地中考和比赛[1,2]中出现了关于下面n阶奇异矩形的试题,旨在考查学生的归纳推理能力.一张矩形纸片,剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第二次操作;…;若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则称原矩形为n阶奇异矩形.如图1,矩形ABCD中,若AB=2,BC=6,则称矩形ABCD为2阶奇异矩形.     

量子三体问题

提出一种处理量子三体问题的方案,它能把质心平动自由度和系统转动自由度完全地与内部自由度分离开来,从而把三体问题的Schr-dinger方程简化为只依赖于3个内部变量的联立偏微分方程组.对于任意给定的总轨道角动量l和宇称(-1)^l+λ(λ=0或1),这方程组包含的方程数目是l+1-λ个.进一步可以把波函数按一组正交完备的函数基展开, 以二体Coulomb作用为例,具体导出了波函数展开级数中的系数所满足的联立线性代数方程组. 所有的推导都没有引进任何近似, 计算误差主要来自数值计算中无穷级数的截断.     

可靠性(Ⅲ)

设我们要研究产品的两个参数X、Y.按技术文件规定生产一批n个产品.每一个产品的X、Y值可以用XY平面上的一点(X,Y)来表示.这一批n个产品的参数表现为XY平面的n个点.我们把XY平面的某一部份划分为很多小矩形格子.统计(X,Y)落在每一个小矩形格子中的相对频数.在每一个小矩形格子上建立一个直方柱,使直方柱的体积表示(X,Y)落在该矩形格中的相对频数.当按技术文件生产极多产品时,这些矩     

拟对称映射的最大伸缩商与边界伸缩商

文献[1]在研究单位圆周$\pd$上的拟对称自同胚的最大伸缩商与极值最大伸缩商之间的关系时,证明了:如果拟对称自同胚h的最大伸缩商K_q(h)不能在某个以开单位圆△为域、顶点在单位圆周$\pd$上的拓扑四边形Q处达到,则一定有K_q(h)≤H(h)成立,其中H(h)为h的边界伸缩商.这一结论在文献[1]中起着重要作用,但证明比较烦琐.该文主要给出该结论一个简单的证明,并且利用这一结论研究拟对称自同胚的最大伸缩商何时可以在某个拓扑四边形上达到.     

解带有二次约束非凸二次规划问题的一个分枝缩减方法

在这篇论文里,有机地把外逼近方法与分枝定界技术结合起来,提出了解带有二次约束非凸二次规划问题的一个分枝缩减方法;给出了原问题的一个新的线性规划松弛,以便确定它在超矩形上全局最优值的一个下界;利用超矩形的一个深度二级剖分方法,以及超矩形的缩减和删除技术,提高算法的收敛速度;证明了在知道原问题可行点的条件下,该算法在有限步里就可以获得原问题的一个全局最优化解,并且用一个例子说明了该算法是有效的.     

万能的菱框

取四条等长的木片或竹片制成一个各边可绕其顶点转动的活动菱形框ABCD(大型的可用两付报纸夹拼成),它有多种用途,分述如下: (1)可作已知线段l的平行线及平行四边形(包括菱形)。 (2)可平分已知角(?)置菱框一顶点(A)A＇使两条夹边AB与AD分别落在A＇B＇与A＇D＇上,则AC即为所求.     

趣谈“0.618”

你知道什么样的矩形最美吗 ?1 0 0多年前 ,德国心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形 ,专门办了一个“矩形展览会”邀请了 592位朋友前往参观 ,并请大家参观后投票 ,每人选择一个自认为最美的矩形结果 ,被选中的四个矩形的“长 宽”分别为 :5 8,8 1 3,1 3 2 1 ,2 1 34,这四个矩形的宽与长的比例分别为 :5∶8≈ 0 .6 2 5,8∶1 3≈ 0 .6 1 5,1 3∶2 1≈ 0 .6 1 9,2 1∶34≈ 0 .6 1 8.令人惊奇的是 ,这些比值都在 0 .6 1 8左右 .其实 ,比弗希纳早得多的是 ,公元前 50 0年古希腊毕达哥拉斯学派就对此发生了兴趣 .他们发现当长方形的宽与…     

