分段函数问题综述

所谓分段函数 ,现行高一数学教材是这样描述的 :有些函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数通常称为分段函数 .对于分段函数 ,不论它分多少段 ,它总是一个函数 ,而不是几个函数 .分段函数的定义域是各段解析式中自变量取值集合的并集 ,值域是各段解析式函数值集合的并集 .本文结合实例对分段函数的常见问题及解法作一归纳 .1　求分段函数解析式例 1　已知偶函数 y =f(x) ,当x≥ 0时 f(x) =-x2 +2x ,求R上 f(x)的解析式 .解　设x <0 ,则 -x >0 .因为当x≥ 0时 ,f(x) =-x2 +2x ,所以 f(-x) =-x2- 2x .又…     

一类函数奇偶性问题的简捷解法

例1 已知,f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x~2-x-2,求x<0时f(x)的解析式。解∵ g_1(x)=-x与 g_2(x)=-x~2 2 (x<0) x~2-2 (x>0)都是定义在(-∞,0) ∪(0, ∞)上的奇函数,故g_1(x) g_2(x)也是定义在上述定义域的奇函数,由已知条件及符合条件的函数是唯一的,得x<0时,f(x)的解析式是-x~2-x 2。一般地,容易证明下列结论: 命题 f_1(x)与f_2(x)分别是定义在D＇∪D上的奇函数与偶函数(其中上D与D＇关于原点对称),当x∈D时,f(x)=f_1(x) f_2(x),则当x∈D＇时,     

一个非等价转化问题的探究

某资料上有这样一个问题:问题|2x-a|+2/x≥1对任意x>0都成立,求a的取值范围.给出的解法是:原不等式等价于a≤2x+2/x-1或a≥2x-2/x+1,令f(x)=2x+2/x-1,g(x)=2x-2/x+1,则原不等式对任意的x>0都成立,等价于:对任意的x>0都有a≤f(x)或a≥g(x).由f′(x)=2-2/x~2,g′(x)=2+2/x~2可得:在(0,+∞)上,[f(x)]_(min)=f(1)=3,g(x)是增函数,值域为R,所以a≤f(x)对任意x>0都成立     

2020年全国Ⅰ卷文科数学函数题的探究

<正>1问题呈现(2020全国Ⅰ卷文科数学第20题)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.分析与解(1)当a=1时,f(x)=e^x-(x+2),∴f′(x)=ex-(x+2),∴f′(x)=e^x-1,令f′(x)=0,我们得到x=0,所以当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0;所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

读的懂易操作的极值点偏移

<正>近年高考涉及极值点偏移方面题不断出现,平时考试和练习更是翻新出现,花样不断,但万变不离其宗.下面从基础型极值点偏移题出发,阐述极值点偏移题的解题规程,不当之处,敬请斧正.1基础题型再现已知函数f(x)=xe^(-x),(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若x_1≠x_2且f(x_1)=f(x_2),证明:x_1+x_2>2.分析(1)f′(x)=1-x/e(-x),(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若x_1≠x_2且f(x_1)=f(x_2),证明:x_1+x_2>2.分析(1)f′(x)=1-x/e^x,f(x)单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞),     

求函数解析式的几种方法

已知一个函数适合某种性质或某种关系,求这个函数的解析式,对这个问题学生感到困难。现就这个问题介绍几种求函数解析式的方法: 一、定义法例1 已知f(1+x/x)=1+x~2/x+1/x,求f(x)。解:∵f(1+x/x)=1+x~2/x~2+1/x=(x~2+2x+1)-2x/x~2+1/x=(x+1/x)~2-x+1/x+1     

竞赛一题的本质探究

(第27届加拿大数学奥林匹克)设f(x)=9x/9x+3,计算和f(1/1996)+f(2/1996)+…+f(1995/1996).此题具体解答请参阅文[1],这里重点探讨试题的命制本质及隐含的一系列结论.试题本质若函数f(x)=ax/ax+1/2a(a>0,a≠1),则f(x)+f(1-x)=1.证明∵f(1-x)=a1-x/a1-x+1/2a=1/2a/ax+1/2a,∴f(x)+f(1-x)=ax/ax+1/2a+1/2a/ax+1/2a=1.得证.     

