巧选取特例 妙解一类选择题

往往有这样一些数学选择题,它们所给的条件具有可变性,或所给的图形具有随意性,或问题的选择对象是针对一般情况给出的.倘若这时我们能从题目中获取一些暗示信息,采取一种特殊的解题策略,就能化难为易,巧妙地解答这类选择题."特例法"就是解这一类选择题的一种有效策略.我们知道,特例情况是一般情况在具体的、特殊背景下的表现形式,若能有效借助     

一般化方法解题的基本策略

在教学实际中对于一般情况而言,特殊情况往往比较熟悉且易于认识,因而常把特殊化作为实现化归的途径之一.然而,由于特殊情况往往涉及过多无关宏旨的枝节,从而掩盖了问题的关键,而一般情况则能避免在枝节问题上纠缠,更能明确地表达问题的本质特性.同时,由于限制条件减少,涉及范围增大,更容易引起联想,发现各种条件与结论之间的内在联系而使问题往往易于解决.因此,对很多数学问题,我们可以通过构造一般原型并对其进行分析,然后途经特殊化而获得给定问题的解决,这是数学中常用的方法.     

借助特殊情形解题

<正>有些数学题,抽象程度较高,涉及的面也较宽,一时难以下手去解决.此时,不妨先从一般情况退下来,将问题"特殊化",考察命题的某些特殊情形,注意从中归纳、发现一般的规律,进而寻得解决一般问题的途径.在数学中,常用下述办法将一个问题"特殊化":(1)画出图形来,从几何直观来启发思路或看出规律;(2)用具体数字来代替一般文字,将抽象     

特殊化看问题

<正>特殊化策略即视原问题为一般情况,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原问题解决的策略,即把研究对象从原有范围缩小到较小范围或个别情形,甚至是极端情形来考察和探究.特殊化的本质是一种以退为进的策略,它符合人们从具体到抽象,从特殊到一般的思考惯性,在教学过程中不难发现,中学生在解某些小题(选择题、填空题)时,比较擅     

特殊化猜想 三角形求证

周成武老师的这篇文章很好.文章介绍的方法是"先猜后证"——先通过特殊情形猜出结果,再对一般情形进行证明.先猜:因为是对特殊情形(包括退化情形和极端情形),条件多了,容易得到结果;后证:因为有了明确的目标(具体定值),证明起来相对容易了.这种方法不仅对解决几何中的定值问题适用,而且对解决代数中的定值问题,同样也适用,是证明定值问题的一般方法.在一类平面几何探索性问题中,题目以开放型的形式出现,要求探索猜想出结论,然后再加以证明.将问题先作特殊化(又称退化或极端化)处理,即作特殊位置、特殊结构等处理,是探索结论的一条有效途径;对探索出的结论再用三角形证之.下面予以说明.     

研一道题 命一类题

本文应用从特殊到一般、再由一般到特殊的方法,探索研一道题的基本思路与具体路径:探究其一般情况,把条件和结论重新组合继续探究,换角度或背景再探究;从而用老方法发现新规律,解决新问题,进而命一类新题.     

由特殊到一般解题两例

众所周知,通常解决数学问题是借助题意条件,凭借定义、定理或性质,按照运算的一般规律进行求解.事实上,有些问题的处理可以打破惯例,从特殊出发寻找问题的着眼点得到所求,然后对一般进行验证,达到解决问题的     

立体几何中的辅助平面和辅助直线——兼与几何中的向量法唱点反调

辅助线又被称之为"几何的生命线".在平面几何中,正确地作出辅助线是问题解决的关键;同样地,在立体几何中,正确地作出辅助平面或辅助直线也是问题解决的关键.平面几何中的辅助线一般难于寻找,相比之下,作出或找出立体几何中的辅助平面或辅助直线则容易多了.要作出辅助平面或辅助直线,首先要搞清楚在什么情况情形下需要作辅助平面或辅助直线.     

解题中的辩证思维

数学中充满了辩证法,解决数学问题常常需要运用辩证思维.辩证思维就是有效地运用事物之间的矛盾性或统一性,通过联系和转化从而处理问题的思维方法.本文介绍常见的辩证思维解题策略一、二. 1 一般与特殊 一般性寓于特殊性之中,在解决数学问题时,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略. 当我们在解决一般问题遇到困难时,如果先考虑其特殊情形,常常能发现一般规律从而     

用特值检验法缩小参数的取值范围

<正>求"取值范围"是高考数学中的常见题型,一般通过对参数或变量分类讨论解决.但一些复杂问题的讨论往往情况太多,头绪繁杂,使得很多学生半途而废,甚至望而却步.然而,在一类含全称命题的问题中,如果在参数或变量的取值范围内取一个或几个适当的特殊值,代入关系式,却可以缩小其取值范围(以下称此法为"特值检验法"),简化了讨论类别.例1(2014年高考江西卷文科第18题)已     

谈“特殊”函数的特殊处理

"一般与特殊思想"是高中数学中一种重要的数学思想方法之一,特殊中孕育着一般,所以我们在解一些题目感到困难时,如果以退为进,由一般退到特殊,往往能发现解题的捷径.本文以函数问题为例,对几种"特殊"情况的把握进行说明.     