图形中的数字趣题

近年来,在中考题中频频出现与图形有关的数字问题,解决此类问题的方法是:①认真读图、识图,从图中挖掘出数字之间隐含的规律;②根据数字之间的规律寻找解题策略,明确解题步骤,规范解出答案.例1(2005年四川省)如图1是一个数表,现用一个矩形在数表中任意框     

探究“筝形”的性质与判定

<正>亲爱的同学,你放过风筝吗?一手拿着线轴,一手拉着长线,眼睛紧紧地盯着自己放飞的风筝.风筝在空中颤颤悠悠,翩翩起舞,向着蓝天,向着白云……课本学习中没有学习过"筝形","筝形"是特殊的四边形.这里,我们用探究平行四边形、矩形和菱形的思路与方法 (可见文[1]、[2]、[3])探究一下"筝形".什么叫筝形呢?一、定义有两组邻边分别相等的四边形     

机械振动及特征值问题

<正> 1.问题的来源在各类的机械振动问题中,临界频率是一个很重要的问题,凡电机转动、飞机螺旋桨的转动、船舶推进器的转动、横梁的振动、离心机械的转动、纺绽的转动等各种问题都出现相类似的振动问题,这类振动问题的临界频率之计算是工程设计中的一个重要问题,如果     

对一个用料最省问题的探讨

文 [1 ]讨论了用矩形剪切扇形如何用料最省的问题 ,本文拟研究其对偶问题 :如何用扇形的材料剪切出一个面积最大的矩形 ?设扇形的半径为Ｒ ,圆心角为α( 0 <α≤π) ,则问题等价于求其面积最大的内接矩形 .为了便于讨论 ,先说明一个事实 :圆心角在 0～π间的扇形 ,其内接矩形的位置只有两类 .第一类 :矩形的两个顶点在圆弧上 ,另两个顶点分别在扇形的两条半径上 ,即矩形关于扇形的对称轴对称 (图 1 ) ;第二类 :矩形的两个顶点在扇形的同一条半径上 ,另两个顶点分别在圆弧及另一条半径上 (图 2 ) (可以用平面几何知识证明这一事实 ,限于篇幅 …     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

基于混合非单调下降条件的直接搜索方法

基于混合非单调下降条件提出了一种网格步长的更新策略.这种策略要求发现强最小网格单元框时网格步长快速下降,而发现其他拟最小网格单元框时缓慢下降.这种混合非单调下降策略可以避免网格步长下降太快,又能够比单纯非单调下降条件更好地保证直接搜索算法的收敛性.基于这一策略,本文提出一个直接搜索算法,并证明了该算法的全局收敛性.数值试验表明,本文提出的算法是很有竞争力的直接搜索算法.     

再探一类矩形面积最大值问题的初等解法

<美国数学月刊>2004年1月问题11057[1]为: 设x,y,z为实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值. 文[2]试图给出上述问题的解答,但解答有误.郭要红老师等在文[3]中指出了文[2]错误的原因,并给出了上述问题的一个微分解法.     

常用一元分布间的关系

1.引子 在概率论的初级教程中,学生通常是学习常用的一元分布,而大多数概率论入门教程都是在若干部分孤立地讨论每一个分布.这种教程造成的障碍之一就是学生不能抓住各个分布的全部的相互关系.这篇文章即是通过绘出并讨论一个图示来克服这种不足. 2.讨论 图中表示出常用一元分布间的一些关系,这些分布也许是一本概率论人问教程所能够提到的.共有9个离散型分布,表示在图的上方部分.还有19个连续型分布.每一个框的第一行是分布的名称,第二行为分布的定义区间,最后一行是分布的参数.这些参数必须满足下列条件:n是整数;0相似文献   

依靠“基本套路”,践行“单元教学”——以“矩形、菱形”第1课时教学为例

初二几何中特殊的平行四边形(如矩形、菱形及正方形)教学时,常常是分别研究矩形、菱形及正方形,一个一个地开展研究,而且有些教师还将矩形的性质专门安排一课时,矩形的判定再安排一课时,似乎担心学生接受不了,各个击破,然后辅之以大量的练习题美名为巩固训练.经由《中学数学》等刊物推介的李庾南老师倡导的单元教学表明,基于数学知识的前后一致、逻辑连