巧构几何图形,妙证不等式

构造图形是一种探索和创新,适当的构造可以准确快速地解决代数问题,并有利于开拓学生的思维,提高分析和解决问题的能力.下面通过举例加以说明.……     

构造正方形巧证不等式

例1设a、b、c∈(0,1),求证,abc(1-a)(1-b)(1-c)≤(1/4)^3.     

构造长方体巧证不等式

我们知道:长方体有如下性质(为了节省篇幅,本文约定所构造的长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线长为l,本文中所有角均为锐角.):     

构造几何图形证明不等式

不等式的证明是中学数学的基本内容 ,证明不等式的方法也很多 :分析法、综合法、反证法、放缩法、判别式法 ,三角置换法等是常用的思路 ,而利用构造几何图形来证明不等式在教材中却不常见 .这是由于构造几何图形证明不等式技巧性比较强 ,以至于这种方法多应用于数学竞赛 .现举几例 ,以说明构造法的应用 .例 1　若 m >n >0 ,试证 :m2 - n2 2 mn - n2 >m.分析　由题设 m >n >0和 m2 - n2 >0的形式 ,可考虑构造一个 Rt△ ABC(如图1 ) ,使 AB =m,BC =n,C =90°,显然AC =m2 - n2 ,∴　 m2 - n2 n >m,又∵　 m >n >0 ,∴　 mn >n2 ,　 2 …     

构造向量,巧证不等式

现行新教材 (试验修订本必修 )中新增加的平面向量 ,具有代数形式和几何直观的双重身份 .向量引入中学课本 ,大大拓宽了解题的思路与方法 ,本文举例说明如何构造向量 ,利用其性质证明不等式 .1　应用 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ公式 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ 中等号在向量 ｐ , ｑ共线时才可能成立 .例 1　设ａ ,ｂ为不相等的实数 ,ｆ (ｘ) =1+ｘ2 ,求证 :ｆ(ａ) - ｆ(ｂ) <ａ -ｂ ,ａ +ｂ >ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) .分析 :构造向量 ｐ =(1,ａ) , ｑ =(1,ｂ) ,ａ ,ｂ为不相等的实数 ,因此向量 ｐ , ｑ不共线 …     

构造圆锥曲线解(证)不等式

构造法就是从问题的结构和特点出发 ,进行广泛联想 ,构造出一个与问题相关的数学模型 ,实现问题的转化 ,从而解决问题的方法 .构造圆锥曲线 ,是解、证不等式的一种有效的方法 ,可以做到数形结合 ,达到锻炼思维 ,培养创新能力的目的 .下面通过举例加以阐述 .1　 构造圆例 1　解不等式 5- 4x - x2 ≥ x.解　构造函数　 y =5- 4x - x2 与y =x,要求满足上述不等式的 x值就是求使y = 5- 4x - x2 的图像在 y =x的上方(包括交点 )的 x值 ,如图 1 .易求得两曲线交点的横坐标为 - 1 +1 42 ,由图形可得出原不等式的解集为[- 5,- 1 + 1 42 ].图 1　　　…     

构造定比巧证一类不等式

证明某数在两数之间是不等式证明中的一类常见题型,常见的证法是单个地分别比较大小,因而显得较难、较繁。本文通过构造定比的方法给出这类问题的一个简捷巧妙的整体证法。     

几何图形不等式漫谈(二)

<正>~~     

几何图形不等式漫谈(三)

<正>~~     

几何图形不等式漫谈(一)

<正>平面图形中的几何量,包含线段长度、角的大小及图形的面积.每类几何量之间除有相等关系之外,应该说多数情况下呈现的是不等关系.研究这些不等关系就构成了几何图形中不等式的内容(简称几何不等式).一种图形中的几何量若在某约束条件下它的值在一定范围变化,很自然地会提出什么时候这个量最大(或最小)的问题.这类问题与几何不     

巧证不等式

题目 已知a,b∈R＋,且a＋b=1,求证：a^n＋b^n≥（1/2）^n-1（n∈N^n）．     

构造随机分布列巧证一类分式不等式

设ξ是一取有限个值x1,x2,x3,…,xn的离散型随机变量,其概率分布列为P(ξ=xi)=pi(i=1,2,...,n).则 E(ξ2)-E2(ξ)=D(ξ)=∑ni=1[xi-E(ξ)]2·pi≥0,故E(ξ2)≥E2(ξ),当且仅当x1=x2=...=xn=E(ξ)时,不等式中等号成立.     

巧证几何不等式

<正>在△ABC中,D、E分别为边BC和CA上的点,T是DE上的点,S_1、S_2、S分别表示△ADE、△BDT、△ABC的面积,则(S_1/S)^(1/3)+(S_2/S)(1/3)+(S_2/S)^(1/3)≤1.     

构造几何图形解无理方程(组)

在解无理方程(组)时,若能通过构造几何图形,把问题转化成研究几何图形的性质或位置关系来解,则可简化过程,提高效率. 　　……     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

巧证一道不等式

设A,B,C为任意三角形的三个内角,对于任意实数x,y,z.求证: x2 y2 z2≥2xycosA 2yzcosB 2xzcosC. 该不等式是研究三角形的一种独特而有力的工具-"母"不等式,其证明通常是构造二次函数来证,本文给出一种新颖的向量证法.     

构造几何图形巧解三角求值问题

赵宏伟、李平凡两位老师分别来稿针对构造几何图形巧解三角求值问题这一主题进行了探讨,本刊审查后将两篇稿件合并修改成一篇刊出,特此说明.     

构造不等式证题

不等式在证题中有着广泛的应用.有些问题用构造不等式去推导,不蹈常规,见解独到,证明简捷. 一、寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”     

妙用导数巧证不等式

对一些用一般方法难于证明的不等式进行适当变形,构造典型函数,利用求导数法来研究其单调性,进而再利用其单调性可快捷的证得不等式,往往别开生面,颇有新意.