分割区间来解题,也是一种好方法!

高考题1(2010.福建.理.15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④"函数f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充     

从一道高考题探析函数的“三性“

众所周知,函数奇偶性、周期性及图象的对称性在函数中占有极其重要的地位,历来为命题者所钟爱,那么这“三性”到底有哪些联系呢?本文先从一道高考谈起.题目(05年广东高考第19题)设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(Ⅰ)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(Ⅱ)略.解(Ⅰ)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),得f(x)的图象有对称轴为x=2或x=7,∴f(x)=f(4-x)=f(x-4+14)=f(x+10),∴T=10是f(x)是一个周期.又f(3)=f(1)=0,f(-3)=f(-3+10)=f(7)≠0,所以f(-3)≠±f(3),故函数y=f(x)是非奇非偶函数.此解答用到了f(x…     

从一道全国高中数学联赛预赛题想起

<正>题目(2014年山东赛区预赛第二题)已知函数f(x)=sinx+(1+cos²x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t2x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t²)(1/2),t∈[-1,1],即原题等价于求g(t)的值域问题,下面从不同角度来研究此函数的值域.一、解法探究解法1平方再开方.     

构造函数求两类函数的值域

本文通过构造配对函数来解决两类函数的值域问题．1．y=ax b/x型的函数例1已知f(x)=x 4/x,x∈[1,3]求f(x)的值域．分析显然f(x)=x 4/x在区间[1,3]上不具备一致单调性．但是函数g(x)=x-4/x在区间[1,3]上却是单调递增的,于是我们只要     

一类数学试题的错因分析

<正>问题定义在R上的函数f(x)满足f(0)x=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x/5)=1/2f(x)且当0≤x1相似文献   

解抽象函数题六巧

<正>本文介绍解抽象函数题的六种技巧,目的在于使学生全面认识抽象函数,深刻理解抽象函数,熟练解答抽象函数题,以提高解答抽象函数题的能力,现举例说明.一、巧用抽象函数规律例1定义在R上的函数f(x)满足关系式f(1/2+x)+f(1/2-x)=2,求f(1/8)+     

可用图象法求解的选择题

1.若M={x|sin|x|=1},N={x||sinx|=1},则M和N的关系是( )。 (A)M=N (B)MN (C)mV (D)M∩N=φ 2.己知f(x)为偶函数,且x>0时f(x)=x (1-x)则x<0时的表达式为( )。     

新题征展(55)

A 题组新编 1.函数f(x)=2x-a/x的定义域为(0,1](a为实数). (1)若a=-1时,求函数y=f(x)的值域; (2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;     

均值法求解一类多元复合最值问题

2009年普通高等学校招生全国统一考试海南(宁夏)卷第12题:已知函数f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),求f(x)的最大值;2006年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷第12题:已知函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R),求f(x)的最小值.综观近年高考试题、各地模拟试题及竞赛试题,常常出现这类在最大值中求最小值或在最小值中求最大值的问题.对于这种复合最值问题,如果是一元复合型,则考查的目标主要是数形结合,分段解析,观察取值;然而更多的复合最值问题,     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

利用“相互关系”来“构造”二则

<正>互为:就是一个是另一个的什么的话,另一个也是这个的什么,它们之间是相互的.比如"互为倒数"、"互为相反数"、"互补"等.本文就借"相互关系"这一特征"构造"解题.例1若函数f(x)满足:2f(x)-f(-x)=x+1,求f(x).解构造方程组     

浅谈函数的性质与方程的解

函数是中学数学的重要内容之一。它与数学中其它知识有着密切的联系;本文就函数的性质与方程的解给读者介绍一些方法。一、利用函数的对称性例1 已知函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2-x).试证:方程 f(x)=0的根成对出现;并且若这个方程有四个根,试求这四个根之和。分析:由于 f(2+x)=f(2-x),这说明函数 y=f(x)的对称轴为 x=2,即 f(x)=f(4-x)∴当 x_0是方程 f(x)=0的一个根,同时4-x_0亦一定是 f(x)=0的根,故方程 f(x)=0