"特殊"化"一般",结论不平凡

在中学数学中,"特殊化"是一种重要的思想方法,将一般问题特殊化,可以化抽象为具体,化高维为低维,化整体为部分,化复杂为简单.但我们不能因此就夸大"特殊化"的作用,而忽视"一般化".事实上,我们在解决数学问题时,经常以特殊问题为起点,逐步分析、比较、讨论,层层深入,从解决特殊问题的规律中,寻求解决一般问题的方法和规律,并由此推广到一般.因此,特殊化是解决问题的起点,将问题一般化才是终点;特殊化是解决问题的手段,将问题一般化才是真正目的.……     

由特殊到一般解题两例

众所周知,通常解决数学问题是借助题意条件,凭借定义、定理或性质,按照运算的一般规律进行求解．事实上,有些问题的处理可以打破惯例,从特殊出发寻找问题的着眼点得到所求,然后对一般进行验证,达到解决问题的目的．下面就两道探索问题,进行分析与求解,以飨读者．     

用特殊化法解选择题

<正>特殊不能替代一般,但问题的一般性结论为真的前提是它在任一特殊情况下为真,这就是特殊化法的理论依据.运用特殊化法,常从题干或选择支出发,通过选取特殊值代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形的特殊位置,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到肯定一支或否定三支(去谬)的目的.达到     

高考中涉及的"恒"与"都"问题

在数学问题中常遇到这样一类特殊的问题:无论问题多么复杂,条件怎样变化,问题本身总是恒定、不变的,我们称之为"恒"成立或"都"成立问题."恒"成立或"都"成立问题常见的有三类:一是在某条件下曲(直)线"恒"、"都"过定点;二是在某条件下代数式"恒"、"都"取定值;三是在某条件下不等式(等式)"恒"、"都"成立.在近年的高考中每年都有涉及,"恒"、"都"成立问题常与函数、不等式、数列、解几等知识联袂出题,多以中、高难度的题型出现.本文归纳出三类"恒"、"都"问题的题型及解题方法并以2005年、2006年全国各地高考题为例进行说明.     

几何新知教学:由特殊走向一般——以“13.1.2线段的垂直平分线的性质”为例

“特殊与一般”是初中数学几个最为重要的数学思想之一,它在学生获取几何知识过程中的作用是非常明显的.在几何教学中,学生可以从图形的特殊位置或图形(线段、角等)的特殊取值出发,通过对多种不同特殊情形下结论的探究,从而不完全地归纳出可能具有一般意义的数学结论,在经过“严格论证”后,这些结论将会被应用到今后的数学学习和问题解决之中.显而易见,     

特殊化—一种重要的数学思想

所谓特殊化,是将一般问题的研究转化为特殊情形,通过特殊情形的解决而去探索一般规律,寻找解决一般问题的途径或者否定已有的猜想。这是解决数学问题的一个重要思想方法。下面举一些例子,说明在特殊化的思想指导下所显示的一些成效。一揭示事物的规律从人们认识事物运动的规律来说,总是由认识个别的和特殊的事物逐步扩大到认识一般事物的,从许多特殊事物中,概括出它们共同的本质。例1 观察凸多面体的面数、顶点数、棱数,寻找它们之间的关系:     

自主招生中的组含最值试题解法赏析

<正>组合最值问题,即求解组合中的"最大值"或"最小值"的问题.这是自主招生考试中的热点问题,由于其解答的思路与数学竞赛较为贴近,这类问题往往会具有较大的难度,是考生在自招考试中冲击高分的关键.若要完整地解决一道组合最值问题,我们一般要做好"构造"与"论证"这两件事:构造一种特定情况,说明题目中所求的最值的确是可以取到的;对一般情况,证明其取值的确比组     

圆的性质在有心二次曲线中的推广及应用

圆是一种特殊的二次曲线,它与一般的二次曲线相比也有很多特殊的性质。这些性质是研究圆或解决有关圆的问题的重要依据。本文把圆的某些性质推广到有心二次曲线,这对研究二次曲线或解决有关二次曲线问题将有着重要的意义。不失一般性,可设有心二次曲线的方程为:     

抓好临界位置巧解动态问题

动态型问题揭示了"运动"与"静止"、"一般"与"特殊"的内在联系,以及在一定条件下可以相互转化的辩证关系.有利于帮助考生形成运动变化的观念,提高空间想象、动手操作和综合运用的能力,在近年来中考中经常出现,成为中考压轴题的热点内容.