三角形“四心”的向量性质

三角形的外心、重心、垂心、内心是与三角形性质有密切关系的四个点.为了考查三角形的有关性质,向量与三角形四心的结合在各地考题中屡见不鲜.以下给出三角形四心的常用向量结论,并加以证明.     

三角形“四心”性质的讨论

三角形的“四心”即重心、垂心、内心和外心.通过查阅文献发现,已有的关于 三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文在已有研究的基础上,探讨三角形“四心”的其他性质限于篇幅,只就重心和内心作讨论,其余“两心”的性质可依此探讨.一、“两心”的坐标表示(1)设G为△ABC的重心,其中A(x1,y1),B(x2y2),C(x3,y3),则重心G的坐标G(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3).该结论显然成立,无须证明.     

三角形的“四心”与三角恒等式

三角形的“四心”与三角恒等式２５７３００山东广饶一中侯良田木文借助于三角形的内心、外心、垂心、分心，给出一些常见的三角形中关于角的恒等式的几何推导，从申我们可以明确地看到这些三角恒等式的几何意义．文中记西ΔＢＣ的三边分别为ａ、ｂ、ｃ，半周长为ｐ，内切...     

三角形中常见的“四心”问题

在初中,有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见．为此,我们简称为“四心”问题．重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点,内心是三角形内切圆的圆心,外心是三角形外接圆的圆心．     

三角形“四心”的性质及应用

三角形的四心,是三角形的垂心、重心、外心和内心的总称。它们分别是三角形三条高、三条中线、三內角平分线和三边中垂线的交点。其中三角形的重心和内心,显然应在三角形形内;但对于三角形的垂心和外心,其位置应依三角形的形状而定——锐角三角形     

关于三角形“四心”距离的讨论

三角形的"四心"即重心、垂心、内心和外心.通过查阅近几年中学数学类杂志刊发的有关三角形"四心"的论文资料发现,已有的关于三角形"四心"的研究主要包括"四心"的判定方法、"四心"的向量形式等方面.本文拟在已有研究的基础上,探讨三角形"四心"的距离问题.     

三角形“四心”的统一定理及其推广

近年来,对三角形“四心”位置的考查呈上升趋势．已有很多有心人就三角形的“四心”问题做了大量归纳总结,给出了很多对我们解题有帮助的定理与结论．但是读罢总觉得意犹未尽,这些纷繁的定理与结论中究竟蕴含了怎样的本质？有没有一个和谐而优美的统一结论？笔者通过探究,写成此文,以求教于大家．     

三角形“四心”问题的向量解法探析

在平面向量的复习中。很多学生对向量与三角形的“四心”这类问题不知从何人手．究其原因在于学生对三角形的“四心”定义的理解不深刻·对向量条件转化不娴熟，下面就通常出现的几类问题例析如下．     

三角形“四心”的向量表示及“奔驰定理”

数学探究活动往往强调的是发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方法.本文中从学生熟悉的三角形重心的向量表示入手,推导出三角形内心、外心的向量表示,然后由特殊到一般,猜想并证明“奔驰定理”,最后由一般到特殊,运用奔驰定理推导出三角形垂心的向量表示.     

三角形的“四心”与一组面积关系式

1981年芜湖市初中数学竞赛试题中,有如下一道几何题: △ABC为锐角三角形,过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径AA',BB',CC',求证:△ABC的面积等于△A'BC,△AB'C,△ABC'面积之和。本题中,三直径AA',BB',CC'的交点即为△ABC     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用.纵观近几年的高考题,我们已经体会到这种命题思想的变化.在平面向量在平面几何中的应用问题中,又以涉及三角形“四心”的试题为热点.由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系,这就为运用向量解决这类“心     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用。纵观近几年的高考题，我们已经体会到这种命题思想的变化。在平面向量在平面几何中的应用问题中，又以涉及三角形“四心”的试题为热点。由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系，这就为运用向量解决这类“心”题提供了可能性，预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度。对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件，并结合部分高考题，说明这些充要条件的应用，供复习参考。     

三角形四心的向量形式

近几年全国各地高考试卷中有不少题与三角形的“四心”有关,学生在解决这些问题时错误率较高,甚至是无从下手．笔者搜集了部分资料,结合本人积累的教学经验,利用向量的相关知识对有关三角形的“四心”的相关知识进行总结,重点体现出它们之间的结合,供读者参考．     

三角形“心距”公式

三角形“心距”公式４１０００６湖南师大附中冯跃峰１７６５年，瑞士数学家欧拉（Ｅｕｌｅｒ）发现了如下的（见文［１］）定理１（欧拉定理）设面ＡＢＣ外接Ｗ、内切国的半径分别为Ｒ、ｒ，其外心到内心的距离为ｄ，则．ｄＺ—ＲＺ一ＺＲｒ（１）这个优美对称的结果，启...     

三角形中的“投影点”与“四心点”的关系

在三角形ABC所在平面内任取一点P,从它向三边BC,CA,AB分别作正投影,得三个垂足点D,E,F,我们称△DEF为投影三角形,而叫P为投影点,所谓三角形的“四心点”是指三角形的重心、垂心、外心和内心,本文试图探讨投影点与四心点之间的某些关系以及与它们相关的三角形的一些性质。为简单起见,记BC=a,AC=b,A,B=c,A,B,C则表三角形之三角。S表面积,h_a,h_b,h_c则表示三边上的高线长,R,r相应的为外接圆与内切圆半径。记     

三角形“界心”的性质

三角形“界心”的性质１１０１４１沈阳市于洪区供销社孙哲本文在［１］的基础上，发现了三角形界心到外心的距离公式，有关界心的若干性质．在本文中，ΔＡＢＣ的三边ＢＣ、ＣＡ和ＡＢ上的周界中点依次为Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ的交点即界心为Ｇ，并记ＢＣ＝ａ，Ｃ...     

平面向量与三角形的四心

<正>在初中学习三角形时,我们学习过三角形的"四心"及一些简单应用.所谓"四心"即重心、外心、垂心、内心.仔细研究会发现三角形的四心与平面向量有密切的联系.如果合理地运用平面向量与四心的关系,那么能够很好地解决一些相关问题.一、三角形的重心若G是△ABC的重心.则常见的向量等价     

三角形四心的向量表达式

高中数学新教材中,利用定比分点的向量表达式,可以简捷地推导出三角形的重心、内心、垂心、外心的向量表达式. 如图,在△ABC中,F是AB上的一点,E是Ac上的一点,且AF/FB=m/l.AE/EC-n/l(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数),连结CF、BE交于点D,求D点的坐标.     

向量辩析三角形的“心”

<正>在高考命题及模拟考试中,我们常常看到向量与三角形知识的交汇题型,其中与三角形的心有关的向量问题,是极富思考性和挑战性,具有相当深度和难度的.