用极坐标巧妙避开韦达定理

<正>在最近的两次考试中,我的解析几何大题都没有计算出最后的结果.考后,我想主要是因为其计算繁琐需要大量时间,于是我优化解题方法,用极坐标法简化计算过程,可节省大量时间,希望与读者分享.例1已知椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左右焦点F_1、F_2,其离心率e=1/2,点     

一元二次方程两根差及其应用——复习韦达定理的教学补充

在一元二次方程a解+bx+c=0(a>0)中,设二根为x:,二2,则根与系数的关系,不仅有:一急解之得32’7一3’ 一一口,口C/‘|l才l|.、了厂|/、l气、 2劣+劣 r之.、劣2.劣2一含(两根之柳一含(两根之积)al=一1,b,一5,或ez=0;而且还存在着两根之差的关系,即听求抛物线方产为:xZ一戈1一了bZ一4ae,,\,、一—,、内2碑声/四i/y=一二“+5二或y二表一二2十 D3_.,7一人寸叫二~.23 1.两根之差的几何意义. 设二次函数y=a二2+bx+。的图象与“轴相交于A、厅两点,即b”一4ac>o,可由在同一数轴上任意两点间距离公式,得}ABI=1二2一二,1=了bZ一4ae a 上式表示y一a解…     

巧用韦达定理

韦达定理是揭示一元n次方程中根与系数关系的重要定理。但运用于解题有时却因条件比较隐晦而失之交臂,颇为可惜。这就需要我们在审题中,观察得更精细敏锐一些,联想更广泛丰富一些,尤其要注意把握住韦达定理的特征条件。那么,韦达定理往往另有用武之地。兹举几例说明如下:     

用韦达定理速解一类题

有一类题若用常规方法来解十分艰难，但若将它与方程联系起来，巧用韦达定理，则变得十分简易，巧用韦达定理往往可以达到化难为易，事半功倍的效果．下面以一类型题加以说明．对于a＝2,4，6，8均成立，此处x，y，z，w为实数，求x2＋y2＋Z2＋w2的值．分析常规的方法是将a＝2,4,6,8代入得到4个关于x2，y2，z2,w2的一次联立方程组．然后用消元法解求出x2，y2，z2，w2，相加后得出需求的值．我们由题意可视x，y，z，w是常实数，而视a2是变数，通分后原题可以视为a2的4次方程．这个4次方程有4个根：a2=4，16，36，64，于是可以联想：所求值x2＋…     

韦达定理的妙用

韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理 ,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 .　　一、在平面几何中的应用【例 1】　 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面…     

韦达定理的妙用

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛试题： 已知椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2-1（a〉b〉0）,过左焦点F,并且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,若AF/FB=9＋4√2/7,则椭圆的离心率等于（ ）．     

韦达定理、根的判别式携手求最值

在一定条件下求某些代数式的最大值、最小值,如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来,将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.例1已知实数a、b、c满足a+b+c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.     

韦达定理及其应用

韦达定理及其逆定理是中学数学中的重要基础知识,在解决数学问题时是经常要用到的一种工具。本文只就一元二次方程根与系数的关系来谈韦达定理及其应用。     

巧用韦达定理解二次函数压轴题

<正>一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)是初中数学的难点内容.其应用非常广泛,进入高中后尤为明显,在解决有关方程、代数、三角、解析几何等问题中都有着广泛而实际的应用.近几年,越来越多的地区非常重视对该定理的考查,在各地的中考或名校的模拟考试中,经常会出现融入韦达定理的压轴题.笔者经过研究,发现在二次函数的综合题中应用韦达定理还是有规律可循的,现精选几道试题和大家分享.     

韦达定理及其应用

在中学的代数課里,曾讲授过二次方程的根与系数的关系,那就是大家所熟悉的韦达定理。它的逆定理也是成立的。这两个定理运用得很广泛,有关二次方程討論的许多問題,都可以用到它們。本文主要想給予逆定理以两个証明方法,并将这两个定理的运用作一些系統的敍述。 (一) 一般概念 設二次方程 ax~2+bx+c=0 (1)的根是x_1和x_2,那么根据求根公式有: 从这两个等式可得这就証明了下面的定理(韦达定理): 定理1.如果二次方程ax~2+bx+c=0有根,則这两根之和等于一次項的系数b除以二次項的系数a所得之商的相反数;这两根之积等于常数項c除以二次项系数a所得之商。     

