基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2的应用

定理如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取=),这个定理适用的范围:a,b∈R~+;我们称(a+b)/2为a,b的算术平均数,称(ab)~(1/2)为a,b的几何平均数,即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均     

均值不等式及其应用

<正>均值不等式是中学数学中的一个常见不等式,有很重要的地位,也经常被叫做均值定理,在不等式证明及求最值方面应用非常广泛.1均值不等式如果a,b都是正数,那么■,当且仅当a=b时,等号成立.对任意两个正实数a,b,数■叫做a,b的算术平均值,数■叫做a,b的几何平均值.因此把这一常见不等式叫均值不等式.     

基本不等式应用

<正>基本不等式如果a,b都是非负数,那么(a+b)/2≥(ab)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s²/4;(2)若ab=p(积为定值),则当a=b时,和a+b取得最小值     

一道最值问题的多解与本源

1.题目呈现已知两个不相等的实数a、b满足（a-b）2＋（a2-b2）2=9,则a2＋b2的最小值是.2.解法探究本题入口较宽,解法灵活多样,可以从不同的视角入手,具有较强的思维价值.视角1利用恒等式.由两个代数式用等号连接的式子叫做代数等式,当两边代数式中的未知数取任意有意义的数值时,等号两边的结果仍相等,     

重要不等式的变式在数学竞赛中的应用

将基本不等式a~2 b~2≥2ab(当且仅当a= b时等号成立)的两边加上a~2 b~2得:2(a~2 b~2)≥(a b)~2,即(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2,当且仅当a =b时等号成立.不等式(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2的左边为两个实数的平方的平均值,右边为此两个实数的平均值的平方.因而,我们称此不等式为     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

均值不等式的拓广及其应用

本文用初等方法证明均值不等式的拓广,并用它解决一些函数的最值问题. 定理 设x,y∈R+,a,b为正有理数,则 aabb(x+y)a+b≥(a+b)a+bxayb ①当且仅当x/a=y/b时,①式取等号. 证明 (1)当a,b为正整数时,由算术——几何平均值不等式,有 (x+y)a+b     

一道易错的最值题

例题设0相似文献   

不等式的性质与证明

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)理解不等式的性质及其证明.不等式的基本性质包括:比较实数大小的方法、五个定理和两个推论.比较两个实数a,b的大小通常转化为比较它们的差a-b与0的大小,而判断a-b的正负往往先要将其因式分解或配方.应注意五个定理和两个推论中有的是充要条件,有的是充分不必要条件.在充分不必要条件的应用中应注意最大值(或最小值)是否可以取到.2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.均值不等式的应用应遵循“一正二定三相等”的原则.“一正”是指用均值不等式时需保…     

先决条件不可忽视

小华和小明正在做一道“应用不等式求最值”的习题:已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求ab~2c~3的最大值。小华解:∵a+b+c=a+ b/2+b/2+c/3+c/3+c/3≥6((a(b/2)~2(c/3)~3)~(1/6)) ∴1≥6((ab~2c~3)~(1/6))/108)),即ab~2~3≤1/432. ∴ab~2c~3的最大值为1/432。小明解:根据a+b+b+c+c+c≥6((ab~2c~3)~(1/6)),当且仅当a=b=c时取等号,右式最大。又∵a+b+c=1,∴a=b=c=1/3。得ab~2c~3=1/729,既ab~2c~3的最大值为两1/729。小华看着小明的结果,诧异地说:“我们都为都是应用正数的算术平均≥几何平均’,结果怎么不同呢?”小     

平均差不等式及其应用

平均值不等式[1,2]∑naii=a/n≥n√n∏ni=1ai揭示了n个正数的算术平均不小于其几何平均,是一个应用相当广泛的基本不等式.平均值不等式(1)当仅当所有n个正数都相等时等号成立.当n个正数中有部分数不相等时,式(1)不可能有等号,此时这n个正数的算术平均与几何平均之差如何确定?     

破解“连环套式”方程组

我们知道,对于任意的实数a和b,有a2 b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号．对于正数u和v,有u v≥2uv~(1/2),当且仅当u=v时取等号．有一类方程组,它们的特征是:各方程之间环环相扣,首尾呼应．这类方程组可用配方法解决,但比较繁杂．如能利用不等式等号成立的条件来解,则能收到事半功倍的效果．     

利用均值不等式巧解三角问题

<正>均值不等式是中学数学的一个重要不等式,是证明不等式及各类最值问题的一个重要依据和方法.均值不等式的形式有多种,其中最基本和最常用的是:1当a>0且b>0时,a+b≥2(ab)^(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a²     

运用均值定理解题的错解与技巧剖析

“若a1,a2,…,an∈R+,则a1+a2+n…+an≥na1a2…an,仅当a1=a2=…=an(n≥2,n∈N)时等号成立”是一个应用广泛的平均不等式,许多外形与它截然相异的函数式,常常也能利用它巧妙地求出最值.运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容,因此必须掌握用重要不等式求函数最值的方法.一、重视运用正数、取等、定值1.注意正数例1求函数y=x+4x的值域.错解:∵x+4x≥2x×4x=4(仅当x=2时取等号),所以值域为[4,+∞).这里错误在于使用均值定理a+b≥2ab时忽略了条件:a,b∈R+.正解:当x>0时,x+4x≥2x×4x=4(当x=2时取等号);当x<0时,-x>0而(-x)+-4x≥2(-x)-4x=4…     

顾此失彼

例已知实数a、b、c满足a/b=b/c=c/a,求(b+c)/a的值.解法一(1)当a+b+c≠0时,由等比定理,得     

均值不等式的拓展、应用及思考

<正>本文以均值不等式为载体,展示其丰富多彩的拓展及广泛应用,在帮助大家提升解题能力的同时,也希望对大家深刻认识教材,理解教材有所启迪!均值不等式如果a、b都是正数,那么a+b/2≥(ab)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立     

算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

指数平均与对数平均

设 a,b 为两个相异的正数,熟知有正数 a,b 的对数平均 L(a,b)=(b-a)/(lnb-lna).数((b~b)/(a~a))~(1/(b-a))/e 称为正数 a,b 的指数的平均,记为 E(a,b).本文证明个主要结论:1)((b~b)/(a~a))~(1/(b-a)/e 确是某一平均;2(ab)~(1/2)相似文献   

用平均值不等式求极值时正数的匹配

用不等式,x+y≥2(xy)~(1╱2)(x,y都为正数)求极值是《不等式》的教学重点之一。由此不等式得出定理:设x、y是正数,如果和x+y(积xy)是定值,那么当x=y时,积xy(和x+y)有最大(小)值。即若两个正数之和为常量,则当两数相等时,其积有最大值;若两个正数之和为常显,則当两数相等时,其和有最小值。这个定理     

对一道课本习题的思考和再认识

人教版高中教材<不等式>章中有这样一道习题: 　　已知a、b都是正数,求证:2/1/a+1/b≤√ab≤a+b/2≤√a2+b2/2,当且仅当a=b时,等号成立.……