巧用韦达定理解题

<正>已知一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个的根分别为x_1,x_2,求解有关x_1,x_2代数式的值是一元二次方程问题中的一种题型,解决此类问题通常有两种方法,分别是:方法 1先将已知的一元二次方程的根求出来,然后再带入到已知的代数式中计算;方法2将所求代数式进行适当的变形,然后利用韦达定理以及已知条件去求解出变形后的代数式的值.这两种方法各有利弊,方法 1思路简单,     

用韦达定理构造二次方程证一类不等式

大家熟知的基本不等式a+b≥2(ab)~(1/2)(a、t∈R~+)也可这样证明:先利用韦达定理构作一个以a、b为根的一元二次方程x~2-(a+b)x+ab=0,然后根据方程有实根的条件△≥0得到(a+b)~2≥4ab,由a、b为正数,因而获证。这一简例启发我们应用上述方法可巧证这样一类不等式:当题设和待证式(或它们的变形)中含有某两个变数的和与积,且该两数呈对称出现者。下面举例说明具体的证法。     

构造一元二次方程用判别式和韦达定理解题

方程是数学中的重要知识,特别地,一元二次方程是最基础、最重要的知识.而判别式和韦达定理是它的两大法宝,很多数学问题若用构造方程法来解决,则可以降低计算量,问题迎刃而解.本文就其几方面的应用举例如下.     

浅谈韦达定理的教学

韦达定理“如果方程ax~2 bx c=0(a■0)的两根是x_1,x_2，那么，，x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a)”.它提示了一元二次方程根与系数的内在联系,无论在代数、几何、三角,还是在解析几何中都有着其广泛的应用。然而,许多学生虽然理解了韦达定理的内容,但不能正确加以运用。究其原因,笔者以为,主要是由于教师的教法不     

韦达定理的另探

从另一角度审视一元二次方程 ,引出根与系数关系 .不妨设ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )有两个不为 0的根ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1≠ｘ2 .∵　ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,∴　 ｃａ·1ｘ=-ｂａ-ｘ .令ｙ =ｃａ·1ｘ,则ｙ =-ｂａ-ｘ .画它们的图像如图 .　　由于它们的图像都关于直线 ｙ =ｘ对称 ,所以 ,可设两图像交于Ｍ (ｘ1,ｙ1) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 )点 .则　ｘ1=ｙ2 ,　ｘ2 =ｙ1,所以　ｘ1+ｘ2 =ｘ1+ｙ1=-ｂａ.ｘ1·ｘ2 =ｘ1·ｙ1=ｃａ.这就证明了韦达定理 (当ｘ1、ｘ2 均不为零的情况 ) .其它情况也可得出相应结论韦达定理的另探$山东省单县孙六张黄…     

韦达定理的妙用一则

本题中因为直线经过左焦点F,所以线段AF、BF的长度可以依据椭圆的第二定义,转化为A、B两点到准线的距离,但是如果直线通过x轴上异于焦点的其它定点,这种转化我们将无法实现,那么此类问题如何处理呢？     

关于韦达定理的名称

二次方程根与系数之关系,常常被人称为韦达定理。这样称呼,对吗?为了说明问题,陈列定理四条如下: 定理1.二次方程x~2+px+q=0的两个根是α和β;则:     

巧用韦达定理例谈

韦达定理是一元二次方程根与系数之间关系的一个基本定理.有些题目,看似与一元二次方程并无关系,但倘若细心观察,巧妙变化,就能应用韦达定理,使问题迅捷获解. 1 巧求代数值 例1 实数a、b、c满足a=b 2～(1/2),2ab 2(2～(1/2))c2 1=0,求a b c的值. 解由已知条件得 a (-b)=2～(1/2),a·(-b)=2～(1/2)c2 1/2,根据韦达定理,a、-b可看为方程x2-(2～(1/2))x (2～(1/2))c2 1/2=0的两实数根,     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…     

构造二次方程 巧用韦达定理

大家知道,韦达定理在解答数学问题中用途十分广泛,有时甚至看起来不具备使用条件而经过构造二次方程,巧用韦达定理来进行解题。例1 有双曲线xy=1,过点,A(a,0)作斜率为m的直线,交双曲线于B、C两点,交y轴于D点,(a>0,m<0),①证明|AB|=|CD|;②若|AB|=|BC|,试用a表示m。